Trờng thcs Định hải đề thi học sinh giỏi huyện Môn toán

Lớp 8: Thời gian : 180 phút
Bài 1: (3đ)
Cho phân thức : M =
82
63422
2
2345
+
+++
xx
xxxxx
a) Tìm tập xác định của M
b) Tìm các giá trị của x để M = 0
c) Rút gọn M
Bài 2: (2đ)
a) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta đợc
242.
b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.
A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 ; B = n
2
-n
Bài 3: (2đ)
a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức
M =
zxzyzyxyx

1..
=
MA
CM
NC
BN
PB
AP
(Hết)
đáp án và biểu chấm
Bài 1:
a) x
2
+2x-8 = (x-2)(x+4)

0

x

2 và x

- 4 (0,5đ)
TXĐ =
{ }
4;2;/

xxQxx
0,2đ
b) x
5


0,3đ
c) M =
4
)1)(3(
)4)(2(
)1)(3)(2(
2222
+
+
=
+
++
x
xx
xx
xxx
0,3đ
Bài 2:
a) Gọi x-1, x, x+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp Ta có: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242
(0,2đ)
Rút gọn đợc x
2
= 81 0,5đ
Do x là số tự nhiên nên x = 9 0,2đ
Ba số tự nhiên phải tìm là 8,9,10 0,1đ
b) (n
3
+2n
2

++
=
++
xzz
z
xyxz
z
xyx
0,3đ

zxz
xz
xzyzy
xz
yzy
++
=
++
=
++
1)1(1
1
0,3đ
M =
1
1
1
11
=
++

0,2đ
acbabac
211

+
+
+
0,2đ
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c 0,2đ
Bài 4: a) A
B C
N
AN là phân giác của
A

Nên
AC
AB
NC
NB
=
0,3đ
Theo giả thiết ta có
===
5
4
574 AC
ABACBCAB
Nên 0,2đ

===
BA
BCACBCAB
0,2đ
Nên
)(11
3
11.3
11
3
4
7
cmac
MCMA
MAMC
MA
MC
===
+

=
0,5đ
c) Vì AN,BM,CP là 3 đờng phân giác của tam giác ABC

Nên
AB
AC
PB
AP
BA

D =






+
+
+

+
ab
ba
ab
ba
11
:







++
+
ab
abba
1

)90(

0
==

A
Chứng minh rằng
AI =
cb
Cosbc
+
2
.2

(Cho Sin2

CosSin2
=
)
Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng tròn
sao cho
.BNAN



Vễ vào trong đờng tròn hình vuông ANMP.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.
b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp.
c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1





+
ab
aba
1
22
:







++
ab
abba
1
D =
1
2
+
a
a
b) a =
13)13(
1

2
1
22
=+=+
xxxx





+=
=

101
101
2
1
x
x
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
4
1
0280 + mm

(
*
)
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0



0)1)((
11
21
21
212121
21
xx
xx
xxxxxx
xx





+=
=
=




=+
=

194
194
0
038
02

AIC
=
∆
A
B C
I
+
;
2
1
α
bcSinS
ABC
=
∆
AICABIABC
SSS
∆∆∆
+=
cb
bcCos
cbSin
bcSin
AI
cbAISinbcSin
+
=
+
=⇒
+=⇒

F
Suy ra Q cè ®Þnh
b)
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
211
AMA
==
⇒
Tø gi¸c ABMI néi tiÕp
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF


ABF vuông tại A

00
45

45

==
BFAB
Lại có
==
1
0



++
222
111
zyx
=
2
2
.
==
xyz
xyz

Thang điểm:
Câu 1: 2,5đ:
a) 1đ
b) 0,5đ
c) 1đ
Câu 2: 2đ:
a) 1đ
b) 1đ
Câu 3: 2đ
Câu 4: 2,5đ
- Vẽ hình đúng 0,5đ
a) 0,5đ
b) 0,5đ
c) 1đ
Câu 5: 1đ
đề thi học sinh giỏi toán 7

và 3.24
10
Câu 3: (2đ)
Xem hình rới đây chứng minh rằng AB//CD
a) b)

A 130
0
B A BF 70
0

E

50
0
60
0
C D
120
0
30
0
140
0
40
0
C D E F