Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Bài Giảng Môn học
Xác Suất và Thống Kê
Nguyễn Văn Thìn
Khoa Toán - Tin Học
Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM
Ngày 4 tháng 9 năm 2011
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Nội dung
Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Biến cố và xác suất
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên
Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Định nghĩa
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian các biến cố sơ cấp
Ω vào R,
X : Ω −→ R
ω −→ X = X (ω)
Người ta thường dùng các chữ in X, Y , Z, . . . để ký hiệu các biến
ngẫu nhiên và các chữ thường x, y, z, . . . để chỉ các giá trị của
biến ngẫu nhiên.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó
có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Ví dụ

không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x) được định nghĩa
F(x) = P (X < x) (1)
với mọi x ∈ (−∞, +∞).
Tính chất
Hàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất cơ bản sau
i) Hàm phân phối là hàm không giảm.
ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm.
iii) F(−∞) = lim
x →−∞
F(x) = 0, F(+∞) = lim
x →+∞
F(x) = 1.
iv) P (x ≤ X < b) = F (b) − F (a) với mọi a, b ∈ R và a ≤ b.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
với xác suất tương ứng là P (X = x
i
), ta đặt
f (x) =

P (X = x) khi x ∈ {x
1
, . . . , x

) (2)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Lý luận tương tự như trên ta thu được
P (X ∈ I) =

x
i
∈I
P (X = x
i
) =

x
i
∈I
f (x
i
)
Trường hợp đặc biệt là khi I = (−∞, +∞) thì
P (X ∈ I) = P (−∞ < X < +∞)
=

x
i
f (x
i
) = 1
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất

Ví dụ
Một người đi thi bằng lái xe, xác suất đậu của anh ta ở mỗi lần thi
là 0.3. Anh ta sẽ thi đến khi đạt được bằng lái xe thì thôi. Gọi Z là
số lần người đó dự thi. Lập bảng phân phối xác suất của Z.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm số f (x) không âm, xác định
trên R và thỏa các tính chất
i)
P (X ∈ I) =

I
f (x)dx, ∀I ⊂ R
ii)
∞

−∞
f (x)dx = 1
hàm số f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên
X.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Chú ý:
1) Mọi hàm f (x) không âm, và thỏa điều kiện
∞

−∞
f (x)dx = 1
đều là hàm phân phối của 1 biến ngẫu nhiên X nào đó.
2) Từ định nghĩa về hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất

có dạng
f (x) =

a
x
2
nếu x ≥ 100
0 nếu x < 100
với a ∈ R.
a) Hãy xác định hàm phân phối của Y .
b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất
400 giờ. Tính tỉ lệ loại A.
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Kỳ vọng
Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X x
1
x
2
· · · x
n
· · ·
P f (x
1
) f (x
2
) · · · f (x
n
) · · ·

Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục)
Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x),
kỳ vọng của X là
E (X) =
+∞

−∞
xf (x)dx (4)
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Ví dụ
Cho X là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
f (x) =

2x nếu x ∈ [0, 1]
0 nếu x /∈ [0, 1]
Tìm kỳ vọng của X.
Ví dụ
Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất
g(x) =

2
x
2
nếu x ∈ [1, 2]
0 nếu x /∈ [1, 2]
Tìm E(Y ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Tính chất của kỳ vọng
Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C ∈ R thì kỳ vọng của
biến ngẫu nhiên có các tính chất sau

có các tính chất sau
i) Var (C) = 0.
ii) Var (CX) = C
2
Var (X).
iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Phương sai
Ví dụ
Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi nặng 10g, 5 viên
nặng 50g, 2 viên nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên ra 1 viên bi và gọi X
là khối lượng của viên bi đó. Tính E(X), Var(X).
Ví dụ
Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất
g(x) =

2
x
2
nếu x ∈ [1, 2]
0 nếu x /∈ [1, 2]
Tìm E(Y ), Var(X ).
Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Ý nghĩa của Phương sai
• Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa X và
E(X), nói cách khác phương sai là trung bình bình phương sai
lệch, nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu
nhiên xung quanh giá trị trung bình.
• Trong công nghiệp phương sai biểu thị độ chính xác trong sản
xuất. Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định của