www.laisac.page.tl 

Tuyển chọn Đề và đáp án : 
Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012. 

M
M ôô n
n : H
H ÌÌ N
N H H
H Ọ
Ọ C K
K H
H Ô
Ô N
N G G
G II A
A N 
(laisac cắt và dán) 
HÌNH CHÓP 
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh  a , tam giác SAB đều , tam 
giác SCD vuông cân tại S.Gọi I, J, K lần lượt  là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA . 
Chứng minh rằng  ( SIJ ) ^ ( ABCD ) .Tính thể tích khối chóp  K.IBCD. 
Giải. 
Từ giả thiết ta có: 
S 

AB ^ SI ü
ý Þ AB ^ (SIJ ) 
AB  ^ IJ þ
Do  AB Ì ( ABCD ) Þ ( SIJ ) ^ ( ABCD ) . 

a 
Dễ thấy:  SI = 
;  SJ =  CD  =
; IJ =  a  Þ  DSIJ vuông tại Svì: SI 2  + SJ 2  = IJ 2 
2 
2 
2 
SI . SJ  a  3 
a  3 
ừ hệ thức SI.SJ=SH.IJ  Þ  SH =
=
Þ  KK ' =
IJ 
4 
8 
( IB + CD ). BC  3 a 2 
Ta có  à IBCD là hình thang vuông tai B và C nên S à IBCD =
=
2 
4 
3 
a  .  3 
Thay vào ta được  V K . IBCD  = 
32 
+Kẻ  SH ^  IJ  do 

Bài 2. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình thang vuông tại  A  và  B  với  BC  là đáy nhỏ. Biết 
rằng tam  giác  SAB  là tam giác đều có cạnh với độ dài bằng  2a  và nằm trong  mặt phẳng 
vuông góc với mặt đáy,  SC = a 5  và khoảng cách từ  D  tới mặt phẳng ( SHC )  bằng  2a  2 
(ở đây  H  là trung điểm  AB ). Hãy tính thể tích khối chóp theo  a . 

H 

Theo định lý Pythagoras ta có 
a 
C 
CH = SC 2 - SH 2  = a 2  . 
4a 
C'ºC 
Do đó  tam giác  HBC  vuông cân tại  B  và  BC = a
Gọi  E = HC Ç AD thế thì tam giác  HAE  cũng vuông cân và do đó
CE = 2a 2 = d ( D; HC ) = d ( D; ( SHC ) )  suy ra  DE = 2a 2 × 2 = 4a Þ AD = 3a. 
45° 

E 

A 

a 

a 

D  B 

2a  2 

1 
( BC + DA ) × AB = 4 a 2  (đ.v.d.t.). Vậy 
2 
1
4 a 3 


D 

a 2 
a 6 
.  3  = 
2 
2 
1 
*  V S . ABCD  =  SO . S ABCD 
3 
1  a 6  2 
C 
=  . 
. a 
3  2 
a 3  6 
=
6 

b) 
* Giả sử  ( P) Ç SC  = M 
Vì  ( P) ^ SC  và  A Π(P )  nên  AM ^  SC 
Mặt khác,gọi  EF = ( P ) Ç ( SBD )  với  E ΠSB ; F Î SD  thì  EF // BD  và  EF  qua I với  I =  AM  Ç SO 
(do  BD ^ SC ; ( P ) ^ SC  nên  BD //(P ) ). 
* Ta thấy mặt phẳng  (P )  cắt  S. ABCD  theo thiết diện là tứ giác  AEMF  có tính chất  AM ^  EF . 
1
2 

