Sở giáo dục và đào tạo
HảI dơng
đề chính thức
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Lớp 9 thcs năm học 2007 2008
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/3/2008
Đề thi gồm có 01 trang
Câu 1(2 điểm)
a) Chứng minh:
( )


ữ

2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
+ + = + - a 0;b 0;a + b 0
a b (a + b) a b a + b

b) Tìm số nguyên dơng k thỏa mãn:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2009 -1
1+ + + 1+ + +...+ 1+ + =
1 2 2 3 k (k +1) 2009
Câu 2(2 điểm)
Tìm tất cả các hàm số
f(x)

+ d
2
+ e
2
Hết.
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:.
Chữ ký giám thị 1:Chữ ký giám thị 2.
Đáp án
Câu Đáp án
Điểm
Câu 1
a)
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1
a b (a b) a b ab (a b)

+ + = + +
ữ
+ +

0,5
2 2
2
a b 2 1 1 1 1
ab ab (a b) a b a b
+

= + = +
ữ ữ

2
2009 1
2009

0,25
Hay: (k+1) -
2
1 2009 1
k 1 2009

=
+
=

1
2009
2009
0,25

+
ữ
+

1
(k 2008) 1
2009(k 1)
= 0
=
k 2008
0,25

a
x
a 1
(*)
Thử lại:
Từ (*) suy ra f(1 x) =

+
a
(1 x)
a 1
Khi đó ta có
f(x) + af(1 x) =

+
a
x
a 1
+ a(

+
a
(1 x)
a 1
) =
( )
+
+ =
+
2

A
C
M


f(x) =
1
2
[ ]
f(x)-f(1-x)
(

x)
Suy ra f (x) có dạng: f(x) =
[ ]
1
( ) (1 )
2
g x g x
(

x) (**)
Ngợc lại: Nếu f(x) có dạng (**) thì
f (x) + f(1-x) =
[ ] [ ]
1 1
( ) (1 ) (1 ) ( ) 0
2 2
g x g x g x g x + =
(

+
2
1 1
(3 1)( ) (3 2) 0m x m
x x
+ + =
(1)
0,25
0,25
Đặt
1
x
x
+
= t
Ta có PT: x
2
tx + 1 = 0(*)
PT(*) có nghiệm khi

0
2
4 0t



t


2






ĐS: m
2 2
;
3 3
m


0,25
0,25

3
Câu 4
a) Gọi giao điểm của CH với AB là I
AH với BC là K
ta có tứ giác BIHK nội tiếp 0,25


ã
ã
0
180IBK KHI+ =
mà
ã
ã
KHI AHC=



tứ giác AHCP nội tiếp
0,25
0,25
0,25
b), Tứ giác AHCP nội tiếp


ã
ã
AHP ACP=
=
ã
ACM
lại có
ã
ã
0
180ACM ABM+ =



ã
ã
0
180AHP ABM+ =
mà
ã
ã

ã
ã
ã
ã
2 ; 2MAN BAM MAP MAC= =


ã
ã
ã
ã
2( ) 2NAP BAM MAC BAC= + =
(<180
0
) không đổi
0,25
Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sin
ã
BAC

NP lớn nhất

AP lớn nhất mà AP = AM
AM lớn nhất

AM là đờng kính của đờng tròn (O)
Vậy NP lớn nhất

AM là đờng kính của đờng tròn
0,25

+ + + + d e d e 2( d e ) 4
0,25
4
DÊu “=”x¶y ra
≥


= =


< >

⇔

≥ ≥


+ + + + =

= =


2 2
de 0
e d 1
e 0;a 0
ab 0,ac 0
a b c d e 0
a a ;b b ;...