Phòng GD&ĐT Yên Định Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Tr ờng THCS Định Tiến năm học 2006-2007
Môn: Toán - (Thời gian 120 phút)
Giáo viên ra đề : Lê Văn Yên

Bài 1(2 điểm) : Cho biểu thức:

( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y
yyx
x
P
+

++

+
=
111))1)((
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
Bài 2(2 điểm): Cho parabol (P) : y = -x
2
và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm
M(-1 ; -2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 3(2 điểm): Giải hệ phơng trình :

thỏa mãn :
zyxzyx
++
=++
1111
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3
+ (x
8
y
8
)(y
9
+ z
9
)(z
10
x
10
) .
Đáp án môn toán 9
Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :;
0;1;0;0
+
yxyyx
.
*). Rút gọn P:

( )

yxyx
yxxyyyxxyx
yxyx
yxxyyyxx
P
+=

+
=

+
=
+
++++
=
++
+++
=
++
+++
=
++
++
=
Vậy P =
.yxyx
+
b). P = 2

.yxyx


=+
=



=
=






=+
=

11
11
0
4
11
11
Với (x = 4 ; y = 0) thõa mãn ĐKXĐ của phơng trình, nên (x = 4 ; y = 0) là nghiệm nguyên
của phơng trình P = 2.
Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng
thẳng (d) là : y = mx + m 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x
2







=++
=++
=++
327
)2(1
111
19
xzyzxy
zyx
zyx
ĐKXĐ :
.0,0,0

zyx

( )
( )
( )
( )
( )
zyx
xz
zy
yx

=++++
++=++
=++
++=++
=+++++
=++
0)(
0)(
0)(
0)()()(
02)(2
27
281
812
81
2
2
2
222
222
222
222
222
222
2
Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x
= y = z = 3.
Bài 4:
a). Xét

Xét tam giác vuông ABQ có

BQAC
AB
2
= BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB
2
= BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R
2
= BC( BC + 2R) => BC =
R)15(

Bài 5:
Từ :
zyxzyx
++
=++
1111
=>
0
1111
=
++
++
zyxzyx
=>
( )
0

++
+++
+
=








++
++
xzzyyx
zyxxyz
xyzzyzx
yx
zyxzxy
yz
Ta có : x
8
y
8
= (x + y)(x-y)(x
2
+y
2
)(x
4

zx
3
+ x
4
)(z
5
- x
5
)
Vậy M =
4
3
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =
4
3