Do đó  S AEMF  =  AM . EF 


Bài 4. Cho hình chóp  S.ABC có đáy  ABC  là tam  giác  vuông cân đỉnh  A,  AB = a 2 . Gọi  I là 
trung 
điểm 
uur
uuur  của  cạnh  BC.  Hình  chiếu  vuông  góc  H 0  của  S  lên  mặt  phẳng  (ABC)  thỏa  mãn 
IA = -2 IH .  Góc  giữa  SC  và  mặt  đáy  (ABC)  bằng  60  .  Hãy  tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và 
khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). 
Giải  uur
uuur 
*Ta có  IA = -2 IH Þ H thuộc tia đối của tia IA và  IA = 2 IH
BC = AB 2 = 2 a
uur
uuur 
*Ta có  IA = -2 IH Þ H thuộc tia đối của tia IA và  IA = 2 IH
BC = AB 2 = 2 a
a
3 a 
Suy ra  IA = a, IH = Þ AH = IA + IH = 
2
2 
a  5 
Ta có  HC 2 = AC 2 + AH 2 - 2 AC. AH .cos 45 0  Þ HC = 
2 

Vì SH ^ ( ABC ) Þ ( SC , ( ABC ) ) = ÐSCH = 600 Þ SH = HC.tan 60 0  = 
Ta có  HC 2 = AC 2 + AH 2 - 2 AC. AH .cos 45 0  Þ HC = 

a  5 
2 

2 
d ( B, ( SAH ) ) SB  2

Bài 5. Cho hình chóp  S . ABC  có đáy là tam giác  ABC  vuông tại  B ;  SA  vuông góc với đáy, 
AB = a ,  SA = BC = 2 a . Trên tia đối của tia  BA  lấy điểm  M  sao cho  · 
ACM = a (00 < a
G 
K

3 a
a 
Þ IG = 
2
2 
2 
10 a 
Tam giác vuông  BIG Þ BG 2 = BI 2 + IG 2  = 
4 
14a 2 10 a 2 
SG = SB 2 - BG 2  =
= a
4
4 
1
11
3a
3 a 3 
VSABC = S ABC .SG =
3a. . a = 
3
32
2
4 
Kẻ  GK ^ AC , K Î AC , (GK / / BC ) Þ SK ^ BC
Giải. Gọi  I  là trung điểm  AB ,  CI =


=
2
1
Þ S SAC  = a
2
GK =

ABCD là hình thoi có AD = 3, DO = 5/2 nên AO = 
suy ra dt(ABCD) = 

11
2 

5 11 
2 

1 
SH .dt ( ABCD ) = 2 11 .  Vậy thể tích khối chóp S.ABCD bằng  2 11 
3 
Bài 8.  Cho hình chóp SABC có  SA = 3 a (với  a > 0 ); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 60 0 . 
Tam giác ABC vuông tại B,  · 
ACB = 30 0  . G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và 
VS . ABCD  =

(SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. 
Giải Gọi K là trung điểm BC. Ta có  SG ^ ( ABC ); ÐSAG = 600 , AG = 

3 a 
. 
2 


N 

I 
M 

D 

A 

C 

B 

SV MAB =

a2
Þ VMBAI
4

ì AM ^ SB
ì AN ^ SD 
Þ AM ^ SC; í
Þ AN ^ SC Þ SC ^ (AMN) Þ SC ^ AI 
í
î AM ^ BC
î AN ^ CD
1 
Kẻ  IH // BC Þ IH ^ (SAB) (vì  BC ^ (SAB) ) Þ VMBAI = SV MAB .IH 
3

a 
= SV MAB .IH =
3
36

Bài 10:  Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 4 góc tạo bởi các 
mặt bên và đáy bằng 60 o . Tính thể tích của khối chóp S.ABC 
Giải. 
S 

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); M, N, K lần lượt là hình chiếu của 
H lênh cạnh AB, AC, BC. Khi đó thể tích V của khối chóp được tính 
bởi công thức 

N 

A 
M 

H 

C 
K

1 
V =  S DABC . SH
3 
1 
mà  S DABC  = AB. AC = 6 
2 


Þ CA = SC 2 + SA2 = 1 + x 2 
Mặt khác ta có  AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 

Þ BD = 3 - x 2  (do 0 < x
2 

I 

D 
O 

Thể tích khối chóp S.ABCD: 
1
3 a 
S ABC D . SO = 
3
3

H 
a 

3 

VS . ABCD =

A 

3a 

C 

B 

K 

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: 

