1

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG
••

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II

LÊ HƯONG GIANG

VÈ TÍNH ĐƠN ĐIÊU CỦA TOÁN TỬ VÀ ÁP DUNG
••

TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu


4

M-Tập số thực .
[a,b] - Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. (a,
b) - Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. V Với mọi.
3 - Tồn tại.
( . ) - Tích vô huớng.

I . I - Chuẩn.
domf - Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị / gphf - Đồ thị của ánh xạ đa trị
/ rgef - Miền ảnh của ánh xạ đa trị /
2Y - tập gồm toàn bộ các tập con của Y.
2H - tập gồm toàn bộ các tập con của H.
Pc - Phép chiếu.
VIP - Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Soi - Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong các lĩnh vực của giải tích hiện đại, toán tử đơn điệu không những có ý
nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có đóng góp quan trọng trong lĩnh vục kinh tế.
Đặc biệt, toán tử đơn điệu là công cụ đuợc sử dụng nhiều và rất hiệu quả trong
toán học ứng dụng. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, xây


5

dụng phuơng pháp giải các bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và bài

phân.

•

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

•

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới toán tử đơn
điệu, bất đẳng thức biến phân và xét một số ứng dụng của toán tử đơn

điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân.
6. Dự kiến đóng góp mới


6

Hoàn thành bản luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích theo đề tài “

về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân”, với
mong muốn luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai có nhu
cầu tìm hiểu về đề tài này.


NÔI DUNG

Chương 1
Toán tử đơn điêu
*


vô hướng:
k

(x’y) = Hxiyi
i=l
và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng

trong đó X = (*!,*2,= { y ì , y 1 , . . . , y i ) e M*.
2. c[a,b] là tập tất cả các hàm thực liên tục trên [a,b] cùng với tích vô hướng
{x,y) = ịbx(t)y(t)dt,x(t),y(t) e

c [ a , b ] và chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
|x(í)|2í/í

||x|| =
không là một không gian Hilbert.

3. c ^ a b ] là không gian gồm L2[a,b] không gian các hàm bình phương khả
tích là một không gian tiền Hilbert không đủ với tích vô hướng:
{x,y) = ịb x(t)y(t)dt.
1.1.2

Một số tính chất quan trọng


Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
Cho H là một không gian tiền Hilbert. Với V x , y £ H ta cỏ bất đẳng thức:

Dấu’ ’=” xảy ra khi ịx, y)| = ||x|| Ill’ll <=> (3 a £ M), X = ay hoặc y = ax
Định lý 1.3. (Đẳng thức hình bình hành)


tới điểm X thì X E c. Tức là:

n

j hội tụ


{xn} c= c , n = 0,l,2,...,lim||xn - x \ \ = 0=> X e c.
Ví dụ 1.3. Trong M2, c = e X 1 + y 1 < R2^ị là tập đóng.

1.4. Tập hợp c là lồi khỉ và chỉ khỉ nỏ chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nỏ, tức là c lồi khỉ và chỉ khỉ:
Định nghĩa

M
với mọi x1,^2,...,^* G C',yk e N;

= 1 => e
M
> 0.

Mệnh đề 1.1. (Giao các tập lồi)
Nếu A, B là các tập lồi trong M",

c là tập lồi trong thì các tập sau là lồi:


A n B := |x|x e A , x e B } ,
a A + P B := |x|x = a a +

c.

Định nghĩa 1.7. Nửa không gian đóng là một tập hợp có dạng

Định nghĩa 1.8. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu
hạn các nửa không gian đóng hay nói cách khác nó chính là tập hợp nghiệm của
một hệ hữa hạn các bất phưong trình tuyến tính, có nghĩa là:


Z) = jxeR" IA x < b } ,
trong đó A là ma trận có m hàng là các vectơ a J , j = ì , . . . , m và vectơ

bT= (b15b2,...,bm).
Định nghĩa 1.9. Một tập

c trong H được gọi là nón nếu VA > 0, Vx e c => Ẳx E

c.
Định nghĩa 1.10. Một nón

c

được gọi là nón lồi nếu

c

đồng thời là một tập lồi,

tức là:

0 , i = l,...,«j góc (orthant) không
âm là một nón lồi có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.11. Một tập

c

là nón lồi khỉ và chỉ khỉ

c

thỏa mãn hai điều kiện

sau:
i. ẮC c

c, V/L > 0.

ii. C+CcC.
Ví dụ 1.6.
1.

c := |x G M ịx ^ oj là nón nhưng không phải là một tập lồi.

2.



c.

1.2. Cho c là một tập đỏng khác rỗng. Khỉ đỏ: ỉ. Với mọi y £ //, n G c

hai tinh chất sau là tương đương:
a) x = P c ( y ) .
b) y-7teNc(à).
ìì. Với mọi y e H , hình chiểu pc (y) của y trên

c luôn tồn tại và duy nhất.

