PHẠM TRỌNG THƯ

GIẢI TÍCH 12
T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
DỪNG CHO

:

♦ HỌC SINH LỚP

12

♦ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


Lời nói đâu
Nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có tài liệu toán GIẢI TÍCH tham
khảo để tự ôn tập, tự kiểm tra kiến thức của mình, chúng tôi biên soạn cuốn sách
595 BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 tự luận và trắc nghiệm.
Cu ôn sách được chia làm bốn chương
Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o s á t v à v ẽ Đ ồ THỊ CỦA
HÀM SỐ
Chương II : HÀM s ố LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM s ố LÔGARIT
Chương III : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chương IV : s ố PHỨC

Nội dung của mỗi chương được biên soạn theo bố cục
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Thuộc về
Không thuộc về
Tập hợp số thực
Tập hợp số nguyên
Tồn tại
Giá trị lớn nhất
Giá ưị nhỏ nhất
V ế trái.
V ế phải
Tập xác định của hàm số

3
GTLN
GTNN
VT
VP

D


Chương I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM s ố

sát

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ố
Hằm 5ốđơn điệu. Cho hàm số f xác định ưên I, với I là một khoảng, đoạn hoặc


+ x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b)
sao cho x 0 e (a ;b )c :D v à f(x )< f(x 0), V x e (a ;b )\{x 0}.
+ Xịj là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoả ng (a; b)
sao cho x 0 e(a ; b ) c D v à f(x )> f(x 0),V x e (a ; b )\{ x H}.
(Diều kiện cẩn đ ề hàm tố ¿tại eựe tri

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0và hàm số f só dạo hàm tại điểm x() thì
f'(xo)=. 0 .
( Hàm f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm )
5


đủ đ ể h àm i ấ đ ạ i eựe
tr i
a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x()và có đạo hàm trên

D iề u k iện

các khoảng (a; x„) và (x0; b). Khi đó
+ Nếu f'(x) < 0, Vx e (á ; x0) và f'(x) > 0,Vx e(x„; b) thì f đạt cực tiểu tại x0.
+ Nếu f'(x) > 0 , Vx e (a; x0) và f'(x) m ,VxeD
3 x 2 e D : f(x2) = m.

Kí hiệu : m = min f(x) hay m = m iny.
4. ĐƯỜNG TIỆM CẠN CỦA Đ ồ THỊ HÀM s ố
Giả sử hàm sô" y = f(x) có đồ thị là (C)
lim f(x)

.

=

.

X ->X y

.

X -»X q

lim f(x)


lim f(x)

=

X-+ + X

y 0 hoặc lim f(x)

=

y ()

x - > - x

.Nếu lim [f(x )-(a x + b)] = 0 ( a ? t0 )
X ->+*>

hoặc lim [f(x) - (ax + b)]

=

0 ( a ^ 0)

y - ax + b là tiệm cận xiên
của (C)

X- > - x

Cách



. Hàm số’cố một cực tiểu và một cực đại.

1

y*V

0

\

/

y>

0

X

\
\
1

1

. y' > 0 ,Vx € D hc)ặc y' > 0,Vx e D

. y' < 0,Vx e D hoặ
ỉ

-------------------- J ._______ _

\

0

/

gj—

------ ---------- -----T™

*

Nhận xét: a > 0 và b < 0 thì

*

Nhận xét: a < 0 và b > 0 thì

. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu

. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn

. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn

7


+ Đồ thị hàm số nhâ't biến y = ax + k (c * 0 , ad - bc
cx + d

0)

0

. C ổ th ể n h ìn a d - b c < 0
2

+ Đồ thị hàm số hữu tỷ y = — +
+ c = px + q + — - — ( a e * 0 , r * 0 )
ex + f


*
o
*

/
a .c
a .

e

>

0

v à

y '

=

0

C Ổ

h a i

n g h i ệ m

p h â n


x

€

D

b iộ l

rt

s

• '1

p h â n

b i ệ t

y '

Giải
. Tập xác định: D = R
.Đ ạohàm : y' = 4x 3 + 3 x 2 - 6 x - 5
y' = 0<=>(x + l) z( 4 x - 5 ) = 0 o x = - l hoăcx = —

4

• Bảng biến thiên:
X

—

00

. y'
y

*

5
4

—

- 1

-

0


Giải
• Tập xác định: D = R \{ - l}
Ị 2 ẵ2 + 4x —6
• Đạo hàm: y' = - - - - - X—(x + 1)
y' = 0 o 2 x 2 + 4 x - 6 = 0 o
• Bảng biến thiên:
-00

- 3

+

0

X

= 1 hoặc

- I

-

X

= -3
+ 00

1

-


10


0n

X
y

71
—
3

71

Ị

+

y

..

