Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trần Sĩ Tùng

II. BẤT
BẤT PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH VÀ
VÀ HỆ
HỆ BẤT
BẤT PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH
II.
BẬC NHẤT
NHẤT MỘT
MỘT ẨN
ẨN
BẬC
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Điều kiện
Kết quả tập nghiệm

b
a>0
S =  −∞; − ÷
a

 b

a
c)
Bài 2.

a)
c)

Giải các bất phương trình sau:
3 3( 2x − 7)
2x + 1
3
b) 3 −
−2 x + >
> x+
5
3
5
4
5( x − 1)
2( x + 1)
3( x + 1)
x −1
d) 2 +
−1


VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1.

a)

d)

g)
Bài 2.

a)
Bài 3.

a)

Giải các hệ bất phương trình sau:

 4x − 5
4
15 x − 8
1
8 x − 5 > 2
 7 < x +3
 3 − 12 x ≤ x + 2
b) 
c) 

2(2 x − 3) > 5 x − 3
 3x + 8 > 2 x − 5

2
 3 x − 1 3( x − 2)
 2 x − 3 3x + 1
5 − 3x
−1 >
 4 −
 4 < 5
3 x + 1 ≥ 2 x + 7
8
2
h) 
i) 

 4 x + 3 > 2 x + 19
3 x + 5 < 8 − x
3 − 4 x − 1 > x − 1 − 4 − 5 x

18
12
9

2
3
Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:


5
1
6 x + 7 > 4 x + 7
15 x − 2 > 2 x + 3

a)

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
• Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1)
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
• Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
P( x )
> 0 (2)
• Dạng:
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Q( x )
P( x )
• Cách giải: Lập bảng xét dấu của
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Q( x )
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
• Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Trang 43


Trần Sĩ Tùng

• Dạng 1:

• Dạng 2:


Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
(2 x − 5)( x + 2)
a)
b)
>0
−4 x + 3
3x − 4
d)
e)
>1
x −2
−4
3
g)
h)

7
b)

x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10 < 0
x −3 x +5
>
x +1 x − 2
2x − 5
≥ −1
2− x
2x2 + x
≥ 1− x

2
5
f)
≤
x −1 2x −1
2 x − 5 3x + 2
i)

0

(hoặc < 0. ≥ 0, ≤ 0)

b1
b
; x2 = − 2 . Tính x1 − x2 .
a1
a2

– Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1 − x2 .
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta

 m


b) 
 m −1 
m > 0: S =
;1÷

 m

 m = 0 : S = (−∞;1)



Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trần Sĩ Tùng

 m < 3 : S = (1; +∞)
c) 
 m ≥ 3 : S = (m − 2; +∞)
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
a)

III. BẤT
BẤT PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH
TRÌNH BẬC
BẬC HAI
HAI

a) 3 x 2 − 2 x + 1
d) 3 x 2 − 2 x − 8

b) − x 2 + 4 x + 5
e) − x 2 + 2 x − 1

c) −4 x 2 + 12 x − 9
f) 2 x 2 − 7 x + 5

g) (3 x 2 − 10 x + 3)(4 x − 5)

h) (3 x 2 − 4 x )(2 x 2 − x − 1)

i)

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) 2 x 2 − 5 x + 2 < 0
d) −2 x 2 + 3 x − 7 ≥ 0
−3 x 2 − x + 4

4 x 2 + 3x − 1

h)

Trang 45

>0

4x2 + x − 3

e) 3 x 2 − 4 x + 4 ≥ 0

(3 x 2 − x )(3 − x 2 )

i)