Ể c thì ( p ( y ) - y , x - P c ( y ) ) = 0 là siêu phẳng tựa của c tại Pc (T) và
tách hắn y khỏi c, tức là
iii. Nếu y

c

{pc(y)-y^x-Pc(y))íữ^x^c
và
iv. Ánh xạ y —» pc (y) có các tỉnh chất như sau:
(tỉnh không giãn)


b) (Pc M - Pc (

y )> * - y )

^ ||/>c w - Pc



(y-(y-x)

Suy ra |y-;r|| < ||_y-x|, V x E

IIy - Hlly -4

£

c, và do đó n = p ( y ) -

ii. Do d c (_y) = inT^c ||x-_y| nên theo định nghĩa của cận dưới đúng

k
lim x - y

= dc(y)
Vậy ( î i - y , x ) = ( î i - y , 7 i ) là một siêu phẳng tựa của
Siêu phang này tách y khỏi

c vì y

c tại n .

* K nên

( n - y , y - 7 t ) = - \ 7 t - y f

supaTx < a < intaTy.
xcC
ỹã
Định lý 1.5. ( Định lý tách 1)

c và D là hai tập lồi, khác rỗng trong H sao cho CnD=0. Khi đó, cỏ một siêu
phang tách c và D.
Cho

Định lý 1.6. ( Định lý tách 2)
Cho

c và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho CnD = 0. Giả sử có ít nhất một

tập là tập compẳc. Khi đó, hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phang.
1.2.1.2
Hàm lồi
Định nghĩa 1.15. Trong H, cho

c là tập lồi và f \C —> R . Tập domf được gọi là

miền hữu dụng của f khi
domf :=Ịx e c|/(x) < +ooj.


Tập epif := j(x,//) G cX R|/(x) < //j được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Định nghĩa 1.16. Trong H cho c lồi khác rỗng và /://—> R u I+QOj.
Hàm f được gọi là: ỉ.


X

f(x):=. h(x)
+0
0

khi
khi

X
X > M+ . Khi đó hàm

lj và một hàm bất kỳ /ỉ : *s —

1
là lồi.
2) Hàm khoảng cách
Cho

c là tập lồi, đóng, hàm khoảng cách đến tập c, d

c

(x)

:= minllx-yl

iv. int(dom ý) ^ 0 và ỉ liên tục trên tập ỉntịdom j).
Mệnh đề 1.6. Giả sử f là một hàm lòi chinh thường trên H. Khi đỏ, f liên tục tại mọi
điểm X E int ( domf).
Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm lồi chỉnh thường trên tì và Dç domf là một tập lồi đa
diện. Khi đó, f nửa liên tục trên đối với tập D tại mọi điểm của D.
Định nghĩa 1.21. Cho CçH khác rỗng và f:H^lu {+00} ■ Một điểm


X* G c được gọi là cực tiểu địa phương của f trên c nếu tồn tại một lân cận

u của X* sao cho
f (x*) < f (x) với VxeUnC.
Nếu

thì X* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên c.
Mệnh đề 1.8. Cho f:H—>Ru|+ooj lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa
phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa,, tập họp các điểm
cực tiểu của f là một tập lồi. Neu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại sẽ duy
nhất.
Định nghĩa 1.22. Cho hàm f xác định trên một lân cận của X G H, hàm f được gọi
là khả vi tại X nếu tồn tại X* G H

Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả v ỉ tại mọi điểm X G H.
Nhận xét 1.1. Nếu điểm X* tồn tại thì sẽ là duy nhất và được gọi là đạo hàm
của hàm f tại X.
Kí hiệu: Vf(x) hoặc f'(x).
Định nghĩa 1.23. Cho f : H —» M U j+ooj ■ Ta nói X* G H là dưới đạo hàm của f
tại X nếu
^x*,z-x^ + f(x) < f (z),Vz.



m

f m

^

i=l

V i=l

)

Ẽefi(x) = ổ Ẽfi(x)

,Vx.


1.2.2

Toán tử đon điêu

1.2.2.1 Ánh xa đa tri • •
Định nghĩa 1.24. Cho X, Y cz H và F : X —» 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm
toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2 Y ). Khi đó, ta nói F là ánh xạ đa trị đi
từ X vào Y. Như vậy, với mồi
Y, trong đó F(x) CÓ thể là tập rỗng.

là một tập con của


nửa liên tục dưới tại X.
V. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.
Định nghĩa 1.28. (Khoảng cách Hausdorff)
Với A,B cz H là hai tập đóng bất kỳ và khác rỗng, khoảng cách Hausdorff giữa
hai tập A và B được xác định bởi
p(A,B) := max|d(A,B),d(B,A)j,
trong đó
d(A,B) = supinf ||a-b||; d(B,A) = supinf ||a — b||.
aeA beB
beB aeA
Định nghĩa 1.29. (Ánh xạ liên tục Lipschitz)
Cho CcH là tập khác rỗng. Ánh xạ đa trị F:c —»2 H được gọi là liên tục Lipschitz
với hệ số L > 0 (viết tắt là L- Lipschitz) trên c nếu
p(F(x),F(y))0,Vu,v G K.
ii. đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại y > 0 thì ta có
^F( U )-F( V ), U iii. giả đơn điệu trên K nếu