..

0

............... - '

*

y' = 0 o X2 - X - 2 = 0 o X = -1 hoặc
. Bảng biến thiên:
X

—00

y'

-1
-

ft
X

=2
+ 00

2
0

+

0

+ 00 '

^

—


12

CƯC


Bài 9. Tìm m để hàm sô
a ) y = X5 - 2x2 + mx + 2008 có cực trị.
X2 + (m + 2)x - m + 1
b) y =
có cực đại và cực tiếu.
x+1
Giải
a) . Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + m
Để hàm số có cực trị o y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
4
o A' = 4 - 3m > 0 <=> m < —
3
b) Tập xác định: D = R \ {—1}
. .
,
X 2 + 2x + 2m +1
g(x)
\
Đạo hàm: y = (x + i ỵ
(x + i r
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu « g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác - 1
ÍA' = - 2 m > 0
n


.Vậy: m = 1 .
Bài 11. Tìm cực trị của hàm số y = X - e x.
_ _

. Tập xác định: D = R
.Đ ạo hàm: y' = 1- e *
ý' = 0 <=> 1 - e x = 0 o e x = e° o X = 0
Nếu X > 0 => e x > e° = 1 => y' < 0
Nếu X < 0 => e x < e° = 1 => y' > 0
13


. Bảng biến thiên:
—00

X

y'

4-00

0
+

0
CĐ

y
• Vậy: yCĐ = y(0) = -- 1 .
e -2 <=> lnx > -2 => y' > 0
0 < X < e~2 <=> lnx < - 2 => y' < 0
X

• Bảng biến thiên

y'

1111

Bài 13. Cho hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 . Tim cực trị của hàm số và viết
phương ưình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu
của đồ thị.
*

2

•

Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' - 6(x 2 - 3x + 2 ); y' = 0 «

Xị

= 1 hoặc x 2 = 2

C á ch l
• Bảng biến thiên:
X

y'

14

- 00

1

+


Chia f(x) cho f'(x) ta được: f(x) = —X - — f'(x) - X + 2
3
2
Với

X,

=1 thì

f ( x , ) = i — X. - — f'(X)) - X,

+2 = -X ,

+2 = 1

(1
iV
x 2 = 2 thì f(xn) = —x 2 - — f'(x2) - x 2 + 2 = —x 2 + 2 = 0
\3

2)

Gọi M ,(x,; y,), M 2(x2; y2) là hai điểm cực trị, ta có: j ^:1 ~ _X| +
(y 2 ——x 2 + L
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ,, M 2 là y = - X + 2.
_I
phương trình
Bài 14. Cho hàm số y = ---- --------- . Tìm cực trị của hàm số và viết phươn
của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị.

/

0

—

+

+ Q0

1
y

+CO

+ O0
*

—CO

13
cr

• Điểm cực đại M|( - 1 ; 1), điểm cực tiểu M2(5; 13)
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
X- X

y - y Hl

-----= _£—


15


Bài 15. Tìm cực trị của hàm số y = X + a/ i -X 2 .
Giải
•Tập xác định: D = [ - l ; 1]
. Đạo hàm: y' = 1-

X

V l - X 2 —X

Vl - X 2

-v/l-x2

. Giải
-Jl-X 2 < X (*)
[x > 0
>/2 •
_ [x > 0
-»
<r> —— < X < 1
( * ) « ! ;'1 - x,22 > 0 , 1 - x 2 < x 2 ° V|
-2^
Ị l - X2
> 0" , l*- 2*1-x 2 < 0
2


-1

y'
y

©

14

. Dựa vào bảng biến thiến : maxy =
16

1

3
+

46

khí X = 3, m in y = - 6 khi X = 1.


Bài 17. Tìm GTNN của hàm số y =

——

_________________________ _

với X > 0 ).


(1) viết lại: y = -2 u 3 - 6u2 - 6u + 3
y' = - 6 u 2 - 12u - 6 = -6 (ú 2 + 2u + 1) = -6(u + 1)2 < 0, y' = O o u = -1
Bảng biến thiên:
TRUNG TẨM THÒNG ĨỈN fHU

V :T.

17
L o

LAẢ”


0_
5

Dựa vào hảng hiến thiên thây:
maxy = 5 khi sinx = -1 <=> X =

+ k2rt, k e z

miny = —11 khi sinx = 1 o X = —+ k27T, k £ z

2

Bài 20. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sinx + ‘xosx + 1
sinx + cosx + 3
•2•
Giải
/


3+ . Vì limy. = lim ----- 7-= 3 => y = 3 là tiêm cân ngang
1X -* rx.

