Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học

2MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình toán THCS, môn hình là rất quan trọng và rất cần thiết cấu
thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học và đại số.
Ngay trong bậc học tiểu học, các em học sinh được làm quen với các yếu tố hình
học một cách trực quan, từ lớp 1 đến lớp 5 các em đã biết vẽ điểm, đoạn thẳng, tam giác,
hình vuông, hình tròn, góc, góc vuông. Bước đầu biết một số khái niệm: đường cao, các
công thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình chử nhật. Trong bậc học này, hình học
được trình bày xen kẽ trong bộ môn toán của bậc học.
Bước sang bậc THCS, các nhà giáo dục đã trình bày hình học thành một phân môn
cùng với đại số cấu thành chương trình THCS. Ở đây các tác giả đã trình bày theo
phương pháp tiên đề hóa. Đưa ra các khái niệm không cơ bản các hình học, góc, tam
giác, hình tứ giác, đa giác, hình tròn … Xây dựng các định lý hình học và phương pháp
chứng minh.
Làm thế nào để các em học tốt môn hình học ( Đặc biệt là giải bài toán hình học).
Một vấn đề đặt ra cho bản thân về lĩnh vực này, có nhiều tác giả đã quan tâm và giải
quyết thành công:
1. Tác giả: Hứa Thuần Phỏng viết trong cuốn định lý hình học và các phương pháp
chứng minh, ở đây tác giả đã trình bày thế nào là định lý hình học và bài tập chứng minh?
Tác giả đã cố gắng phân loại tạo thành các các phương pháp chứng minh: Hai đoạn thẳng
bằng nhau, hai góc bằng nhau ..
2. Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận – Nguyễn Phúc Trình trình bày các phương pháp giải
các bài toán dựng hình.
Là một giáo viên dạy toán, trong quá trình giảng dạy ở trương phổ thông và tiếp
cận việc học môn hình học của học sinh tôi nhận thấy rằng phần lớn các em chưa biết vẽ
hình, lúng túng khi phân tích một đề toán, đặc biệt một số bài toán mà khi giải cần có
thêm một sáng tạo vẽ thêm đường phụ.
Với lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Vai trò của hình vẽ trong việc chứng
minh hình học”.


Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị

2


Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I. Vị trí và nghiệm vụ của môn hình học ở trường THCS:
Vị trí, nhiệm vụ của môn hình học ở trương phổ thông nói chung trường THCS
nói riêng là một vấn đề lớn, được tranh luận kéo dài mấy chục năm qua, với sự tham gia
của nhiều nhà toán học và sư phạm nổi tiếng.
Có 2 ý kiến nêu ra:
1. Để thích hợp với thời đại máy tính, cần “ Đại số hóa” môn toán ở trường phổ
thông, đặc biệt là loại bỏ hình học Euclide truyền thống, vì quá cũ, lạc hậu.
2. Cần “ Hình học hóa” ở đâu, lúc nào cũng cần có trí tượng không gian, cần tư
duy và thao tác trên hình vẽ.
Sự nãy sinh những ý kiến trên bắt nguồn từ sự phát triển của toán học và máy tính.
Trong những năm cuối của thế kỷ XX một bộ phận lớn của toán học do các nhà đại số
học thống trị và người ta lảng quên trong nhiều năm khả năng nhận thức của toán học qua
trí tưởng tượng, qua hình ảnh. Điều này, ảnh hưởng trực tiếp đến hệ thống chương trình
hình học phổ thông của chúng ta là “ Lảng quên” hình học Euclide mà thay vào đó là
hình học giải tích ( Đại số hóa hình học) trong khối phổ thông trung học. Do đó, nó ảnh
hưởng trực tiếp đến việc học tập và giảng dạy hình học ở khối trung học cơ sở.
Khi ngành công nghệ thông tin phát triển khiến cho máy tính điện tử xâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Đặc biệt, trong giáo dục xuất hiện một số
phần mềm hổ trợ dạy học tác động trực tiếp vào hình học.
Hình học là môn có tác dụng to lớn trong việc phát triển trí tưởng tượng của học
sinh mà “ Trí tưởng tượng quan trong hơn tri thức” theo Einstein. Tuy nhiên, hình học

