Thầy – Trò lớp 12A1

Chào đón quý thầy cô đến dự


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.
2.
3.
4.

Hệ trục tọa độ trong không gian:
Tọa độ của vec tơ:
Tọa độ của điểm:
Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai
điểm mút:


Kiểm tra bài cũ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1. Nêu định nghĩa tọa độ của vectơ.

r r r r
r
a = ( x; y; z ) ⇔ a = x.i + y. j + z.k

2. Nêu định nghĩa tọa độ của một điểm.
uuuur


5. Tích có hướng của hai vectơ:


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:

Định nghĩa 2: Tích có hướng (hay tích vectơ) của

r
r
hai vectơ u = (a; b; c) và v = (a '; b '; c ') là một vec tơ ,

rr
 (hoặc u ∧ v ), được xác định bằng
u
,
v
kí hiệu là 


tọa độ như sau:
rr b c c a a b 
 u, v  = 
= bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
  b' c' ; c' a' ; a' b' ÷ (



r
u = (a; b; c)

;
;
=
;
;
−
1
1
− ?1 )
(
?
?
÷
 
 −?1 −?3 −?3 2? 2? − 1? 
H .3

rr r
Đối với hệ tọa độ O; i; j; k , hãy chứng minh rằng:

(

rr r
i; j  = k , và từ đó tính:
 

)

rr r
i; j  .i

3.  u , v  = 0 Khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng phương.
 


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:

Định nghĩa 2:
Tính chất của tích có hướng:
rr
1. Vectơ u , v  vuông góc với cả hai vectơ u và v .
rr
r r
rr
2.  u, v  = u . v .sin u , v .
 r r r
r r
3.  u , v  = 0 Khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng phương.
 
→

( )

rr
u , v 
 

r
v
r

S =  AB, AD 

b) Thể tích của khối hộp:
Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’D’
uuur uuur uuur
là:
. AA '
V =
AB
,
AD



H .4

r r uur
Hãy chứng tỏ rằng ba vectơ u , v, w
r r uur
khi và chỉ khi u , v  .w = 0
 

u , v  ⊥ u; u , v  ⊥ v
 r r  r r
r r
u , v  = u . v .sin u, v .
 
rr r rr
u , v  = 0 ⇔ u , v
 

GIAN
rr
r r
r
r
5.

Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa 2:
Tính chất của tích có hướng:
Ứng dụng của tích có hướng:
a) Diện tích của hình bình hành:
uuur uuur

S=
AB
,
AD



1)
2)
3)

u , v  ⊥ u; u , v  ⊥ v
 r r  r r
r r
u , v  = u . v .sin u, v .
 

r
r r uur
u , v, wđồng phẳng ⇔  u, v  .w = 0 ABCD và độ dài đường cao
 
kẻ từ đỉnh D.


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; −2 )
a) CMR 4 điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A và bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó.
c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB, CD
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.
Lờiuuugiải:
uuur
uuur
r
a) Ta có: BA = ( 1;1; − 1) , BC = ( 0;1; − 2 ) , BD = ( 3;1; − 4 ) ,nên
uuur uuur  1
− 1 −1 1 1 1 
 BA, BC  = 
;
;
÷ = ( − 1;2;1)

 1
− 2 −2 0 0 1 

=
=
=
Nếu gọi AH là đ.cao tam giác ABC thì
2
2
2
BC
5
0 + 1 + ( − 2)

b) Ta có: S ABC

( − 1) + 22 + 12 =
2

Nếu gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và
p là nửa chu vi tam giác đó thì S ABC = p.r .
Mà 2 p = AB + BC + CA = 3 + 5 + 2 , nên
S
6
r=

ABC

p

=

3 + 5+ 2

= (CBD
−1; −=1;1
= ( 3;0;
−
130
BC . BD
Nếu gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD thì

(

)

uuur uuur
AB.CD
uuur uuur
5
cos α = cos AB, CD = uuur uuur =
39
AB . CD

(

)


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0; 2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; − 2 )
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.

B

A


TRONG TIẾT HỌC CẦN NẮM:
•Định nghĩa tích có hướng của hai vectơ.

rr b c c a a b 
u , v  = 
;
;
÷ = ( bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
 
 b' c' c' a' a' b' 

•Các tính chất, ứng dụng của tích có hướng.

r r
rr
u ⊥ v ⇔ u.v = 0;

rr
u, v

rr
r
u , v  ⊥ u ,
 


( )


Tiết học kết thúc.

Chúc quí thầy cô năm mới được
dồi dào sức khỏe và thành đạt!
Chúc các HS luôn tiến bộ.


Tiết học kết thúc.

Chúc quí thầy cô năm mới được
dồi dào sức khỏe và thành đạt!
Chúc các HS luôn tiến bộ.