\-r > f£

I

X
b) . Vì limy = +oo và lim y = -co => X = 2 là tiệm cận đứng.
\-*2+

x-»2

1+ậ
X
Vì lim y = lim —— — = I => y = 1 là tiêm cân ngang.
1 -x-*+-x ụ

18

X ♦+■*

/

*


-X. 1 +


y
Vx
, 1
a = lim —= lim ----- —-------= lim , 1 + —
’■*“ X "*■*
X
*■*" V
X

5

=1

X

b = lim (y - x) = limíVx2 +x + 5 - x ) = lim- 7=..—+ '1----' *

1

V x2 + X+

5+X

= lim ,
»
= 1.
/, 1 5 , 2
1+ T + — +1
V X X
1

2

•

3

__ _____________________________________________________________ Ị-______ _______________ _________ ____________________________________________________________

m2

Bàỉ 25. Tìm m để đồ thi hàm SC) y = -X + m + 1-------- ( m 5É0 ) có tiệm

x+1

cận xiên đi qua điểm A(2; 0).
/-N •

Giải
(

• Vì lim

^ 2

m

X +1

^


ịy = Y - l
. Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là
Y - l = X - l ------- ỉ-----hay Y = X - —
. Hàm số Y = X - — là hàm số lẻ
'
*
X
. Do đó : Đồ thị (C) nhận I làm tâm đối xứng.
Bài 28. Cho hàm số y = X3 - 3mx2 + (m + 3)x -1 có đồ thị (C). Tìm m để
điểm uốn của (C) nằm trên parabol (P): y = X2.
Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 -6 m x + m + 3, y" = 6x - 6 m
y" = 0 o x = m
Ta thây y" đổi dâ'u khi X qua điểm x0 = m
Suy ra: I(m; - 2m3 + m 2 + 3m - 1 ) là điểm uốn của đồ thị (C)
1 e (P) Cí> -2 m 3 + m 2 + 3m - 1 = m2 o 2m3 - 3m +1 = 0
<=> (m -1 )(2 m 2 + 2m - 1 ) = O o m = 1 hoăc m = —- ——
2
Bài 29. Cho hàm số y = X3 + 3mx2 + (m + 2)x +1 có đồ thị (C). Tìm m để
điểm uốn của (C) nằm trên trục hoành.
Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 + 6mx + m + 2
ý" = 6x + 6m
ý’ = 0 o x = -m
21


Ta thây y" đổi dâu khi Xqua điểm x0 = -m


.

„_ 2(x - l)(x 2 + 4x +1)
—

-----------------------------------7--------------—

7--------------------------

(x2 + 1)3

(x2 + 1)2

. y' = 0 •«> X = 1 hoặc x = - 2 - S hoặc X= - 2 + 73
.y ”đổi dâu khi X qua điểm 1 , - 2 ± 73

1-73

A(l; 1), B -2 - 73;

, c -2 + 73 ;

- 3+7Jì ,
4

BC =

là các điểm uốn
*■>

ý* = -6 x , y -0<=>x = 0
■
Ta thấy y* đổi dâu khi X qua điểm 0, nên l(0; 2) là điểm uốn của đồ thị
Giđi hạn: lim y = +oo, limy = -0 0
\-» -X

m \-M -X

• Bảng biến thiên:
X

- 00

-1

-

y'

0

+ 00

+ 00

1

+

—

Giới hạn: lim y = -oo, limy = +co
• Bảng biến thiên:

Bài 33. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = —X4 - 3 x 2 + —•
_____________ ______________________________________

2 _________ 2_

Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' - 2x 3 - 6x = 2x(x 2 - 3), y' = 0 o
y* = 6x 2 - 6, y" = 0 o x = ±l

X

- 0 hoặc

X

= ±yfĩ

23


Ta thấy y' đổi dấu khi X qua điểm ± 1 , nên l ( - l ; o) và j( l ; 0) là điểrq uốn
của đồ thị
Giới hạn: lim y = +00
m

*♦

—00
Điểm đặc biệt: A( -1; 0), B(l; 0)
• Đồ thị

—00


§7. KHẢO SÁT MỘT s ố HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Bài 35. Khảo sát sự hiến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

X+2

2 x -l

Giải
»Tập xác định :D - R \
-5

«Đạo hàm : y' =

(2 x -l)
.V ì

lim y =
“ 3"

+00
1

lim y = - 00.
tx

2

;

=> X = —là tiệm cận đứng

1+
x-k+x

< 0, Vx e D => Hàm số đã cho y giảm trên D

-

X _ 1
1 „ ..
. _______
Y = —=>y = —là tiệm cận ngang
—

X

.Điểm đặc biệt: A(0; - 2 ) , B( - 2 ; 0), C(3; 1)