Trần Sĩ Tùng

Bất đẳng thức – Bất phương trình

x2 + 4x + 3 ≥ 0

d) 2 x 2 − x − 10 ≤ 0
2 x 2 − 5 x + 3 > 0

g) −4 ≤

 − x 2 + 4 x − 7 < 0
e)  2
 x − 2 x − 1 ≥ 0

 x 2 + x + 5 < 0
f)  2
 x − 6 x + 1 > 0

x2 − 2x − 7

1 x2 − 2x − 2
10 x 2 − 3 x − 2

c) 2 x 2 + (m − 2) x − m + 4 > 0

d) mx 2 + (m − 1) x + m − 1 < 0

e) (m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + 3(m − 2) > 0 f) 3(m + 6) x 2 − 3(m + 3) x + 2m − 3 > 3
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) (m + 2) x 2 − 2(m − 1) x + 4 < 0
b) (m − 3) x 2 + (m + 2) x − 4 > 0
c) (m 2 + 2m − 3) x 2 + 2(m − 1) x + 1 < 0

d) mx 2 + 2(m − 1) x + 4 ≥ 0

e) (3 − m) x 2 − 2(2m − 5) x − 2m + 5 > 0

f) mx 2 − 4(m + 1) x + m − 5 < 0

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
 f ( x) ≥ 0
C1  g( x ) ≥ 0
C2  
f ( x ) = g( x )

f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) = g( x ) ⇔  


• A = A ⇔ A≥ 0;

A = −A ⇔ A ≤ 0

• Với B > 0 ta có:

A < B ⇔ −B < A < B ;

• A + B = A + B ⇔ AB ≥ 0 ;

 A < −B
A >B⇔
.
A > B
A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0

2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép
nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
 g( x ) ≥ 0
f ( x ) = g( x ) ⇔ 
• Dạng 1:
2
 f ( x ) = [ g( x )]
 f ( x ) ≥ 0 (hoaëc g( x ) ≥ 0)
f ( x ) = g( x ) ⇔ 
• Dạng 2:
 f ( x ) = g( x )
t = f ( x ), t ≥ 0


e) x 2 − 1 = 1 − x

f)

x2 − 1 + x + 1
=2
x ( x − 2)

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) 2 x 2 − 5 x − 3 < 0

b) x − 8 > x 2 + 3 x − 4

c) x 2 − 1 − 2 x < 0

d) x 2 + 4 x + 3 > x 2 − 4 x − 5

e) x − 3 − x + 1 < 2

f) x 2 − 3 x + 2 + x 2 > 2 x

g)

x2 − 4x

≤1

x2 + x + 2


e)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2

f)

g)

3x + 7 − x + 1 = 2

h)

x2 + 9 − x2 − 7 = 2

i)

3x 2 − 9 x + 1 = x − 2
21 + x + 21 − x
21 + x − 21 − x

=

21
x

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a)


a) x 2 − 6 x + 9 = 4 x 2 − 6 x + 6

c) ( x − 3)2 + 3 x − 22 = x 2 − 3 x + 7
d) ( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3 x − 4
Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a) 3 x 2 + 5 x + 8 − 3 x 2 + 5 x + 1 = 1
b) 3 5 x + 7 − 3 5 x − 13 = 1
c)

3

9 − x +1 + 3 7 + x +1 = 4

d)

e)

4

47 − 2 x + 4 35 + 2 x = 4

f)

3

24 + x − 3 5 + x = 1
x 2 + 4356 + x
− x x 2 + 4356 − x 2 = 5
x



2 − x > 7 − x − −3 − 2 x i)

g)

b) ( x + 5)( x − 2) + 3 x( x + 3) > 0

c) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28
Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
a)

x2 − 4x
≤2
3− x

c) ( x + 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
Bài 11. Giải các bất phương trình sau:

a) x + 2 ≤ 3 x 2 + 8
Bài 12. Giải các phương trình sau:
a)

b)

2x + 3 + x + 2 ≤ 1

3

d)


Trần Sĩ Tùng

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c , với a, b, c > 0 và xyz = 1.
a+b+c a+b+c a+b+c
b)
+
+
≥ 9 , với a, b, c > 0.
a
b
c
1 1 1
1
1
1
+
+
≥ 2  + + ÷, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.
c)
p−a p−b p−c
a b c
d) a b − 1 + b a − 1 ≤ ab , với a ≥ 1, b ≥ 1.
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + c3 ≥ 3 3 a3b3c3 = 3 ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ 6 (1)

