Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Bài Giảng Môn học
Xác Suất và Thống Kê
Nguyễn Văn Thìn
Khoa Toán - Tin Học
Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM
Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Nội dung
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Tập hợp
Giải tích tổ hợp
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Khái niệm về tập hợp
•
Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa,
tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học.
•
Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số
hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó.
Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.
•
Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, . . . để kí hiệu tập
hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược
lại, a không thuộc A ta kí hiệu a /∈ A
•
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Biểu diễn tập hợp
Có hai cách xác định một tập hợp:
•

và B bằng nhau và kí hiệu A = B.
Ta viết
A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Các phép toán trên các tập hợp
•
Giao của hai tập hợp
Giao của hai tập hợp A và B đã cho là
tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả
hai tập hợp này, kí hiệu là A ∩ B
Ta viết
x ∈ A ∩ B ⇔

x ∈ A
x ∈ B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
•
Hợp của hai tập hợp
Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là
tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một
trong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B
Ta viết
x ∈ A ∪ B ⇔

x ∈ A
x ∈ B
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Các phép toán trên các tập hợp
•
Hiệu của hai tập hợp

1
cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n
2
cách thực hiện, . , giai đoạn thứ k có n
k
cách thực hiện. Khi đó
ta có
n = n
1
n
2
. . . n
k
cách hoàn thành công việc.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Quy tắc nhân
Ví dụ
Giả sử đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua B. Có 3 đường khác
nhau từ A đến B và có 2 đường khác nhau từ B đến C.
Vậy có n = 3.2 = 6 cách khác nhau để đi từ A đến C.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử
•
Nhóm có thứ tự
Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận
được nhóm khác.
•
Nhóm không có thứ tự
Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta không
nhận được nhóm khác.

Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n
3
= 3 cách chọn.
Vậy có n = 4.4.3 = 48 số.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Chỉnh hợp
Định nghĩa
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự
gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
Gọi A
k
n
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Khi đó,
A
k
n
= n.(n − 1) . . . (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Chỉnh hợp
Ví dụ
Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó?
Bài giải
Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai
phần tử có thứ tự và không lặp. Nên có
A
2
12

phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có
thể có mặt hơn một lần trong nhóm.
Gọi

A
k
n
là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó,

A
k
n
= n
k
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Chỉnh hợp lặp
Ví dụ
Từ các số của tập hợp A = {1, 2, 3}, ta có thể lập được

A
5
3
= 3
5
số có 5 chữ số.
Nhận xét
Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp
nên ở đây k có thể lớn hơn n.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Tổ hợp

C
k
n
= C
n−k
n
.
•
C
k
n
= C
k−1
n−1
+ C
k
n−1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Nhị thức Newton
Công thức nhị thức Newton
(a + b)
n
=
n

k=0
C
k
n
a