Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z

Trang 36 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
Chương 3
BIẾN ĐỔI Z
3.1. Biến đổi z
3.1.1. Biến đổi z trực tiếp
Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau:
X(z) =




n
n
z)n(x
(3.1)
Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau:
X(z) = Z[x(n)] (3.2)
Hay:
)z(X)n(x
z

(3.3)
Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ.
Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region
Of Convergence).
VD: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau:
 x(n) = {1,2,5,7,0,1}

X(z) = 1 + 2z

x(n) =
)n(u
2
1
n







x(n) = {1,
2
1
,
2
2
1






, …}
Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z

Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh
X(z) =






0n
n
1
z
2
1

X(z) =


















2
1
1









 ROC: |z| > ½
Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau:
z = re
j
(3.4)
X(z) =




n
njn
er)n(x

|X(z)| =




0n
n
1
n
n
r)n(xr)n(x
=






0n
n
1n
n
r
)n(x
r)n(x
(3.6)
ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng
đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r
1
) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r
1
).


0n
n
r
)n(x

Re(z)

Re(z)

Im(z)

Im(z)

ROC với r
1
> r
2

r
1
Không tồn tại ROC với r
1
< r
2

r
2
r
2

n1
)az(

1
az1
1


nếu |az
-1
| < 1 hay |z| > |a|

Hình 3.2 – ROC của Z{a
n
u(n)}
x(n) = a
n
u(n)

z
X(z) =
1
az1
1


1
n
n1
)za(
=





1n
n1
)za(

X(z) =
 
N12111
N
)za(...)za()za(1)za(lim




X(z) =
)za(1
)za(1
)za(lim
1
1N1

u(-n-1)

z
X(z) =
1
az1
1


, ROC: |z| < |a| (3.9)

Hình 3.3 – ROC của Z{-a
n
u(-n-1)}
|a|

Re(z)

Im(z)

ROC
|a|

Re(z)

)zb(

Chuỗi thứ nhất hội tụ khi |z| > |a|, chuỗi thứ hai hội tụ khi |z| < |b|  nếu |b|  |a|
thì X(z) không tồn tại. Ngược lại:
X(z) =
1
az1
1


-
1
bz1
1


=
1
abzzba
ab




Như vậy:
x(n) = a
n
u(n) + b
n
u(-n-1)

k1n
z)k(x






ROC
k
k1n
ROC
1n
dzz)k(xdzz)z(X
=





k
ROC
k1n
dzz)k(x
(3.12)
Theo định lý tích phân Cauchy:


{X(z)}
3.2. Tính chất của biến đổi z
 Tuyến tính
Nếu:
x
1
(n)

z
X
1
(z)
và: x
2
(n)

z
X
2
(z)
thì: a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)


n
u(n).
Theo (3.7):
x
1
(n)

z
X
1
(z) =
1
z21
1


, ROC: |z| > 2
x
2
(n)

z
X
2
(z) =
1
z31
1



n)u(n)
Ta có:
x(n) =
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
njnj
00


=
   
)n(ue
2
1
)n(ue
2
1
n
j
n
j
00



Theo (3.7) và (3.15):


z

2
0
1
0
1
zcosz21
cosz1




, ROC: |z| > 1 (3.16)
Tương tự:
(sin
0
n)u(n)

z

2
0
1
0
1
zcosz21
sinz


u(n)

z
X(z) =
1
z1
1


, ROC: |z| > 1
Theo (3.18):
u(n – N)

z
X(z) = z
-N
1
z1
1


, ROC: |z| > 1
 X(z) =
1
z1
1


- z
-N

z), ROC: |a|r
1
< |z| < |a|r
2
(3.20)
VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = a
n
(cos
0
n)u(n)
Theo (3.16) và (3.20):
a
n
(cos
0
n)u(n)

z

22
0
1
0
1
zacosaz21
cosaz1




Nếu:
x(n)

z
X(z), ROC: r
1
< |z| < r
2

thì: x(-n)

z
X(z
-1
), ROC:
2
1
r
< |z| <
1
1
r
(3.23)
VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu:
x(n) = u(-n)
Theo (3.8):
u(n)

z


z
(3.25)
VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = na
n
u(n)
Theo (3.7):
a
n
u(n)

z

1
az1
1


, ROC: |z| > |a|
Theo (3.25):
X(z) = -z
dz
az1
1
d
1






Cho a = 1:
nu(n)

z

 
2
1
1
z1
z



, ROC: |z| > 1 (3.27)
 Tích chập
Nếu:
x
1
(n)

z
X
1
(z)
và: x
2
(n)

z

Ta có: X
1
(z) = 1 -2z
-1
+ z
-2
= (1 – z
-1
)
2

Theo (3.19): X
2
(z) =
1
6
z1
z1




 X(z) = X
1
(z)X
2
(z) = (1 – z
-6
)(1 – z
-1

2
(n) (tương ứng là X
1
(z) và X
2
(z))
 Tính X(z) = X
1
(z)X
2
(z)
 Thực hiện biến đổi z ngược x(n) = Z
-1
{X(z)}, x(n) là tích chập của x
1
(n) và
x
2
(n).
 Tương quan
Nếu:
x
1
(n)

z
X
1
(z)
và: x

X(z) =
1
az1
1


, ROC: |z| > |a|
X(z
-1
) =
az1
1

, ROC: |z| < 1/|a|
R
xx
(z) = X(z)X(z
-1
) =
az1
1
az1
1
1


=
21
a)zz(a1
1


1
z
a
1
az
a
1
a
a
a
1




a
n
u(n) +
n
a
1
u(-n-1)

z

)zz(a1a
a1
12
2

(z)