5. Dựng đường phân giác của một góc.
6. Dựng đường trung trực của 1 đoạn thẳng.
7. Dựng một đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng cho trước và đi qua 1 điểm
cho trước.
8. Dựng 1 đường thẳng qua 1 điểm và song song đường thẳng.
9. Chia đoạn thẳng thành nhiều phần bằng nhau.
III. Vai trò thực hành của hình vẽ ở trường THCS:
Trong việc dạy hình học, những kết quả nghiên cứu của Vanltiele cho thấy việc
tiếp thu hình học của học sinh THCS trải qua 3 bậc:
- Bậc 1: ( Hình dung)
Học sinh hình dung 1 hình như tổng thể, không nhìn thấy các tính chất hay bộ phận
của nó.
- Bậc 2: ( Phân tích)
Học sinh bắt đầu nhận ra các đặc điểm của hình qua quan sát và thí nghiệm.
- Bậc 3: ( Suy diển không hình thức)
Học sinh thiết lập được quan hệ về các tính chất trong 1 hình và giữa các hình với
nhau; Hiểu được việc phân loại và định nghĩa; Có thể lặp lại và đưa ra các lý lẽ không
hình thức.
Trong bậc học này, vai trò vẽ hình ( Mô hình) rất quan trong, hình vẽ giúp hình
dung các vật thể trong thế giới hình học, giúp phát triển năng lực quan sát, phân tích, mô
tả là chổ dựa trực giác cho việc nắm các khái niệm hình học và cho suy luận.
Các hoạt động với hình vẽ ở đây có thể là: vẽ hình, dựng hình, đo đạc, cắt ghép
hình, gấp hình… với mục đích duy nhất là từ trực quan để đi đến logic trừu tượng mà mỗi
học sinh đang cần, ở đây, chúng ta quy ước rằng khi nói đến dựng hình thì chỉ được dùng
thước thẳng và compa, còn khi nói đến vẽ hình thì ngoài thước thẳng, compa có thể dùng
thêm thước thẳng chia khoảng, thước đo góc, êke…
Trong chương trình toán THCS thì các bài toán dựng hình, vẽ hình còn quá ít. Đối
với các bài toán này, chúng ta thường chỉ chú ý việc lập luận và mô tả, cách dựng, ít coi
trong việc thực hiện cách dựng. Do đó, khi giải toán nhiều học sinh vẽ hình sai không
chính xác, điều đó dẩn đến một số ngộ nhận kiến thức.

B
QN = PM vì là 2 đường chéo hình chử nhật; 2 cạnh góc vuông QS = PR vì bằng cạnh
hình vuông ABCD) . Vậy QNS = PMR. Xét tứ giác ONBM: OMR = ONS (chứng minh
trên). Vậy OBM + ONB = 2v. Từ đó suy ra MDN + MBN = 2v. Nhưng vì MBN = 1v nên
MON = 1v. Tức là PM vuông góc QN. Chử nhật PQMN có 2 đường chéo vuông góc với
nhau nên nó là hình vuông.
2. Phân tích sai lầm:
Ta sẻ chỉ ra những hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông vì các cạnh không bằng
nhau.
Muốn vậy ta chỉ lấy cạnh hình chử nhật song song với đường chéo hình vuông
a
( a độ dài cạnh hình vuông) sau đó nối
2
QP, PN, NM, MQ. Suy ra QM = PN, MN = QP ⇒ MNPQ là hình bình hành. PQM =

bằng cách sau: Đặt AM = AQ = CD = CN ≠

1800 - (450 + 450) = 900. Vậy MNPQ lả hình chử nhật. Nhưng trong tứ giác ONBM bây
giờ SNO và RNO không còn là một góc ngoài và một góc trong của tứ giác nữa mà là
hai góc đối diện nên các suy luận trước kia không còn đúng nữa.
3. Có thể phát biểu hai điều đúng:
a. Nếu hình chử nhật nội tiếp trong hình vuông mà không có cạnh nào của hình
chử nhật song song với đường chéo của hình vuông thì hình chử nhật đó là hình vuông.
b. Nếu hình chử nhật có cạnh không bằng nhau nội tiếp trong hình vuông, thì các
cạnh của nó song song với hình vuông.
Chương 2: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG VIỆC CHỨNG MINH
CÁC ĐỊNH LÝ-BÀI TOÁN HÌNH HỌC.
Trong thực tế dạy hình học hiện nay, chúng ta thường nói đến những suy luận, đến
chứng minh. Điều đó không thỏa đáng, nhất là ở bậc THCS. Nhà toán học - tâm lý học và
nhà giáo dục học G.Polya đã nói: “ Toán học trong quá trình hình thành là gợi lại mọi

