Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a;b)  90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P ) 
a b
b  (P ) 

b

P

C4: Dùng hệ quả:
b

a

c

b // c , a  b  a  c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

2.BA.BC

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 :
Cho tứ diện ABCD đều.
CM: AB vuông góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt:
dùng tích vô hướng AB.CD  0
C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB  (MCD)


Bài 2 :
C/M

Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC.

a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a,  ABC cân  AM  BC.
b,  SAB=  SAC(cgc)  SB=SC  SM  BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD
a. CM: AO  CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a, AO  ( BCD)  AO  CD
b.Gọi M là trđ CD  AM  CD ,lại có
AO  CD  CD  (AMB)  CD  AB
Bài 4 :


b,Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
 AE  BC.  DBC đều  DE  BC  BC  (AED)
Hướng dẫn tóm tắt:
 BC  ADa.Gọi E là tr đ CB
cách 2: BC. AD  BC.( AE  ED)  0  BC  AD
b. I là trung điểm CD  BI  CD;AI  CD  CD  AB

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

2a
3


Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 9 :
Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a 2 , CD= 2a
a.Tính góc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính góc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.(AB,CD)= 90 0
b. cos( BC , AD ) 

BC. AD  2

 ( AD; CB)  45 0
BC. AD
2

b

a

a // b , b  (P )  a  (P )

P

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a
nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc
với mặt phẳng kia
Q
a
b

(P )  (Q )  b 
  a  (P )
a  (Q ), a  b 

P

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko


C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó



a. BC  AB và BC  SA nên BC  SB
b. AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
AH  SC và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD.
Chứng minh
a.SO vuông góc với (ABCD)
b.AC vuông góc SD, BD  SA
c.Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. cm IJ  (SBD)
d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD  (SOH)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b.AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD
c.IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d.AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)
Bài 1 4 : Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko


a.cm AH  (BCD)
b.cm AD  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.CD  AH và BD  AH nên AH  (BCD)
b.BC  AH và BC  DH nên BC  AD.
Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A.
AD = 2AB = 2BC
a.cm BC  (SAB)
b.cm SC  CD

a.BC  AI và BC  SI nên BC  SA
b. AI 2  SI 2  SA2 nên SI  AI tại I.
SI  BC và SI  AI nên SI  (ABC)
Bài 1 8 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA
 (ABCD)
a.Gọi I là trung điểm SD. cm AI  (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình
chiếu của O trên CM
Hướng dẫn tóm tắt:

a.AI  SD và AI  CD nên AI  (SCD)

Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. cm SI  (SCD); SJ  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SH  AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a 3
a
; SJ  .tam giác SIJ vuông tại S
2
2
b.IS  SJ và SI  CD nên SI  (SCD)
c.SH  IJ và SH  AB nên SH  (ABCD) suy ra SH  AC
Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA  (ABCD).

a. SI 

a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuông



a

b

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

6


a  b

4. a  ( )  a // b
b  ( )


a
b
a  b
a  ( )

( )  b a //( )

5. 

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD).

TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

7


A. Phương pháp chứng minh
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
 ( )  (  )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  (  ),Oy  



Khi đó:


O

x

y



góc (( );(  ))  góc (Ox ;Oy )  xOy   : 0    90o


 ( )  (  )    90o

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng

b.Trong (AHK) có AK  (SBC) suy ra đpcm

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

8


Bài 28 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A
qua I. dựng đoạn SD =

a 6
vuông góc với (ABC). cm
2
b.(SAB)  (SAC)

a.(SBC)  (SAD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) có BC  (SAD) suy ra đpcm
b.  SAB=  SAC.Trong  SAC kẻ đg cao CK  SA,Trong tam giác SAB kẻ đg
cao BK  SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng
dạng 

IK IA
a

 IK  suy ra tam giác BKC vuông tại K.
SD SA
2

Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 33 : Cho tứ diện ABCD có SA  (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC
và SBC. cm
a. AH, SK, BC đồng quy
b.SC  (BHK); (SAC)  (BHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH  BC=M .SM  BC do đó SM là đg cao của tam giác SBC  K  SM

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

9


vậy SK,BC,AH đồng quy tại M
b.SC  BK và SC  BH nên SC  (BHK) từ đó suy ra (SAC)  (BHK)
V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A. Lý thuyết1. Góc của hai đường thẳng

A
a'

a

 =(a; b)

O
b'


B

A

OA  ( )
OB  (  )
và 

OA  
OB  

 Góc ( ,  ) = Góc (OA ,OB ) = A OB  
Chú ý: * 0    90o
* Nếu   90o thi chọn góc ( ;  )  180o  




3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu
của nó trên mặt
phẳng
A
a

B


O



Hướng dẫn tóm tắt:
a.
 .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA= 60 0
 Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69017’
 Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15030’(kẻ BH  AC thì
BH  (SAC) )
 gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=40053’ vói K là hc của A lên SB
 góc giữa (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67047’
 góc giữa (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73053’
 góc giữa (SAB)&(SCD)=góc DSA=22012’
Bài 36 : Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam
giác đều cạnh a. Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa SC, (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
 Góc giữa SB&(ABC)=(SB;AB)=góc SBA=63026’
 Góc giữa SC&(SAB)=(SC;AC)=góc SCA=63026’
Bài 37 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD)
a. CMR: BC  (SAB)
b. Biết góc tạo bởi SC và (ABCD) là 450 . Tính SA
Hướng dẫn tóm tắt:
b.SA=AC= a 2
Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a 2
a. CMR (SAC)  (SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC  SO và AC  BD nên AC  (SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.

