Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 Năm học: 2008 2009.
Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút
Cõu 1 (5.0 điểm):
1) Kho sỏt hm s
( ) ( )
2
1 2y x x= +
.
2) Da vo th bin lun theo m s nghim phng trỡnh

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x m m+ = +
Câu 2 (2.0 điểm):
Giải hệ phơng trình:








=+++
=+++
20
11
5
11
3

n
nnnn
CnCCCC
.
Câu 4(2.0 điểm):
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

mxxxx
++
2)6)(4(
2
Câu 5(2.0 điểm):
Giải phơng trình:

xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
Câu 6(6.0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại
M và N. Đặt V
1
= V
S.AMKN
, V = V
S.ABCD
.
1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V

R
Chứng minh rằng:








++++
!!2
1
2
n
n











++
!!3!2
1

=
=

1
1
x
x
x -

-1 1 +

y - 0 + 0 -
y +

*Vẽ đồ thị:
y= - 6x; y= 0

x = 0

y = 2.
Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng.
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0).
0.5
0.5
0.5
0.5
1.2 Biện luận số nghiệm của phơng trình 2
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đờng
thẳng y = (m +1)
2

(2 - m) = 0

m = -1 hoặc m = 2 thì có 2 nghiệm.
Khi (m +1)
2
(2 - m) < 0

m > 2 thì có 1nghiệm.
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
2 Giải hệ phơng trình 2.0
Đặt







=+
=+
v
y
y
u
x
x

33
vvuu
vu









=
=



=
=




=
=+

2
3
3
2

1;
2
53








+
2
53
;1









2
53
;1
0.5
0.5
3 Tìm số nguyên dơng n 2

2
)1)(12()('
++=
=
=
nn
nnnnn
xCnxCxCxCC
212
12
34
12
23
12
2
12
1
12
)12(432
+
+++++
++++++

.
Do đó
=+=
12)2(' nf
=
12
12

+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC

2n + 1 = 2009

n = 1004
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.

mxxxx
++
2)6)(4(
2
2
Đặt
txx
=+
)6)(4(


t

đúng với mọi t thoả mãn
50

t
.
Từ bảng biến thiên suy ra:
2

m
.
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Giải phơng trình:

xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin
+++=+++
(*)
2
(*)

(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0





t
xx
.
Tacó t
2
+ 4t +3 = 0

t = -1 v t = -3(loại)
Với t = -1
)
4
sin(
2
2
)
4
sin(

==+
x





+=
+=

)(2
)(2

SN
.
Vì SABCD là hbh nên V
s.ABC
= V
s.ADC
=
2
1
V.
Ta có
VV
SC
SK
SB
SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
6
1
3
1
2
1
.
3
2

0.5
0.5
0.5
6.2
Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
. Tính
V
V
1
theo x và y.
2
Ta có
V
x
Vx
SC
SK
SB
SM
V
V
AMKS
ABCS
AMKS
42

3
1
1

V
V
2
Do V
1
= V
S.AMN
+ V
S.MNK
và V
s.ABC
= V
s.ADC
=
2
1
V
Mà
V
xy
Vxy
SD
SN
SB
SM
V

.
===
Suy ra
4
3
1
xy
V
V
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
13

=
x
x
y
0,25
0,25
0,25
S
C
A
B
D
N
K
M
O

4
3
1
xy
V
V
=
=
)13(4
3
2

x
x
với







1;
2
1
x
.
Có f(x) =
2
)13(4

V
V
0,25
0,25
0,25
0,5
7
Cho n là số nguyên dơng lẻ và n

3,
.0,


R
Chứng minh rằng:








++++
!!2
1
2
n
n



++
!!3!2
1
32
n
xxx
x
n

Ta có: F(x) =









++++

)!1(!2
1
12
n
xx
x
n


n
].G(x)+ F(x). [- G(x) -
!n
x
n
]
=-
!n
x
n
[F(x)+G(x)]
=- 2
!n
x
n









+++

)!1(!4!2
1
142
n





0,25
0.25
0.25