TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

www.toanhocbactrungnam.vn
CÁC CHUN ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỐN 12
Mơn: GIẢI TÍCH 12

Chương 2 -

HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT

Chủ đề 2: HÀM SỐ MŨ- HÀM SỐ LƠGARIT
I. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT :
1. Hàm số mũ:




Dạng : y  a x ( 0  a  1 )

Tập xác đònh : D  
Tập giá trò :
T   ( ax  0, x   )
Tính đơn điệu:
* a1:
Hµm sè y  a x ®ång biÕn trªn 

* 0  a 1:


Hµm sè y  a x nghÞch biÕn trªn 

1

1

x

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

www.toanhocbactrungnam.vn

§¹o hµm hµm sè: a x 

/

2. Hàm số lơgarit:

/

x

e
 ex




x

Hµm sè y  log a x nghÞch biÕn trªn 0; 

* 0  a 1:


Đồ thò của hàm số lôgarit:
a1

0  a 1

y

y

(C)

1

O

1

(C)

2

x
1

2

 a


u  x ln a



3. Các tính chất cơ bản:

* TÝnh chÊt 1: Víi 0  a  1 th×: aM  aN  M  N.
* TÝnh chÊt 2: TÝnh nghÞch biÕn Víi 0  a  1 th×: aM  aN  M  N.
* TÝnh chÊt 3: TÝnh ®ång biÕn Víi a  1 th×:

a M  a N  M  N.

0  a  1

* TÝnh chÊt 4: Víi 
th×: loga M  loga N  M  N.


M

0,
N

0


* TÝnh chÊt 5: TÝnh nghÞch biÕn Víi 0  a  1 th×: loga M  loga N  0  M  N.

3) y  3.2 x

x

6) y  2 x  1

Bài giải :
1) Hàm số y  2 x là hàm số mũ với cơ số

y

(C)

lớn hơn 1 nên luôn đồng biến trên  . (Hình
01)
2
1

O

x

1

Hình 01

 1
2) Hàm số y    là hàm số mũ với cơ số
 2 
x


03)
3

O

1

x

Hình 03
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

www.toanhocbactrungnam.vn

4) Do hàm số y  2 x là hàm số mũ với cơ số

y

lớn hơn 1 nên luôn đồng biến trên  . Suy
ra hàm số y  2 x nghịch biến trên 

O

+ Phần đồ thị của hàm số y  2 x ứng với

x  0.

2
x

+ Phần đồ thị của hàm số y  2

ứng với

x  0.
x

Vậy đồ thị của hàm số y  2 có dạng như

1

Hình 05.

-1

1

O

x

Hình 05.
6) Hàm số y  2 là hàm số mũ với cơ số


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
Suy ra : max y  y 2  4 và min
y  y 1 


1;2



1;2

www.toanhocbactrungnam.vn
1
.
2

2) Xét hàm số y  2 x x trên đoạn 1; 3 . Ta có :
/
2
2
1
y /  x2  x .2 x x ln 2  2 x  1.2 x x ln 2  0  x   1; 3 .
2
2

 1
1
Ta có : y 1  4; y 3  64; y   
.

Bài giải :
1) Hàm số y  log 3 x2  4 xác định khi x2  4  0  x  ; 2  2;  .
Vậy tập xác định của hàm số là D  ; 2  2;  .
2) Hàm số y  log 0,3 x  x2  xác định khi x  x2  0  x  0;1 .
Vậy tập xác định của hàm số là D  0;1 .

x  0

3) Hàm số y  log 2 x  1 xác định khi 



3  log 2 x  0
x  0
x  0




 x  0; 8 .




log
x

3
x


5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

x4




x1

1



 0  x  1  x  0; 4 \
 ,


2


1

x



1) y  log 2 x ;

2) y  log 1 x ;

3) y  log 2 x  1 ;

2

4) y  log 2 x ;

5) y  log 2 x .

Bài giải :
1) Hàm số y  log 2 x là hàm số lôgarit với

y

cơ số lớn hơn 1 nên luôn đồng biến trên
0;  . (Hình 07)

(C)

1

O

2

1


CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

www.toanhocbactrungnam.vn

3) Hàm số y  log 2 x là hàm số lôgarit với

y

(C)

cơ số lớn hơn 1 nên luôn đồng biến trên
0;  . Tịnh tiến đồ thị hàm số y  log 2 x

2

1

lên phía trên 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số
y  log 2 x  1 . (Hình 09)

x

1

O

Hình 09

-1

với x  0.
Vậy đồ thị của hàm số y  log 2 x có dạng

1

như Hình 10.