SA = ADtan(РSDA) = a 13
SABCD  = 2SΔABC  = AB.ACsin(BAC) = 2a 2  3 
1
2a 3  39 
Þ VS.ABCD  =  SA.SABCD  = 
3
3
2, Tính khoảng cách giữa DE, CF 
Trong mp(ABCD), dựng CI // ED  ( I ΠAD ) Þ ED // (CFI)

I 

C 


Þ d (DE,CF)  = d (DE,(CFI))  = d (D,(CFI)) 
1 
2 

Gọi  H là trung điểm của AD Þ D là trung điểm HI Þ d (D,(CFI))  =  d (H,(CFI)) 
Hạ HK vuông góc với CI tại K; HJ vuông góc với FK tại J 
Ta có: 
FH // SA  Þ FH ^ (ABCD) Þ FH ^ CI Þ CI ^ (FHK) Þ (FCI) ^ (FHK)

Þ HJ ^ (FCI)  Þ  HJ = d (H,(FCI)) 
1 
2 


361 
Trong tam giác FHK vuông tại H, có:  2 = 
 + 
 = 
 + 
 = 
2
2
2
2
HJ
HK
HF
48a
13a
624a 2 
4a 39
2a 39 
Þ HJ = 
Þ d ( D,(CFI) ) = 
19
19
2a 39 
Vậy:  d (DE, CF)  = 
19 
Ta thấy:  SΔHCI  =  SABCD  = a 2  3  Þ  HK = 

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, 
CD = 2a; hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cạnh bên SB 
tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 ; gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích khối 

C 
G 

3 

a  6 
(đvtt) 
2 

E 
A 

) chứng minh được BC ^ ( SBD) , kẻ DH ^ SB=> 
Có 

1
1
1
a  6
=
+
Þ DH  = 
2
2
2 
DH
SD
DB
2 


1
= 2 +  2  suy ra x =  5  suy ra BI =  5 
2
d
x
4 x
Từ đó ta có B thuộc  ( C):  ( x - 2) 2 + ( y - 1)2  = 5 

Điểm B là giao điểm của đt AB: 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính  5 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc  · 
ABC = 60 0  , hai mặt 
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 
bằng  30 0 .Tínhthể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a. 
Giải. 
Gọi O = AC I BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm của 
AM. 
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên: 
CM ^ AB, OI ^  AB và 
CM =

a 3
a 3
a 2  3 
, OI =
, S ABCD  = 
2
4
2 

Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD)  nên SO ^ ( ABCD ) 

Xét tam giác vuông IJH ta được:  JH = IJ .s in300  =
Vậy d ( SA, CD ) = 

a 3 1 a  3 
.  = 
2 2
4 

a  3 
. 
4 

Bài 16. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền 
AB = 2a. Trên đương thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S, sao cho 
mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc  60 0  . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ 
diện SABC.


Giải. 
Từ giả thiết suy ra  D ABC
vuông tại C kết hợp với  d ^ (SAC ) . 
Suy ra  BC ^ ( SAC ) 

S 

·  = 60 0 
Do đó  SCA
Do  D ABC vuông tại C và AB =2a 

Þ AC = BC = a 2 

BDB1C1 Þ DB1 = BC1 = 5 2, BD = C1 B1  = 5 , AD = CD.sin 600  = 5 3 

(do  D ACD vuông tại  A  vì  BA = BC = BD)  Þ a = ( AB1 ; BC1 ) = ( AB1; DB1 ) 

(

2

) (

2

2 

) (

) 

5 2 + 5 2 - 5 3 
AB12 + DB1 2 - AD 2 
1 
AB1 D nhọn từ đó 
cos ·
AB1 D =
=
= Þ  · 
2 AB1.DB2 
4 
2.5 2.5 2 
1 

2  1
2
4 

BB1 dt DABC 

A' 

Bài 2.  Cho lăng trụ đứng  ABC . A' B 'C ' có thể 
Các mặt phẳng  ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) cắt 
O. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V. 