Bài 2.

a)

+
≥ . Cộng các BĐT ⇒ đpcm.
Tương tự:
p−b p−c a p−c p−a b
a + ab − a ab
d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b − 1 = a . ab − a ≤
.
=
2
2
ab
Tương tự: b a − 1 ≤
. Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 2.
2
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1
, với x > 1.
A= x+
x −1
4 1
5
B= +
, với x, y > 0 và x + y = .
x 4y
4
1 1
C = a + b + + , với a, b > 0 và a + b ≤ 1 .
a b
3
3

4
1 1
4
4
1
3
3
c) Ta có + ≥
⇒ B ≥ a+b+
≥ 2+
= a+b+
+
≥ 5.
a b a+b
a+b
a+b a+b
a+b
1
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = . Vậy minC = 5.
2
d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + 1 ≥ 3ab , b3 + c3 + 1 ≥ 3bc , c3 + a3 + 1 ≥ 3ca .
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1; y =

⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) + 3 ≥ 3(ab + bc + ca) = 9 ⇒ a3 + b3 + c3 ≥ 3 .
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1. Vậy minD = 3.
Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A = a + 1 + b + 1 , với a, b ≥ –1 và a + b = 1 .
b) B = x 2 (1 − 2 x ) , với 0 < x

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = 1 (2 x + 2)(1 − 2 x ) ≤ 1  2 x + 2 + 1 − 2 x ÷ = 9 .
2
2
2

8
1
9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = − . Vậy maxC = .
4
8
Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
 x + 4m 2 ≤ 2mx + 1
 x 2 − 3x − 4 ≤ 0
a) 
b) 
3 x + 2 > 2 x − 1
(m − 1) x − 2 ≥ 0
 2x + 1 > x − 2
7 x − 2 ≥ −4 x + 19
c) 
d) 
2 x − 3m + 2 < 0
m + x > 2
Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
 mx + 9 < 3 x + m 2
 x 2 + 10 x + 16 ≤ 0
a) 
b) 
4 x + 1 < − x + 6

.
2


Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trần Sĩ Tùng

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) (m − 1) x 2 − 2(m + 3) x − m + 2 = 0
b) (m − 1) x 2 + 2(m − 3) x + m + 3 = 0
Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a) (3m + 1) x 2 − (3m + 1) x + m + 4
b) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3
Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) (m − 4) x 2 + (m + 1) x + 2m − 1
b) (m2 + 4 m − 5) x 2 − 2(m − 1) x + 2
Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
x 2 − 8 x + 20
3x 2 − 5x + 4
0
a)
b)
mx 2 + 2(m + 1) x + 9m + 4
(m − 4) x 2 + (1 + m) x + 2m − 1
x 2 + mx − 1


d) x + 
÷ =1
2 x 2 − 5x + 3 2 x 2 + x + 3
 x −1 
Bài 13. Giải các phương trình sau:
c)

a) x 2 − 8 x + 12 = x 2 − 8 x + 12

b)

x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1

c) 2 2 x − 1 − 1 = 3

d)

x + 14 x − 49 + x − 14 x − 49 = 14

e) x + 1 − x 2 = − 2(2 x 2 − 1)
Bài 14. Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 − 4 x − 5 < 4 x − 17
b) x − 1 + x + 2 < 3
d)

x 2 − 5x + 4
2

x −4


d)

x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x ) = 5

e)

4x −1 + 4x2 −1 = 1

f)

3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2

g) ( x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3 x

h) x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2)2 = 2

i) x 2 + x 2 + 11 = 31
k)
Bài 16. Giải các bất phương trình sau
a)
d)

− x 2 − 8 x − 12 > x + 4
3(4 x 2 − 9)
2

3x − 3

≤ 2x + 3