CHƯƠNG III:
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHÓI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG ( 5 +1 +1)
Giả sử trong bình có N quả cầu trong đó có M cầu trắng và N-M cầu đen. Mỗi
phép thử là lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu từ bình. Theo những cách lấy khác nhau
sẽ có các quy luật phân phối xác suất khác nhau.
III.1.QUY LUẬT KHÔNG - MỘT A(p)
Giả sử lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu từ bình. Có hai biến cố xảy ra hoặc lấy
được cầu trắng (biến cố A), hoặc không lấy được cầu trắng, tức là lấy được cầu
đen ( biến cố
A
).
Xác suất P(A) = M/N = p; P(
A
) = (N-M)/N = 1 – M/N = 1 – p = q
Tổng quát giả sử ta tiến hành một phép thử trong đó biến cố A có thể xảy
ra với xác suất bằng p . Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó,
thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị có thể có là 0 ( không xảy ra biến
cố A) và 1 nếu biến cố A xảy ra. Do A và
A
lầ xung khắc nên xác suất để biến
ngẫu nhiên X nhận một trong hai giá trị trên là :
P
x
= p
x
.
q
1-x
với q = 1- p; x = 0; 1
1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có X
= 0; 1 với xác suất tương ứng tính bằng công thức trên gọi là phân phối theo quy

x
=
x
n
C
p
x
q
n-x
với x = 0, 1, 2..,n
1. Đinh nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X
= 0, 1, 2,…, n với các xác suất được tính bằng công thức trên, gọi là phân phối
theo quy luật nhị thức với các tham số n, p. ký hiệu B(n, p)
Thí dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong
một ngày mỗi máy hỏng đều bằng 0,1. tìm xác suất để:
a. Trong một ngày có 2 máy hỏng.
b. Trong một ngày có không quá 2 máy bị hỏng.
Giải: Gọi X là “ số máy hỏng trong một ngày” dễ thấy X có quy luật phân phối
nhị thức B(n, p) với n =5; p =0,1
a. Xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng chính là xác suất để X = 2
P
2
=
2
5
C
(0,1)
2
(0,9)
5-2

= 0,32805
2. Các tham số đặc trưng của quy luật phân phối nhị thức B(n , p):
Kỳ vọng toán E(X) = n.p
Phương sai V(X) = npq với q = 1 – p
Mốt m
0
được xác định: n.p – q ≤ m
0
≤ np + p
Thí dụ 2: Một nhân viên chào hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất
bán được hàng mỗi nơi đều bằng 0,2. Vậy nếu 1 năm người đó đi chào hàng 300
ngày thì trung bình sẽ có bao nhiêu ngày người đó bán được hàng ?
Giải: Trước tiên ta tìm xác suất người đó bán được hàng trong một ngày. Gọi X
là số lần bán được hàng trong ngày, theo bài ra X là biến ngẫu nhiên thỏa mãn
lược đồ Bernoulli với n = 10 ; p = 0,2
P = P(X ≥ 1) = 1 – P(X=0) = 1 –
8926,0)8,0.()2,0(
1000
10
=
C
( bán được hàng và
không bán được hàng là hai biến cố xung khắc)
Gọi Y là số ngày người ấy bán được hàng trong năm thì Y tuân theo quy luật nhị
thức với n = 300 và p = 0,8926. Vậy số ngày trung bình trong năm người đó bán
được hàng chính là kỳ vọng toán:
E(X) = n.p =300.0,8926 = 267,78 ngày
III.3. QUY LUẬT POISSON – P(
λ
)

quy luật phân phối Poisson. Tìm xác suất để trong 1 phút có không quá 2 ống
sợi bị đứt là đi tìm xác suất sao cho X nhận các giá trị trong đoạn [0 ; 2] .Ta có:
P(0 ≤ X ≤ 2) = P
0
+ P
1
+ P
2
1
12
1
01
11
00
0
)71,2(
2
1
2
1
)71,2(
1
1
)71,2()71,2(
!0
1
!0
−
−
−−−

với nhau nữa, do đó xác suất lấy được quả cầu trắng ở mỗi lần sẽ khác nhau.
Xác suất để trong n quả cầu lấy ra có x quả màu trắng như đã biết được tính theo
công thức xác suất cổ điển:
P
x
=
n
N
xn
MN
x
M
C
CC
−
−
.
1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X =
0, 1, 2,…, n với các xác suất tương ứng được tính bằng công thức P
x
=
n
N
xn
MN
x
M
C
CC
−

M
n ..
=
V(X) =
1
...
1
...
−
−
=
−
−−
N
nN
qpn
N
nN
N
MN
N
M
n

Note: Các quy luật phân phối A(p); B(n,p); P(
λ
); M(N,n) áp dụng cho các biến
ngẫu nhiên rời rạc
III.5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU. U(a,b)
1.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là phân phói theo quy luật đều

ab
xdxxfx
b
a
b
a
+
=
−
=
−
=
∫∫
+∞
∞−
E(X
2
) =
33
11
.)(.
223
22
abbax
ab
dx
ab
xdxxfx
b
a

