Các phân phối xác suất thông dụng
1
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Đònh nghóa (Normal Distribution)
Bnn X có phân phối chuẩn, được kí hiệu X ∼ N(µ; σ
2
), có hàm mđxs
f(x, µ, σ) =
1
σ
√
2π
e
−
(x − µ)
2
2σ
2
1

2
2
(Hàm Gauss)
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Đồ thò của hàm Gauss
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Hàm ϕ(z) =
z

0
f(x)dx (Hàm Laplace). Giá trò của hàm Laplace là diện tích
của miền sau:
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm

) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)
2
) (a = 0).
X ∼ N(0; 1) :
P(a ≤ X ≤ b) =
b

a
f(x)dx =
b

0
f(x)dx −
a

0
f(x)dx =
ϕ(b) − ϕ(a).
X ∼ N(µ; σ
2
) =⇒
X − µ
σ
∼ N(0; 1) :
P(a ≤ X ≤ b) = P(
a − µ
σ
≤
X − µ
σ

Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Quy tắc nσ
Cho bnn X ∼ N(µ; σ
2
)
n=2: P(|X − µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 95, 45%
n=3: P(|X − µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 99, 73%
n=6: P(|X − µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 99, 999999803%
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Phân phối Bernoulli
Trong một phép thử, xác suất để biến cố A xảy ra là P(A) = p. Gọi X là
số lần biến cố A xảy ra trong phép thử đó. Ta nói X tuân theo luật phân
phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(1; p).
Ta có: Luật phân phối xác suất của X là
X 0 1
P q p
, với q = 1 − p.
Từ đó ta được:
E(X) = p, Var(X) = E(X
2
) − E(X)
2
= p − p
2

p
k
q
n−k
với k ∈ X{Ω}, q = 1 − p
3
EX =
n

i=1
E(X
i
) = np, VarX =
n

i=1
Var(X
i
) = npq
4
ModX = n
k
với (n + 1)p − 1 ≤ n
k
≤ (n + 1)p
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson

2
P(X = k) = e
−λ
.
λ
k
k!
3
EX = VarX = λ
4
ModX = n
k
với λ − 1 ≤ n
k
≤ λ
Điều này có nghóa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn và p khá
nhỏ sao cho np < 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ P(λ) với λ = np
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Xấp xỉ phân phối nhò thức bằng phân phối Poisson
Ví dụï:
Một máy sản xuất sản phẩm tự động với khả năng sản xuất ra một phế
phẩm ở mỗi lần sản xuất là 0, 1%. Cho máy này sản xuất 1000 sản
phẩm. Tính xác suất
a. Có đúng 2 phế phẩm trong số đó.

i
− µ
i
|
2+δ

s
2+δ
n
= 0 (điều kiện Lyapunov)
thì
1
s
n
n

i=1
(X
i
− µ
i
) −→ N(0; 1) hay
n

i=1
X
i
−→ N(m
n
; s

ngẫu nhiên nào trong các X
i
, 1 ≤ i ≤ n chiếm ưu thế so với các biến
ngẫu nhiên còn lại thì đại lượng ngẫu nhiên X sẽ tuân theo luật phân
phối chuẩn với kỳ vọng m
n
và phương sai s
2
n
.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Đònh lý (Đònh lý Lévy)
Cho X
1
, X
2
, . . . , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
kỳ vọng µ và độ lệch chuẩn σ hữu hạn. Khi đó S
n
−→ N(nµ; nσ
2
), với

i
∼ B(1; p). Áp dụng đònh lý giới
hạn trung tâm ta có được đònh lý Moivre-Laplace.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Điều này có nghóa trong thực hành khi X ∼ B(n; p) với n đủ lớn sao cho
np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta có thể xấp xỉ X ∼ N(µ; σ
2
) với µ = np, σ =
√
npq.
P(X = k) ≈
1
σ
f(
k − µ
σ
)
P(k
1
≤ X < k
2
) ≈ ϕ(
k
2

bình của dây xích.
b. Cho biết độ dài của mỗi dây xích có phân phối chuẩn với độ dài
trung bình là 58,5cm và độ lệch chuẩn là 0,08cm. Tính tỉ lệ mắt xích của
dây chuyền sản xuất có độ dài sai lệch quá 0,02cm so với độ dài trung
bình của mắt xích.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Ví dụ
Với n = 100, p = 0, 015 ⇒ λ = µ = np = 1, 5, σ =
√
npq =

1, 4775.
Ta có đồ thò của B(n; p), P(λ), N(µ, σ
2
) như sau:
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các phân phối xác suất thông dụng
Phân phối chuẩn
Phân phối nhò thức
Phân phối Poisson
Đònh lý giới hạn trung tâm
Một số luật phân phối xác suất thông dụng khác
Ví dụ
Với n = 100, p = 0, 4 ⇒ λ = µ = np = 40, σ =

}}.
2
P(X = k) =
C
k
N
A
C
n−k
N−N
A
C
n
N
, với k ∈ X{Ω}.
3
EX = np, VarX = npq
N − n
N − 1
, với p =
N
A
N
, q = 1 − p.
4
ModX = k với
(N
A
+ 1)(n + 1) + 2
N + 2

2
(k).
Hàm mật độ xác suất của X ∼ χ
2
(k) là
f
k
(x) =



1
2
k
2
Γ(
k
2
)
x
k
2
−1
e
−
x
2
, x > 0
0 , x ≤ 0
.