SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƢỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
_____________________
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
TRONG BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG
TỪ NHỮNG MỐI QUAN HỆ BA ĐIỂM
Tác giả: Phạm Kim Chung
Tổ: Toán
Điện thoại: 0984333030
Tháng 05 năm 2014
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trang 1
I.
Lý do chọn đề tài
Trang 1
II.
Trang 3
II.
Kết quả đạt đƣợc và kinh nghiệm rút ra
Trang 3
III.
Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
Trang 3
IV.
Cơ sở lý thuyết
Trang 4
1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trang 4
2. Một số bài toán cơ bản sử dụng trong đề tài
Trang 5
V.
Nội dung đề tài
Trang 62
II.
Những kiến nghị, đề xuất
Trang 62
Danh mục tài liệu tham khảo
Trang 63
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nƣớc nhà,
đổi mới phƣơng pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng
hàng đầu.
Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phƣơng pháp dạy học tích
cực tôi nhận thấy phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề”
có nhiều ƣu điểm cũng nhƣ phù hợp với công tác giảng dạy bộ môn Toán
ở trƣờng phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng.
Tuy nhiên để có thể thành công trong phƣơng pháp dạy học “Phát hiện và
giải quyết vấn đề” ngoài năng lực chuyên môn và năng lực sƣ phạm của
mỗi giáo viên còn đòi hỏi ở ngƣời giáo viên nhiều thời gian và tâm huyết.
Để có một bài giảng thu hút đƣợc học trò, giúp học trò phát triển tƣ
duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi
cũng nhƣ bao giáo viên yêu nghề và yêu toán khác thƣờng trăn trở với
- Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào các trƣờng Đại học
- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
IV.
KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU
TT
V.
Thời gian
Nội dung công việc
Sản phẩm
1
Từ 15 tháng 01
Chọn đề tài, viết đề cƣơng Bản đề cƣơng chi
đến 15 tháng 02
nghiên cứu
tiết
năm 2014
2
Từ 15 tháng 02
đến 30 tháng 02
năm 2014
5
Từ 01 tháng 04
đến 25 tháng 04
năm 2014
Đề tài chính thức
Hoàn thiện đề tài
PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn khác nhau liên quan đến
hình học phẳng, hình học giải tích trong mặt phẳng, phƣơng pháp dạy
học môn toán và những sáng kiến kinh nghiệm của các giáo viên khác
thuộc bộ môn Toán THPT.
- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
- Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 10A, 11C1, 12C1, 12C2,
12C4 trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa để thu thập thông tin thực tế.
Trang | 2
B. NỘI DUNG
I.
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƢỚC KHI ÁP DỤNG
Trƣờng THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó
khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chƣa thực
sự đƣợc quan tâm từ các bậc học dƣới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về
dạy môn ở các trƣờng THPT.
- Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo
cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán.
Trang | 3
IV. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
a. Bản chất.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phƣơng pháp dạy học trong
đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh
phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải
quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và
đạt đƣợc những mục đích học tập khác.
b. Quy trình thực hiện.
Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết
Hình thành giải pháp
Giải pháp đúng
Kết thúc
c. Ưu điểm.
- Phƣơng pháp này góp phần tích cực vào rèn luyện tƣ duy phê phán, tƣ
duy sáng tạo cho học sinh. Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh
nghiệm đã có học sinh sẽ xem xét, đánh giá, thấy đƣợc vấn đề cần giải
quyết.
- Đây là phƣơng pháp phát triển đƣợc khả năng tìm tòi, xem xét dƣới
nhiều góc độ khác nhau.
thẳng .
Bước 3. Kết luận.
Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng
: ax by c 0 a2 b2 0 và điểm C xC ; yC không thuộc .
Xác định tọa độ điểm A trên đƣờng thẳng , biết góc giữa hai đƣờng
thẳng AC và bằng .
Quy trình giải toán.
Bước 1. Tham số hóa điểm A.
Bước 2. Sử dụng công thức
cos
AC.u
AC . u
(Trong đó u là
véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng )
Bước 3. Giải phƣơng trình ở bƣớc 2 và kết luận.
Trang | 5
Bài toán 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân
: ax by ax0 by0 a2 b2 0
Bước 2. Sử dụng hệ thức
a b
d A, k .d B,
*
a
b
Bước 3. Chọn a, b đại diện và thỏa mãn (*)
Trang | 6
V.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông thƣờng đƣợc phân chia
thành hai mảng: mảng thứ nhất là lớp những bài toán mang nặng tính
“đại số” và thƣờng đƣợc xây dựng dựa trên cơ sở là phƣơng pháp tham
số hóa, mảng thứ hai là lớp những bài toán nặng tính “hình học” và
thƣờng đƣợc xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình phẳng.
