Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Banach pkhả trơn
Lê Văn Dũng
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận án TS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số 62 46 15 01
Người hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Duy Tiến
Năm bảo vệ: 2013

Abstract. Trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu
nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị cho
không gian Banach. Thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều
các biến ngẫu nhiên, không chỉ thiết lập luật mạch số lớn mà còn đưa ra tốc độ hội tụ
của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Đưa ra các định lý hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số lớn gồm các luật yếu số
lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên và thiết lập điều kiện khả tích
đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên
có chỉ số ngẫu nhiên: trình bày khái niệm khả tích đều, trình bày các kết quả về định lý
hội tụ trung bình, trình bày kết quả về luật yếu số lớn.
Keywords. Biến ngẫu nhiên; Xác suất; Luật số lớn; Không gian Banach; Lý thuyết xác
suất.


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác
suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất
của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là
một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất. Ngày nay, luật số lớn

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự
hiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình
và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach.
Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí
giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
trong lý thuyết xác suất.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất
nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát
triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê. Luật số lớn đầu tiên
của James Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này được
Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm
1909 luật mạnh số lớn mới được E. Borel phát hiện. Kết quả này của Borel
được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926.
Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } là dãy các
biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {bn } là dãy các
hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞. Khi đó, nếu
∞

n=1

thì

DXn

tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều. Vì đây là bất đẳng
thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn. Việc mở rộng cho trường
hợp d (d > 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng 2 chiều nên
trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị
toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị

7


Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiênĐHQG Hà Nội, 10/2010), và đã được đăng ở các tạp chí: Acta Mathematica
Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of
Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the
Korean Mathematical Society.
7.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài
báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận
án được trình bày trong ba chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm về kì vọng, kì vọng có điều kiện của
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội
tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Chương 2 thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai
chiều các biến ngẫu nhiên. Cũng trong Chương 2 chúng tôi không chỉ thiết
lập luật mạnh số lớn mà còn đưa ra được tốc độ hội tụ của luật số lớn đối
với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Chương 3 đưa ra các định lí hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số
lớn gồm luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên
và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số
lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên. Chương 3
gồm 4 mục. Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày


[9] Czerebak-Mrozowicz, E. B., Klesov, O. I., Rychlik, Z. (2002),
"Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probability and mathematical statistics 22
(1), pp.127-139.
[10] Day, M.M, (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate
spaces", Ann.of Math. 45, pp.375 -385.
[11] Le Van Dung, Ngamkham, Th., Nguyen Duy Tien, Volodin, A. I.
(2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of
random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathematics 30 (4), pp.337-34.
[12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers
for random fields in martingale type p Banach spaces" Statistics and
Probability letters 80 (9-10), pp.756-763.
[13] Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays
of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica
35, pp.387-398.
[14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems
and weak laws of large numbers for double arrays of random elements
in Banach spaces", Bull.Math. Korean 47, pp.467 - 482.
[15] Etemadi, N. (1981), "An elementary proof of the strong law of large
numbers", Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 55 (1), pp.119-122.
[16] Edgar,G. A., Louis, S. (1992), Stopping times and directed processes,
47, Cambridge University, England.
[17] Fazekas, I., Tómács, T. (1998), "Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices",
Publ. Math. Debrecen 53 (1-2), pp.149-161.
[18] Feller, W. (1971), An introduction to probability theory and its applications, 2, 2nd ed. Wiley, New York.
69


[19] Gut, A. (2001), "Convergence rates in the central limit theorem
for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci. Math.

[29] Lindenstrauss J. (1963), "On the modulus of smoothness and divergent series in Banach spaces", Michigan Math. J. 10, pp.241-252.
[30] Loève, M. (1977), Probability Theory, I, 4th Edition. Springer, New
York.
[31] Pisier, G. (1975), "Martingales with values in uniformly convex
spaces", Israel J. Math. 20 (3-4), pp.326-350.
[32] Pisier, G. (1986), "Probabilistic methods in the geometry of Banach
spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes
in Math. Springer, Berlin. 1206, pp.167-241.
[33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son (2006), "On the weak law of large
numbers for sequences of Banach space valued random elements",
Bull.Korean.Soc. 43 (3), pp.551-558.
[34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy (2008), "Weak law of
large numbers for adapted double arrays of random variables",
J.Korean.Soc. 45 (3), pp.795-805.
[35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund
law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull. Korean
Math. Soc. 43 (1), pp.213-223.
[36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien (2011), "Almost sure convergence for double arrays of block-wise M -dependent
random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal
18, pp.777-800.
[37] Rosalsky, A., Le Van Thanh ( 2006), "Strong and weak laws of large
numbers for double sums of independent random elements in Rader71


macher type p Banach spaces", Stoch. Anal. Appl. 24 (6), pp.10971117.
[38] Scalora, F. S. (1961), "Abstract martingale convergence theorems",
Pacific J. Math. 11, pp.347-374.
[39] Shixin, G. (2010), "On almost sure convergence of weighted sums
of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4),
pp.1021-1028.

nski, W.A. (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Banach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach
spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, 216-225.

73