35 triệu đồng / tháng.
Giải: Gọi X là doanh số hàng tháng mà doanh nghiệp có thể đạt ở thị trường
đó. Do không có thông tin gì hơn, nên ta xem X là biến ngẫu nhiên liên tục
phân phối đều trên khoảng (20;40)
Vậy X có hàm mật độ xác suất như sau:





∉
∈=
−
=
)40;20(0
)40;20(4,0
2040
1
)(
xkhi
xkhi
xf

Xác suất cần tìm là: P(X ≥ 35) =
25,05,0)(
40
3535
==
∫∫
+∞

được rằng nếu X là quy luật phân phối chuẩn thì:
Kỳ vọng toán E(X) = µ
Phương sai V(X) =
2
σ

3. Công thức tính xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị
trong khoảng (a;b)
P(a<X<b) =
=
∫
b
a
dxxf )(
)()(
2
1
00
.2
)(
2
2
σ
µ
σ
µ
πσ
σ
µ
−

này thí dụ; năng suất của cùng một loại cây trồng trong các thửa ruộng khác
nhau tuân theo phân phối chuẩn, hay năng suất lao động của các công nhân có
cùng tay nghề và làm cùng một công việc như nhau cũng theo phân phối chuẩn,
…
III.7 QUY LUẬT KHI BÌNH PHƯƠNG
)(
2
n
χ
Biến ngẫu nhiên liên tục
2
χ
gọi là phân phối theo quy luật khi bình phương với
n bậc tự do nếu hàm mật độ của nó được xác định sau;







>
Γ
≤
=
−
0.
)
2
(.2

n2)
2
=
χ
III.8.QUY LUẬT STUDENT – T(n)
Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo quy luật Student với n bậc tự
do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định bằng biểu thức sau:
t
n
t
n
n
n
tf
n
∀






−
+
−
Γ−
Γ
=
−
2

quả của lý thuyết xác suất, còn muốn ứng dụng các kết quả của lý thuyết xác
suất vào thực tiễn thì phải thông qua Thống kê toán học.
Thí dụ: Ta muốn nghiên cứu chiều cao X của các em học sinh ở lứa tuổi
lên 10. Hỏi X có phân phối gì? Trả lời câu hỏi này là nhiệm vụ của thống kê
toán học.
Trong thực tế nhiều khi phải nghiên cứu một tập hợp các phần tử đồng
nhất theo một hay nhiều dấu hiệu định lượng, hoặc định tính đặc trưng cho các
phần tử đó. Người ta có thể nghiên cứu toàn bộ, tức là thống kê toàn bộ tập hợp
đó và phân tích từng phần tử theo dấu hiệu nghiên cứu. Thí dụ để nghiên cứu
dân số của một nước theo dấu hiệu như tuổi tác, trình độ học vấn, giới tính, địa
bàn dân cư, cơ cấu nghề nghiệp…người ta tiến hành tổng điều tra dân số nước
đó và phân tích từng người theo các dấu hiệu đó.
1. Định nghĩa: Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên
cứu định tính hoặc định lượng nào đó được gọi là tổng thể nghiên cứu hay tổng
thể.
Số lượng các phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể, ký hiệu
là N.
Với mỗi tổng thể ta thường nghiên cứu các dấu hiệu đặc trưng cho tổng
thể đó, chúng được gọi là dấu hiệu nghiên cứu, ký hiệu là
χ
2. Các phương pháp mô tả tổng thể:
+ Giả sử tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng
χ
nhận các giá trị
x
i
với các tần số tương ứng là N
i
( N
i

∑
=
n
i
i
i
NN
iNN
1
0
+ Ký hiệu : p
i
=
ni
N
N
i
,...,2,1
=
; p
i
gọi là tần suất của x
i
. khi đó tổng thể
có bảng phân phối tần suất sau:
Giá trị của
χ
.x
1
.x

1
10
+ Ký hiệu:
niNw
ij
xx
ji
,...,2,1
==
∑
<
và gọi là tần số tích lũy của x
i
( tức là
tổng số các phần tử của tổng thể có giá trị nhỏ hơn x
i
+ Ký hiệu: F(x
i
) =
∑
<
=
ij
xx
j
i
N
N
N
w

1
, x
2
,…..,x
k
với các tần số
tương ứng N
1
, N
2
,….N
k
( k < n) thì:
.m =
i
k
i
i
Nx
N
∑
=
1
1
Giả sử tổng thể có kích thước N bao gồm các phần tử mang các giá trị khác nhau
của dấu hiệu nghiên cữu
χ
là x
1
, x