A.

Phân tích đa thức thành nhân tử

I. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phơng pháp đặt nhân tử chung
a) Phơng pháp :
+ Trớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt trong tất cả các hạng tử của
đa thức.
+ Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và
một nhân tử khác.
+ Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Các hạng tử trong dấu ngoặc
là thơng của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.
b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) A = 5x 2y 10xy 2
2) B = 2x(3y 7 z) + 6y(7z 3y)
3) C = (y 2 z)(2x 2y yz) (4yx 2 + yz 2)(z y 2) + 6x 2z(y 2
z).
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
Q = (x + 2z)(3x 2 + 5x 2y) (7x 2 3x 2y)(2z + x)
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
P = 3a(b 2 2c) (a 4)(2c b 2 )
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
H = 3xmy 9x ny2 + 15x n+1 với m, n N, m > n.
2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phơng pháp:
Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất
hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng
nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ :

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) x2 xy + x y
2) x 2 - 2xy - z 2 + y 2 + 2zt t 2
3) 9 x 2 + 2xy y 2
Bài toán 1.1: Phân tích đa thức
E = 3x3 75x + 6x 2 150
Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
F = x 3 + ( a + b + c ) x 2 + (ab + ac + bc ) x + abc
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
G = x ( y 2 z 2 ) + y ( z 2 x 2 ) + z( x 2 y 2 ).
4. Ph ơng pháp phối hợp các ph ơng pháp.
a) Phơng pháp:
Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng
pháp, ta nên chú ý chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên nh sau :
Bớc 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung
hay không?



Có nhân tử chung: áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung.
Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bớc 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng.

Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bớc 2.
Bớc 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua bớc 3.
Bớc 3: Dùng phơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng
đẳng thức hoặc nhân tử chung.
b) Ví dụ :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
1) 2x2 + 4x + 2 2y2
2) 2a2 12ab + 18b2

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức
I = x 4 + 5x 2 14
Bài toán 1.3: Phân tích đa thức
K = x2 + 4x 21
6. Phơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
a) Phơng pháp:
Trong một số bài toán, ta nên đa một biến phụ vào để việc giải bài
toán đợc gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc
hai rồi sử dụng các phơng pháp cơ bản khác và tiếp tục phân tích.
b) Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2
Giải:
1)
f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12
Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1
f(x) = y(y + 1) 12
= y2 + y 12
= y2 3y + 4y 12
= y(y 3) + 4(y 3)
= (y 3)(y + 4)
Thay y = x2 + x + 1 , ta đợc:
f(x) = (x2 + x 2)(x2 + x + 5)
Đến đây ta phân tích tiếp:


x2 + x – 2 = x2 – x + 2x – 2
= x(x – 1) + 2(x – 1)

4 4


Vµ x2 +x + 5 kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc n÷a.
KÕt qu¶: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5).
2)
h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24
= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 24
§Æt y = x2 + 5x + 4 ⇒ x2 + 5x + 6 = y + 2 vµ ta ®îc:
h(x) = y(y + 2) – 24
= y2 + 2y – 24
= y2 - 4y + 6y – 24
= y(y – 4) + 6(y – 4)
= (y – 4)(y +6)
Thay y = x2 +5x + 4 , ta ®îc:
h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10)
= x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
KÕt qu¶: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10).
3)
g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) + y2z2
= 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
§Æt : x2 + xy + xz = m, ta cã:
g(x) = 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= ( 2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz, ta ®îc :
g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

3) 4x4 + 81
4) x8 + x4 + 1
Giải:
Các hạng tử của các đa thức đã cho không chứa thừa số chung,
không có một dạng hằng đẳng thức nào, cũng không thể nhóm các số hạng.
Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có
thể vận dụng các phơng pháp phân tích đã biết.
1)
a3 + b3 + c3 3abc
Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp


a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 ac bc + c2 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac bc)
2)
x5 1
Ta sẽ thêm và bớt x sau đó dùng phơng pháp nhóm:
x5 1 = x 5 x + x 1
= (x5 x) + (x 1)
= x(x4 1) + ( x 1)
= x(x2 1)(x2 + 1) + (x - 1)
= x(x +1)(x 1)(x2 + 1) + ( x 1)
= (x 1)[x(x + 1)(x2 + 1) + 1].
3)
4x4 + 81
Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng
hằng đẳng thức:

d) 3xmy + 9xn+1y3 15xny với m,n N, m > n .
1
1
e) x(y 1) x 2 y(y 1)
3
3
2
f) (4x 8)(x + 6) (4x 8)(x + 7) + 9(8 4x).
g) 3x5y2 + 18x3y2 - 12x3y7
h) 7xy5(x 1) 3x2y4(1 x) + 5xy3(x 1).
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp dùng
hằng đẳng thức:
1
a) (x y + 1) 2 (x y + 1) +
4
1
b) 27x 3
8
3
c) (a + b) (a b) 3
d) 8x 3 + 12x 2y + 6xy 2 + y 3
e) 64x 6y4 81x 2 y2
f) 25m2 (x 1)2
g) x3 3x2 + 3x 1
h) 64x3 + 27
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm
nhiều hạng tử:
a) ax 2 + bx 2 cx 2 + ax + bx cx
b) x2 + 4x - y2 + 4
c) 10ay 5by + 2ax bx

c) x4 + 5x3 +10x - 4
d) x 7 + x 2 + 1
e) x3 + y3 + z3 - 3xyz
f) x4 + 64
g) x 10 + x 5 + 1


Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất
định:
a) f(x) = x 4 6x 3 + 11x 2 6x + 1
b) g(x) = x 4 x 3 + 2x 2 11x 5
c) h(x) = x2 + 3x + 2
d) k(x) = x4 - 3x3 + 6x2 - 5x + 3.
Bà i 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp tìm
nghiệm:
a) A = 2x 3 5x 2 + 3x + 10
b) B = x5 + 1
c) C = x3 + 3x2 - 4x + 2
d) D = x 4 + 4x 2 5.
Bi 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp phối hợp
các phơng pháp :
a) 3ab3 6a2b2 + 3a3b
b) x 2 4 + (x 2)2
c) x 3 2x 2 + x xy 2
d) x 3 4x 2 12x + 27
1
e) 1 + x 3
64
2
f) x 2xy + y2 xz + yz