Trong đề tài này tôi muốn nêu lên ý tƣởng giải quyết bài toán hình
giải tích phẳng thuộc mảng thứ hai thông qua những “suy luận có lý” từ
những mối quan hệ giữa ba điểm có trong dữ kiện của bài toán đồng thời
đề xuất các giải pháp xử lý những mối quan hệ đó cũng nhƣ xây dựng bài
toán tổng quát và nêu ra những cách nhìn nhận khác nhau xung quanh
của hình vuông bằng phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc.
- Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta
chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh A 2; 2 , B 2;2 ,
C 2; 2 , D 2; 2 . Khi đó DN .MN 0 DN MN.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán là
quan hệ vuông góc, trung điểm và các mối liên
quan đến độ lớn cạnh của hình vuông, vì vậy
ta đề xuất các giải pháp chứng minh sau:
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Gọi I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và
BD. Điểm F là trung điểm đoạn DI. Khi đó tứ giác FNMC là hình bình
hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF DN. Mà CF / / MN nên
DN MN.
Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)
Đặt DA x; DC y x. y 0; x y
3
1
1
3
x y ; MN DN DM x y.
4
4
Đặt AB BC CD DA a.
- Xét tam giác AND, ta có
5
DN 2 AN 2 AD2 2 AN . AD.cos A a 2 .
8
- Xét tam giác CMN, ta có
5
MN 2 CN 2 CM 2 2CN .CM . cos C a 2 .
8
- Xét tam giác DCM, ta có
5
DM 2 DC 2 CM 2 a2 . Suy ra DM 2 DN 2 MN 2 DN MN.
4
Bước 3. Trình bày giải pháp.
Trƣớc hết ta sẽ chứng minh DN MN . (Có thể sử dụng một trong các
giải pháp ở bước 2)
Phƣơng trình đƣờng thẳng DN : x y 1 0
x y 1 0 x 1
D 1; 2
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ
x y 3 0 y 2
Giả sử A m; n , từ AC 4 AN C 6 3m;2 3n .
Từ AB DC B 7 2m;4 2n .
13 5m 6 5n
;
1
Ta có DN k x 1 k y , MN k x k y
2
Trang | 9
1
Suy ra DN .MN k k x 2 k 1 k y 2
2
+) Trƣờng hợp 1. Nếu k 0 N C.
+) Trƣờng hợp 2. Nếu k 0 , rõ ràng k 1
1
hoặc k ta luôn có DN.DM 0 .
2
x2 2 1 k 1
Suy ra DN .DM 0 2
, k 1 *
y
2k 1 2
x2
3
Ta thấy, nếu 2 1 x y k khi đó hình chữ nhật ABCD trở
y
4
thành hình vuông.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Nhận thấy các mối quan hệ trong bài toán đã cho là vuông góc, trung
điểm và các góc bằng nhau. Vì vậy ta đề xuất các giải pháp để chứng
minh BM KM nhƣ sau:
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Gọi E là trung điểm của HB. Lúc đó tứ giác
MECK là hình bình hành và E là trung trực
của tam giác BMC nên CE MB . Mà
MK / /CE MK MB.
Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)
Đặt BA x; BC y x. y 0
Ta có
BH kBA 1 k BC k x 1 k y
AC BC BA x y
Nên BH .AC 0 kx2 1 k y 2 0 *
1
2
cx
ay
0
a
c
a c2
a2c
a3 2ac 2
;
Do đó M
2 a2 c2 2 a2 c2
Trang | 11
BC 2b
BH 2b
; tan
tan tan
KC a
MH a
Suy ra tứ giác KMBC nội tiếp, do đó ̂
hay MK MB.
tan
Bước 3. Trình bày giải pháp.
Trƣớc hết ta sẽ chứng minh BM KM (Có thể sử dụng các giải pháp
đã nêu ở bước 2). Khi đó:
Phƣơng trình đƣờng thẳng BM : 9x 2 y 85.
9 x 2 y 85
B 1;4
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
2
x
y
2
Giả sử C c; c 5 ,
c 9 C 9;4
Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang
vuông ABCD ( ̂ ̂
) có đỉnh D 2;2 và CD 2 AB. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đƣờng chéo AC. Điểm
22 14
M ; là trung điểm HC . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C , biết
5 5
rằng đỉnh B thuộc đƣờng thẳng : x 2 y 4 0 .
Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.
Nhận thấy dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, B. Bằng trực
quan ta đƣa ra giả thuyết BM DM .
Nếu giả thuyết trên là đúng, ta sẽ “mở đƣợc nút thắt đầu tiên” của bài
toán đó là việc xác định đƣợc tọa độ điểm B. Từ đó ta hoàn toàn xác
định đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Gọi E là trung điểm đoạn DH. Khi đó tứ giác
ABME là hình bình hành ME AD nên E là
trực tâm tam giác ADM . Suy ra AE DM mà
AE / / BM DM BM .