Hình 10


log 2 x khi y  0
5) Ta có : y  log 2 x  
.



 log 2 x khi y  0
Suy ra đồ thị y  log 2 x bao gồm :

y

+ Phần đồ thị của hàm số y  log 2 x ứng với
y  0.
O

+ Phần đồ thị của hàm số y   log 2 x ứng
với y  0.
Vậy đồ thị của hàm số y  2



1.
4  1 4b  1
2.4 a  2.4b  8
4a  14b  1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM

www.toanhocbactrungnam.vn

Áp dụng nhận xét trên, ta được :

  1 
 



  f  2004    f  2   f  2003   ...   f  1002   f  1003   1  1  ...  1  1002.
S   f 


  2005 
  2005 


Bài giải :
1) y /  52x2  x  1 2 x2  x  1  5 4 x  12 x 2  x  1 .
4

2) y /  x2  x  1 2 x
/

3) y / 

4) y 



2

/

4

.ln 2  2 x  1 2 x

x1

2

x1

ln 2 .



x  2 ln 2
1

2

5) y  log x2 x3  x  4 
2

1

.



. log 4 x 2  2
2







/

/

x2  2  


/

/

2x  1 ln x2  4
2x
2
.ln  x  x  3
2
x

4
x2  x  3

ln 2  x 2  x  3


2 x  x 2  x  3 ln  x 2  x  3x 2  42 x  1 ln x 2  4

x

2

 4 x 2  x  3 ln 2 x 2  x  3

.

6) y  xsin 2 x  0  ln y  sin 2 x ln x  ln y  sin 2 x ln x 
/




2x cos 2x ln x  sin 2x xsin 2 x
x

sin 2 x

 e sin 2 x ln x  y /  e sin 2 x ln x   sin 2x ln x e sin 2 x ln x
/

/

.

Bài tập 6 : Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên
0;  ?
1) y  log e x ;

2) y  log e x ;

3

3) 4 log

2

2
2

4) y  log  x .


2
2

2
2

x nghịch biến trên 0;  .

x nghịch biến trên 0;  .

 1 nên hàm số y  log  x nghịch biến trên 0;  .
3

Bài tập 7 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x ln x tại giao điểm của đồ thị
và trục hoành.
Bài giải :
TXĐ: D  0;  .

 x  0  0; 
 x  1.
Xét phương trình : x ln x  0  
ln x  0
Ta có : y /  ln x  1 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cần tìm là  : y  0  y / 1x  1  y  x  1 .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

9




/

y   2ex sin x  2 sin xex  2 cos xex  ex 2 sin x  2 cos x
3

/

4
y    ex 2 sin x  2 cos x  ex 2 sin x  2 cos x  ex 2 cos x  2 sin x  4 cos xex .


/

Vậy y   4 y  4 cos xex   4ex cos x  0 (đ.p.c.m).
4

Bài toán 10 : (BÀI TOÁN LÃI KÉP) Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng
với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số
tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao
nhiêu tiền sau n năm ( n   * ), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất
không thay đổi ?
Bài giải :
Giả sử n  2 . Gọi số vốn ban đầu là P, lãi suất là r . Ta có P  1 (triệu đồng), r  0,07.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

n

Do đó n  log1,084 2  8,59 . Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n  9.
Kết quả : Dân số thế giới được tính theo công thức S  A.e ni , trong đó A là dân số của năm
lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.
Bài toán 12 : Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80.902.400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%.
Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi ?
Bài giải :
Vào năm 2010, tức là sau 7 năm, dân số của Việt Nam là 80902400.e7.0,0147  89670648 người.
Bài tập 13 : (Trích Đề minh họa 2017) Tính đạo hàm của hàm số y  13x .
A. y /  x.13x1 .

B. y /  13x.ln13 .

C. y /  13x .

D. y / 

13x
.
ln 13

Bài giải :
Ta có : y /  13x ln13 . Lựa chọn đáp án B.
Bài tập 14 : (Trích Đề minh họa 2017) Tìm tập xác định của hàm số y  log 2 x2  2 x  3 là :
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Bài giải :



2

2



2

Biến đổi 2x.7 x  1  log 2 2 x.7 x  0  log 2 2 x log 27 x 0  x  x2log 27 0
và có thể là x 1  x log 2 7  0 ; x  x 2 .

1
ln 7
 0 và x  x 2 .
0 .
log 7 2
ln 2

Rõ ràng x 1  x log 2 7  0  1  x log 2 7  0 là sai.
Lựa chọn đáp án D.
Bài tập 16 : (Trích Đề minh họa 2017) Đạo hàm của hàm số y 

A. y / 

C. y / 

.