SM 

Góc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vuông tại C nên góc
0
’
BSC=32 18
c.Trong (SDC) có DC  DA và DC  SA nên DC  (SAC) hay (SCD)  (SAC)
d.Trong (SBC)có SC  BC và (SAC) có AC  BC nên góc của 2 mp này =góc
(SC;AC)=35015’
e.Gọi M là tđiểm AB có DM  (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD
Bài 40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và
SA = SB = SD =

a 3
2

a. CMR: (SAC)  (ABCD)
b. CMR SB  BC
c. Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
c.Trong (SBD) có SO  BD;trong (ABCD) có AC  BD nên góc của
(SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA. Tính được
SO=

a
2

;AC= a 3 ;SC=

a 7
6
; cos SOA 

Bài 43 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = a.
Tính góc giữa 2mp
a. (SBC) và (ABCD)
b. (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=450
b.Trong tam giác SDC kẻ DK  SC; trong tam giác SBC kẻ BK  SC. Góc (SBC)&
(SDC)
= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= a 2 ;SC  (BDK) nên SC  KO do đó tam
giác CKO vuông tại K. KO=

a 6
và góc DKO =600suy ra góc DKB=1200.Vậy góc
6

(SBC)&(SDC)=600.
VI.KHO NG CÁCH
A. Lý thuyết

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

M

M




H


Chän ®iÓm M thuéc  , dùng MH  
( H thuéc ( )), ta cã d( ,( )) = MH

Chän ®iÓm M trªn  1, dùng MH   2
( H thuéc  2) ta cã d( 1, 2) = MH

Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song

Cách1

( ) // (),  chøa trong ( )




M

M

A a

H

- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b
B. Bài tập
Bài 44 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA 
(ABC)
và SA = a
a. CM: (SAB)  (SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
d. Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ
E đến AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  (SAB) nên (SBC)  (SAB)
b.*Trong tam giác SAB kẻ AH  SB ,  AH  (SBC)  d ( A; ( SBC ))  AH 
*d(C;(SAB))=CB=a 2

a 6
3

;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC.

1
2
a 35
d.tam giác SDA vuông tại A,kẻ AK  SD thì AK=d(A;SD)=
7

c.Gọi I là tđ AB  IO // BC  IO //( SBC )  d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC )) 

a 6
6


c.M là t đ của AB  OM//(SBC) nê n
d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=1/2d(A;(SBC))=

15
2 34

Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD có đáy SA  (ABCD), đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và B. AB = BC =

AD
= a, SA = a
2

a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Hướng dẫn tóm tắt:
b.d(A;(SBC))= a 2
c.tam giác SBD cân tại D;I là tđ SB; DI= 3a 2 2 ; S SBD = 3a 2 2  d (b; SD)  3a

5

Bài 48 : Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với
nhau. Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC =
a.
a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: ỊJ là đương vuông góc
chung của AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:

e.

b.Gọi K là tđ AB ;thì AB  KH nên AB  (KHI)  d(I;AB)=KI=

a2  h2
2

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

15


c.)d(A;(SBC))=

ah
a h
2

2

;kẻ AE  SH thì AE  (SBD)  d ( A; ( SBD ))  AE 

ah 2
4h 2  2a 2

d.)d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)). d(SA;CD)=AD=a
e. * đoạn vuông góc chung của SB&CD là CB=a
*. đoạn vuông góc chung của SC& BD là HM với HM  SC

AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ra ACDE là hcn.Từ A hạ AH  SE thì AH  DE do đó
AH  (SED).
D(AC;SD)=d(AC;(SED))=d(A;(SED))=AH= a 6 3
Bài 53 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = 600 .
SO  (ABCD),
SO = a .
a.Tính k/c từ O đến (SBC)
b.Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB
Hướng dẫn tóm tắt:

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

16


a,d(O;(SBC))=OH= a 57 19 .với OH  SC
b.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=2.OH
Bài 54 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. tam giác
SAD đều và nằm trong mp  (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a.CMR (SIJ)  (SBC)
b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  IJ và BC  SI nên BC  (SIJ) ,do đó (SIJ)  (SBC)
b.d(S;(ABCD))=SI= a 3 2

H
Dựng
trọng
tâm
H
Vẽ SH  (ABC)


I
B
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SA H   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

Chia s tài li u mi n phí cho hs t m t g c đ t 8-9 đi m
TR N HOÀI THANH
fb.com/tranhoaithanhvicko

17


68/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vuông
 Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD
 Dựng giao điểm H của hai đường




A

C



 SA  (ABC)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

B

 SA  (ABCD)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

S

.

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA  


A

B

D

19