Giải pháp 2. (Sử dụng công cụ véctơ)
Đặt DA x; DC y x. y 0; x x; y y Ta có
DH k x 1 k y ; AC x y
2
Suy ra DM .BM k 2 kx 1 k y 0 . Hay DM BM .
4
BM DM DB
Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ với
c
D 0;0 , A 0; a , C c;0 , B ; a .
2
Phƣơng trình các đƣờng thẳng
AC : ax cy ac; DH : cx ay 0
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
a2c
ax cy ac
ac 2
H 2
; 2
2
2
cx ay 0
a c a c
c 3 2a 2 c
ac 2
;
Suy ra M
DI 2IB I ;
Ta có
CD IC 2
3 3
Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : x 2 y 10 ;
Phƣơng trình đƣờng thẳng DH : 2x y 2
14 18
Suy ra tọa độ điểm H ; C 6;2
5 5
Từ CI 2IA A 2;4
Trang | 14
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.
- Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
AE DC khi đó ta thấy hình thang ABCD trong bài
toán 1.3 thực ra đƣợc cắt từ hình chữ nhật trong bài
toán 1.2 hay nói cách khác, bài toán 1.3 là một cách
phát biểu khác của bài toán 1.2
- Ngoài việc phát biểu lại bài toán 1.2, chúng ta cũng
có thể xây dựng các bài toán hình giải tích mới thông qua bài toán thuần
túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD có DC 2 AB . Gọi H
là hình chiếu vuông góc của D lên AC. Điểm M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng DM BM .
- Chúng ta cũng có thể kiểm tra xem những hình thang vuông thỏa mãn
mối liên hệ nào sẽ có tính chất phẳng tƣơng tự mà ta có thể dùng để phát
biểu bài toán hình giải tích tƣơng tự bài toán 1.3.
Ta có DM k x 1 k y, BM k 1 x 1 k m y
m 2
bài toán: Cho hình thang ABCD có DC 2DA 2 AB. Gọi M là điểm
trên đoạn AC sao cho CM 2MA . Chứng minh BM DM .
Trang | 15
Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC
cân tại A 1;3 . Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB 3AD
1 3
và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm M ; là
2 2
trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên
đƣờng thẳng x y 7 0.
Bước 1. Nghiên cứu và thâm nhập vấn đề.
Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm B, M, A. Từ
hình vẽ ta đề xuất giả thuyết AM BM .
Nếu giả thuyết này là đúng, ta sẽ “mở đƣợc nút
thắt đầu tiên” đó là xác định đƣợc tọa độ điểm B,
từ đó ta tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của tam
giác ABC.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Gọi N , I là giao điểm của đƣờng thẳng qua B vuông
góc với BC với các đƣờng thẳng CD và CA .
Do tam giác IBC vuông tại B và AB AC A là
trung điểm của đoạn IC , suy ra D là trọng tâm tam
1
giác IBC . Do đó AN / / BC.
BH k x 2 1 k y;
3
3
CD
2
4
x y
3
3
Trang | 16
1
2k
BH .CD 0 kx 2 2 1 y 2 0 *
3
3
Lại có BM
1
1
1
a 4c2
a2c
2ac 2
; 2
và tọa độ điểm M 2
2
2
a 4c a 4c
Nên
AM .BM
a 2 c 4c3 2a 2 c 2ac 2 a3 2ac2
a
2
4c
2 2
0, theo * AM BM .
Bước 3. Trình bày giải pháp.
Trƣớc hết ta chứng minh AM BM (Có thể sử dụng các giải pháp đã
nêu ở bước 2). Khi đó:
tích mới thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho tam giác ABC
cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AB 3AD . Gọi H là hình
chiếu của B trên CD; M là trung điểm đoạn CH. Chứng minh
AM BM .
Bài toán 1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông
ABCD có đỉnh A 1;2 . Gọi N là trung điểm của cạnh AD; điểm
19 8
H ; là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Xác định tọa độ
5 5
các đỉnh còn lại của hình vuông, biết trung điểm M của cạnh BC nằm
trên đƣờng thẳng x 2 y 6 0.
Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.
Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M. Từ hình vẽ ta có thể
đặt giả thuyết AH MH , ta cũng có thể kiểm chứng giả thuyết đã đặt
ra bằng một hình vuông với các tọa độ cụ thể nào đó.
Nếu giả thuyết trên là đúng, từ kết quả bài toán 1 chúng ta sẽ tìm đƣợc
tọa độ điểm M, từ đó ta sẽ tìm đƣợc tọa độ các đỉnh còn lại của hình
vuông thông qua tọa độ các điểm đã biết.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Dữ kiện bài toán xoay quanh các mối liên hệ về
tính vuông góc, trung điểm, các độ lớn phụ
thuộc lẫn nhau, vì vậy các giải pháp để chứng
minh AH MH đƣợc đề xuất là:
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Trang | 18
Tứ giác NHMB
Tứ giác ABMN
5
2 k y ; MH k x 1 k y .