a. Nhận d làm đường cao.
b. Nhận d làm đường trung tuyến.
c. Nhận d làm đường phân giác.
Ví dụ 3: Cho 2 đường thẳng d, d’ và điểm A. Hãy vẽ 2 điểm B, C sao cho d, d ’ là các
đường cao của tam giác ABC trong các trường hợp.
2. Trên giấy vẽ ô vuông ( Giấy vở học sinh có kẻ ô vuông).
Thực hành vẽ các hình với yêu cầu: đường thẳng phải đi qua 2 điểm của ô, góc
phải có đỉnh tại đỉnh của ô; Đa giác phải có các đỉnh tại các đỉnh của ô.
Ví dụ 4:
a. Hình tứ giác: tứ giác là hình gồm 4 đoạn thẳng trong đó bất kỳ 2 đoạn thẳng nào
cũng không nằm cùng trên 1 đường thẳng. Như vậy để vẽ tứ giác thì ta xác định 4 điểm
bất kỳ và nối chúng lại với nhau.
b. Hình vuông: là hình chử nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. Để vẽ hình vuông thì ta chọn
các cặp đỉnh nằm trên các đường kẻ ô và số ô giữa 2 đỉnh bằng nhau.
II. Vẽ lại hình cho sẳn:
Vẽ lại hình cho sẳn với mục đích luyện cho học sinh biết đọc hình vẽ, hiểu hình vẽ,
phân tích để thấy mối quan hệ trong hình vẽ đó.
Ví dụ 5:
* Cho bài toán: Tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành (vẽ hình).
* Hướng dẩn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tứ giác ABCD ( Không đặc biệt).
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị

6


Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học

- Chia đôi AB lấy M sao cho AM = MB

D
C
Kết luận 2 đường chéo bằng nhau.
* Hướng dẫn học sinh tìm hướng chứng minh AC = BD. Thông thường chứng minh 2
đoạn thẳng bằng nhau thì ta đưa AC và BD vào 2 tam giác bằng nhau; nhìn vào các yếu
tố đã cho thì ta xét 2 tam tam giác nào bằng nhau theo trương hợp nào?
* Sau khi phân tích giáo viên tóm tắt lại bài chứng minh theo ngôn ngữ toán học: ABCD
là hình thang cân, ta có: AD = BC; ADC = BCD; CD chung nên: Tam giác ADC bằng
Tam giác BCD (c.g.c) suy ra AC = BD (đpcm).
Bài toán vẽ hình để tìm tòi dự đoán sẻ rất hấp dẩn đối vơi học sinh nếu ta biết khai thác
tốt.
Ví dụ 1:
1. Tìm số đường chéo của tứ giác:
Từ mỗi đỉnh của tứ giác ta vẽ được 1 đường chéo
có 4 đỉnh ta vẽ được 4 đường chéo.
Trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần nên tứ giác
có tất cả

4
= 2 đường chéo.
2

2. Tìm số đường chéo của ngũ giác:
Từ mỗi đỉnh của ngũ giác ta vẽ được 2 đường chéo
có 5 đỉnh ta vẽ được 5*2=10 đường chéo.
Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị

7



2

là 252.
Ví dụ 2:
Tìm số giao điểm của 2 đường thẳng, 3 đường thẳng, 4 đường thẳng.

HS xét các trường hợp khác nhau. Trong trường hợp tổng quát (không có 2 đường thẳng
nào song song và 3 đường thẳng nào đồng qui) có thể hướng dẩn HS đếm số lượng các
giao điểm như hình trên. Đối với HS khá giỏi có thể xét tiếp trường hợp 5 đường thẳng,
n đường thẳng.
Ví dụ 3:
Tìm sô tam giác được cắt ra.
Cho trước 1 tam giác và n điểm ở miền trong của tam giác.
- Nếu n=1 thì có thể cắt tam giác đã cho ra 3 tam giác nhỏ.
- Nếu n=2 thì có thể cắt tam giác đã cho ra 5 tam giác nhỏ.

Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị

8


Sáng kiến kinh nghiệm - Vai trò hình vẽ trong việc chứng minh hình học

Hãy lập bảng sau đây:
Số điểm
Số tam giác

0
1



B

M

N

Học sinh sẽ đặt ra câu hỏi: Tại sao đường thẳng a, b lại đi qua được c? Tại sao tam
giác ABC lại là một tam giác vuông được? Rỏ ràng điểm M và N không nằm như vậy.
Trong cả hai trường hợp trên, học sinh nảy sinh thắc mắc: Phải chăng thầy giáo (sách) đã
sử dụng một điều vô lý để rồi nói nó là vô lý.
Ví dụ 2: Xét bài toán: Cho hình thang ABCD (CD>AB) với E,F là trung điểm của
các đường chéo BD, AC.Chứng minh rằng: EF // AB // CD và EF =
A

B
E

D

CD − AB
.
2

F

G
C

Sau khi nối F với G, G là trung điểm cạnh BC (hình bên) nhiều học sinh thấy ngay

2. Định lý hình học và các phương pháp chứng minh (Hứa Thuần Phỏng).
3. Phương pháp dạy học ở THCS (Hoàng Chúng).
4. Bài tập quỷ tích và dựng hình (Nguyễn Vĩnh Cận)
5. Toán nâng cao chọn lọc hình học lớp 7 và 8 (Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Khắc Hải)
6. Cở sở hình học (Nguyễn Mộng Huy).

Giáo viên: Võ Thị Luyến - Trường THCS Triệu Vân - Triệu Phong -Quảng Trị

10