Bài giải :
x
/
4 x  4 x ln 4  x  1 4 1  x  1 ln 4
 x  1


Ta có:  x  
2
2
 4 
x
4 
4 x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

12

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM


1  x  1 ln 2 2
4


;
log 4 x  3
6) y  log x

3x  1
;
x2  1

7) y 

x

e
;
e 1
x

4) y  log 1 3x1  9 ;
2

8) y  e 2 x1  1.

Bài tập 2: Dựa vào đồ thị (C): y  3x , hãy suy ra đồ thị các hàm số sau :
1) y  3x  2 ;

2) y  3|x| ;

3) y  9.3x ;

4) y  3x  1 .


;

3x
;
x2  x  1

6) y  cos xe cot x .

Bài tập 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau :
1) y  ln 2 x2  x  3 ;

2) y  log 2 cos x ;

4) y  log 1  x3  cos x ;

5) y 

ln 2 x  1

2

2x  1

;

3) y  2x  1 ln 3x2  x ;
6) y  e x .ln cos x ,

Bài tập 6: Tìm GTLN- GTNN (nếu có) của các hàm số sau :


sin x

; 8) y  x 2  x  1

x2 1

.

Bài tập 8: Chứng minh mỗi hàm số sau thỏa mãn đẳng thức đã chỉ ra :

1) y  e sin x : y / cosx  y sin x  y / /  0;

2) y  ln cosx : y / tan x  y / /  1  0;

3) y  e x cosx : 2y /  2 y  y / /  0;

3) y  ln 2 x : x 2 y / /  xy /  2.

Bài tập 9: Chứng mình rằng :

1
thỏa mãn : xy /  y  y ln x  1 ;
1  x  ln x
2 xy
 e x x 2  1 ;
2) Hàm số y  x2  1e x  2008 thỏa mãn : y /  2
x 1
1  ln x
3) Hàm số y 


y

(C)

2
1

 1
D. y    .
 2 
x

C. y  2.2 .
x

O

x

1

Hình 12
Câu 2.

Dạng đồ thị như Hình 13 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây ?

 1
B. y    .
 3 

Dựa vào đồ thị và các tính chất của logarit, hãy so sánh hai số a, b.
A. a  b  1.

B. 1  a  b  0.

bx

y

ax

C. b  a  1.

D. 1  b  a  0.

O

1

x

Hình 14

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế




C. D   \1.

D. D   \1; 2.

Cho hàm số f x  ln 4 x  x2  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

sau :

Câu 7.

A. f / 2  1.

B. f / 2  0.

C. f / 5  1, 2.

D. f / 1  1, 2.

Trong các hàm số : f x  ln

nào có đạo hàm bằng

1
?
cos x

A. f  x .
Câu 8.


A. f / x  x.x x1 .

B. f / x  x x ln x .

C. f / x  x x ln x  1.

D. f / x  x x .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
Câu 10.

Hàm số y  log x2  4x  4 có tập xác định là :
A. D  ; 2.

Câu 11.

D. D   .

có tập xác định là :

1

C. D   ; .

C. D  2; .

 1


B. D   \
 
.

2




3
 
A. f /    e 2 .
 6 

Câu 13.

B. D   \2 .

Cho hàm số f x  2 x  1
A. D  .

Câu 12.

www.toanhocbactrungnam.vn


cùng một mặt phẳng toạ độ.
Dựa vào đồ thị và các tính chất của logarit, hãy so sánh ba số a, b, c .

Câu 16.

A. a  b  c.

B. c  a  b.

C. b  a  c.

D. c  b  a.

Hàm số y  x2 ex đồng biến trên :
A. ; 0.

Câu 17.

Hình 16

B. 2; .

C. 0; 2.

D. .

Hàm số y  ln x2  2mx  4 có tập xác định D   khi :

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...


C.

1
 1.
x

D. 1.

ln x
x

A. có một cực tiểu.

B. có một cực đại.

C. không có cực trị.

D. có một cực tiểu và có một cực đại.

Tập xác định của hàm số y 

x 2  3.2 x
là :
4 x  5.2 x  4

A. D  .

B. D   \0;1.

C. D   \0; 2.

B. D  0; .

C. D  .

D. D   \0.

Tập xác định của hàm số y  log x2 1 x  2 là :
A. D  ; 2.