Lại có AH k 1 x
2
2
2 k y 2 0, do * . Hay MH AH .
Suy ra MH . AH k 1 kx 2
4
Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ.
Các điểm B 0;0 , A 0; a , C c;0
c c
Suy ra M ;0 , N ; a .
2 2
Phƣơng
trình
các
đƣờng
CN : 2ax cy 2ac; BH : cx 2ay 0
thẳng
4a 2 c
2ac 2
2
y
6
Do CH / / AM nên phƣơng trình đƣờng thẳng CH : 2 x y 6.
Gọi N là trung điểm AD, từ N CH N n;6 2n .
n 2 N 2;2
Lại có AN .MN 0
19
19 8
n N ; H lo¹i
5
5 5
Suy ra D 5;2 . Từ AB NM B 1; 4 , khi đó C 5; 4
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.
- Để giải quyết bài toán 1.5 ta cần “mở nút thắt đầu tiên” đó là việc tìm
ra tọa độ điểm M dựa vào mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm A, H,
M. Hay nói cách khác bài toán 1.5 đƣợc xây dựng dựa trên bài toán
thuần túy hình phẳng sau đây: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của cạnh BC và AD, H là hình chiếu vuông góc của
B lên CN. Chứng minh rằng AH MH .
- Ta có thể sử dụng giải pháp 2(công cụ véctơ) hoặc giải pháp 3(công cụ
tọa độ) để tìm và xây dựng bài toán khái quát.
Ta xét hình chữ nhật ABCD với M, N lần
lƣợt là trung điểm của AD, BC. Ta cần tìm
+) Trƣờng hợp 3. 4kx2 2 k y 2 0, k lúc đó điểm H chính là
hình chiếu của B lên CN, nghĩa là chúng ta có bài toán hình phẳng
thuần túy khái quát hơn: Cho hình chữ nhật ABCD, các điểm M, N lần
lượt là trung điểm của BC và DA. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
B lên CN. Chứng minh AH MH .
x2 2 k
+) Trƣờng hợp 4. 2
chúng ta có thể xây dựng các bài toán
y
4k
tƣơng tự nhờ mối quan hệ về độ dài giữa hai cạnh của hình chữ nhật,
2
chẳng hạn ta cho x 2 y k
tức AB 2BC 2NH 15HC.
17
Bài toán 1.6. (Trích đề TSĐH khối A – năm 2013) Trong mặt
phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc
đƣờng thẳng d : 2x y 5 0 và A 4;8 . Gọi M là điểm đối xứng
của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đƣờng thẳng MD.
Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N 5; 4 .
Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.
Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, N,
C. Từ trực quan, ta đề xuất giải thuyết
AN CN .
Nếu giả thuyết đƣợc đề xuất là đúng, ta sẽ xác
định đƣợc tọa độ điểm C, từ đó ta tìm đƣợc
tọa độ các đỉnh còn lại.
Bước 2. Tìm giải pháp.
Giải pháp 1. (Thuần túy hình phẳng)
Do tứ giác DBCN nội tiếp, nên ̂
AN.CN k 1 kx2 2 k y 2 0, do * AN CN.
Giải pháp 3. (Sử dụng công cụ tọa
độ)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ.
Trong đó B 0;0 , A 0; a , C c;0 .
Phƣơng trình các đƣờng thẳng
MD : ax cy 2ac
và BN : cx ay 0
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phƣơng trình
2a 2 c
ax cy 2ac
2ac 2
N 2
; 2
.
2
2
cx ay 0
a c a c
Từ đó AN .CN
2a 2 c a 2c c3 2ac 2 ac 2 a 3
a
2
c
y 4 x2 y 2
y2
Do đó AN AD DN 2 AD.DN .cos 90 2
2
x y
2
2
2
0
x4 x2 y 2
x2
và CN DC DN 2 DC.DN . cos 2
2
x y
2
2
2
Nên AN 2 CN 2 AC 2 ANC vuông tại N, hay AN CN.
Bước 3. Trình bày giải pháp.
Ta sẽ chứng minh AN CN (Có thể sử dụng một trong các giải pháp
ở bước 2). Khi đó:
Đƣờng thẳng CN có phƣơng trình 3x 4 y 31.
x 4
x 2 y 2 2
B 4; 7
y 7
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.
- Nếu ta đặc biệt bài toán 1.6 thành hình vuông
ABME, ta nhận đƣợc kết quả tƣơng tự bài toán
1.5
- Để giải quyết bài toán 1.6 “mấu chốt” của vấn đề
là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho
hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng
của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Chứng minh
rằng AN CN.
R IA
Trang | 23
Copyright: Tài liệu đại học ©