C' 

B' 
I 

Giải. Gọi I = AC Ç ’A’C,  J = A’B Ç AB’ 

J 
O 

A

C 

H 
M 
B 



GiMltrungimBC.Tacú:

Gii.GiMltrungimBC,hAHvuụnggúcviAM
BC ^ AMỹ
ý ị BC ^ ( AA ' M )ị BC ^ AH
BC ^ AA 'ỵ
a
M AH ^ A ' M ị AH ^ ( A ' BC )ị AH = .
2
1
1
1
a 6
Mtkhỏc:
=
+
ị AA'=
2
2
2
4
AH
A 'A
AM
3
3a 2
KL: VABC . A ' B ' C' =
.
16

3
4
Bi5.Chohỡnhlpphng ABCD.A1B1C1D1 cúdicnhbng a.TrờncỏccnhABvCD

Thtớchlngtr:V = dtDABC. A1O =

lylnltcỏcim M,N saocho BM = CN = x. XỏcnhvớtrớimMsaochokhongcỏch
a
3
Gii.Tacú MN / / BC ị MN / / ( A1 BC ) ị d ( MN , A1C ) = d ( MN , ( A1BC ) )

giahaidngthng A1C v MN bng .


C1

D1

A1

B1

x 2
2
ã Vỡ A1 B ^ AB1 ị MK ^ A1B v CB ^ ( ABB1 A1)ị CB ^ MK .

Gi H = A1 B ầAB1 v MK / / HA,K ẻA1B ị MK =

ã T
D

TIkIM ^ BÂ C
(2)
A

M

B

Nờn MK =

T(1)(2) ị BÂ C ^ (IAM)
ị BÂ C ^ MA(3)
T(2)(3) ị gúcgia(A BÂ C)v( BÂ CB)
bnggúcgiaIMvAM= ã
AMI =600
(DotamgiỏcAMIvuụngtiI)
1
TacúAI= BC =a
2
AI
a
=
IM=
0
tan 60
3

M

A

3BÂB = BÂB +4a BBÂ = a 2
1
1
S DABC = AI .BC = a.2a =a 2
2
2
VABC AÂBÂCÂ = a 2.a 2 =a 3 2

M

C

Bi7.ChohỡnhlngtrngABC.ABCcú AC = a, BC = 2a, ã
ACB =1200vngthng
A 'C tovimtphng ( ABB ' A') gúc 300.Tớnhthtớchkhilngtróchovkhongcỏch
giahaingthng A ' B, CC' theoa.
Gii
Trong(ABC),k CH ^ AB ( H ẻAB ),suyra CH ^( ABB ' A ') nờn
AHlhỡnhchiuvuụnggúccaAClờn(ABBA).Doú:
ã
ã
ộở A ' C , ( ABB ' A ') ựỷ= (ã
A ' C , A ' H ) = CA
' H = 300.

1
a2 3
AC.BC .s in1200 =
2
2


a 3  105 
Suy ra:  V = SDABC . AA ' = 
. 
14 
Do CC '/ / AA ' Þ CC '/ / ( ABB ' A ' ) . Suy ra:
d ( A ' B, CC ' ) = d ( CC ', ( ABB ' A ') ) = d ( C , ( ABB ' A ' ) ) = CH = 

a  21 
7 

Bài 8.  Cho khối lăng trụ tam giác ABCA1B1C1  có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A1  cách 

đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc a . Hãy tìm a , biết thể tích 
khối lăng trụ ABCA1B1C1 bằng  2 3a 3 . 
B1 

A1 

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên  SABC= a 2  3 
Mặt khác A1A=  A1B= A1C Þ A1ABC là tứ diện đều. 

C1 

A 

B 
G 

I

b.4c +  3  a.4b.16 c
4
4
2
2
4 
3
a + 4b b + 4c a + 4b + 16 c  28( a + b + c) 
£ 2 a + b +
+
+ 
=
= 7 
4
4
4
12 
12 
16
4
1 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a = , b = , c =
7
7
7