B. D  ; 1  2; .

C. D  2; .

D. D  2; 1  2; .


x  1 
Tập xác định của hàm số y  log 1 log 2
 là :
x  1

2
A. D  1;1.

B. D  ; 1  1; .

C. D  1; .

D. D  ; 1.


x

Câu 26.

www.toanhocbactrungnam.vn

x


1
 .
C. y  
 3  2 
x

4
B. y    .
 3e 

D. y   2 x .

Để hàm số y  a2  3 đồng biến trên  thì tất cả các giá trị a thoả mãn :
x

A. a  2.

C. a  3.

B. a  2.



Câu 29.

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai mệnh đề đều đúng.

D. Cả hai mệnh đề đều sai.

Vẽ hai đồ thị y  2 x và y  x  1 . Để 2x  x  1 ta chọn :
A. x  0.

Câu 30.

B. x  1.

C. 0  x  1.

D. x  0  x  1.

Xét ba mệnh đề sau :

 1
(I) Đồ thị của 2 hàm số y  2 và y    đối xứng nhau qua Oy.
 2 
x

x


C. y  log 2 x  2 .

D. y  log 2  x  2.

2

Câu 32.

Hàm số y  ln x có dạng đồ thị nào trong các dạng đồ thị sau đây ? B

Câu 33.

Dạng đồ thị (C) biểu diễn bởi hàm số nào sau đây ?

A. y  ln x  1.
B. y   ln x  1.
C. y  ln 1  x.
D. y  ln x  1.

Câu 34.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Hàm số y  e không phải là hàm số mũ.
x

x

B. Hàm số y  4 3 là hàm số mũ.

6

4

7

2

Tập xác định của hàm số y  e 4x là :

Câu 36.

A. D  2; 2 .

B. D   \2; 2.

C. D  .

D. D  ; 2   2; .

Nếu f  x  4 x thì f x  1  f x bằng :

Câu 37.

A. f  x .

B. 2 f  x.

C. 3 f  x.


Đạo hàm của hàm số y  5 2 x là :

Câu 39.

A. y / 

15 x
2 ln 2.
5

B. y /  5 2 x ln 2.

C. y / 

1 5 x
2 .
5ln 2

D. y / 

Cho hàm số f  x  

Câu 40.





x


Với tất cả các giá trị nào của k thì hàm số f  x   e x  k

0;1 bằng e1k

2

2

x

đạt giá trị lớn nhất trên

?

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

21

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
A. k  0 .

www.toanhocbactrungnam.vn

B. k  1 .

C. k  1


Cho hàm số f  x  e x . Đạo hàm cấp bốn của hàm số tại điểm x  0 bằng :
B. e.

A. 4.
Câu 46.

D. 8.

 
Cho hàm số f x  e tan 2 x . Ta có f /   bằng :
 6 

A. 8e 3 .
Câu 45.

C. 6.

Cho f x  2 x.5x. Giá trị f ' 0 bằng :

A. 10 .

Câu 44.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Cho hàm số y  2x  1 ex . Ta có :

Câu 49.
A.

A. 100.e 9.0,2197 (con).

B. 150.e10.0,2197 (con).

C. 100.e11.0,2197 (con).

D. 100.e10.0,2197 (con).

Đạo hàm của hàm số y  3 2 x là :

1 3 x
2 .
3 ln 2

Câu 50.

B.

13 x
2 ln 2 . C.
3

3

2 x ln 2 .

D.

1
2)
1 x
3) 2 sin xe cos2 x
1
4) 
1 x
5) 2 sin 2xe cos2 x .

1
bằng
1 x
b) Đạo hàm của hàm số y  e cos2x bằng
a) Đạo hàm của hàm số y  ln

Với x 

Câu 52.
A.

2 cos 2 x
3 3 sin 2 2 x

1
5x 5 ln 4 7 x

1
3

cos 2 x

ex

.

.

C.

1
3

ex

7
5x 5 ln 4 7 x

D.

.

1
35x 5 ln 4 7 x

.

bằng :

C.

1


Tập xác định của hàm số y  log x1 x2  6 x  9 là :

A. D  1; .

B. D  1; \2 .

C. D  1; \2, 3.

D. D  .

Câu 57.

.

Với x  0, đạo hàm của hàm số y  x x bằng :

3

Câu 56.

.

.

ex

Câu 55.
A.



www.toanhocbactrungnam.vn

+ Đồ thị hàm số y  log b x nằm phía trên trục hoành khi x  1 .
Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau :
A. a  1 và b  1 .

B. a  1 và 0  b  1 .

C. 0  a  1 và b  1 .

D. 0  a  1 và 0  b  1 .

Câu 58.

Hàm số y  x2 ln x đạt cực trị tại điểm :

A. x  e .

B. x  e.

C. x 

1
e

.

1
D. x  .


6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20


36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50


25

CLB Giáo viên trẻ TP Huế