Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số

Trang 73 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Chương 5
THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ
1. Cấu trúc của hệ FIR
Tổng quát, một hệ thống FIR mô tả bằng phương trình sai phân:
y(n) =



()
1
=0
(5.1)
Hệ thống này được biểu diễn bằng hàm hệ thống:
H(z) =

b
k
z
k
M1
k=0
(5.2)
Hay đáp ứng xung:
h(n) = 
b
n
0 n M 1

(z) = b
k0
+ b
k1
z
-1
+ b
k2
z
-2
(5.6)
x(n)
z
-1
z
-1
z
-1
y(n)
…
h(0)
h(1)
h(M-1)
Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số

Trang 74 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

Khi đó, các điểm không của H(z) sẽ được phân chia thành từng cặp trong đó
thông thường các điểm không liên hiệp phức sẽ thuộc một nhóm để phương trình (5.6)
có các hệ số thực. Các điểm không thực của H(z) có thể kết hợp với một điểm không

2
 1   
 = 0 
1
2

(5.8)
Khi đó:
H(k + ) = H(
2

( +)) =

()

2

(+)
1
=0
(5.9)
Tập hợp các giá trị {H(k + )} gọi là các mẫu tần số của H(). Trong trường
hợp α = 0, {H(k)} tương ứng với DFT M điểm của {h(n)}.
Từ (5.9):
h(n) =
1


( +)


x(n) =
x
1
(n)
H
2
(z)
y
1
(n) =
x
2
(n)
y
2
(n) =
x
3
(n)
…
H
K
(z)
y
K
(n) =
y(n)
H
1
(z)

(+)

1


1
=0

1
=0
(5.12)
=
1


 2


(+)
1
1


2

(+)
1
=0

Như vậy, H(z) được xây dựng từ tập mẫu tần số {H(k + α)} thay thế cho tập

(5.14)
Các điểm không và điểm cực lần lượt là:
z
k
= 

2

(+)

p
k
= 

2

(+)

Rõ ràng các điểm không và điểm cực giống nhau cùng ở tần số 
k
=
2

( +)
là các tần số được chỉ định trước tại (5.8).

Hình 5.3 – Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số
1.4. Cấu trúc dạng mắt lưới
Xét mạch lọc FIR với hàm hệ thống:
H

z
-1
H(1+α)


2





2

(1+)

z
-1
H(M - 1+α)


2

(1+)

y(n)
Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số

Trang 76 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

và A


Hình 5.4 – Cấu trúc mắt lưới đơn tầng
Xét trường hợp m = 2:
y(n) = x(n) + α
2
(1)x(n – 1) + α
2
(2)x(n – 2) (5.19)
Thực hiện ghép 2 tầng từ dạng đơn tầng như hình 5.4:
f
1
(n) = f
0
(n) + K
1
g
0
(n – 1) (5.20)
g
1
(n) = K
1
f
0
(n) + g
0
(n – 1)
Nên:
f
2

[K
1
f
0
(n – 1) + g
0
(n – 2)] (5.22)
Mà f
0
(n) = g
0
(n) = x(n):
f
2
(n) = x(n) + K
1
(1 + K
2
)x(n – 1) + K
2
x(n – 2) (5.23)
Phương trình của cấu trúc mắt lưới 2 tầng giống với phương trình của hệ FIR
(5.19) khi các hệ số bằng nhau, nghĩa là:
z
-1
x(n)
f
1
(n)
g

(n)
f
0
(n)
K
1
K
1
f
2
(n) = y(n)
Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số

Trang 77 GV: Phạm Hùng Kim Khánh

α
2
(1) = K
1
(1 + K
2
) và α
2
(2) = K
2
(5.24)
Hay:
K
2
= α

m
f
m – 1
(n) + g
m – 1
(n – 1), m = 1, 2, …, M – 1
trong đó ngõ ra của tầng thứ M – 1 tương ứng với ngõ ra của một mạch lọc bậc
M – 1:
y(n) = f
M – 1
(n) (5.27)

Hình 5.6 – Cấu trúc mạch lọc dạng mắt lưới M – 1 tầng
Theo phương trình của mạch lọc dạng trực tiếp và dạng mắt lưới, ta có:
f
m
(n) =






()

=0
, α
m
(0) = 1 (5.28)
g

m
(k) = α
m
(m – k):
B
m
(z) =



()


=0
= 










=0
= z
-m
A
m

(n)
f
m-1
(n)
K
m
K
m Tầng 1
x(n) Tầng 2 Tầng 2
y(n) f
0
(n)
g
0
(n)
f
1
(n)
g
1
(n)

-1

Chia 2 vế của phương trình (5.32) cho X(z) và áp dụng kết quả (5.30):
A
0
(z) = B
0
(z) = 1 (5.33)
A
m
(z) = A
m-1
(z) + K
m
B
m-1
(z)z
-1

B
m
(z) = K
m
(z)A
m-1
(z) + B
m-1
(z)z
-1


(m) = K
m

2. Thiết kế bộ lọc FIR
2.1. Bộ lọc FIR đối xứng và phản đối xứng
Bộ lọc FIR kích thước M mô tả bằng phương trình sai phân:
y(n) =



()
1
=0
(5.36)
trong đó {b
k
} là các hệ số của mạch lọc. Biểu diễn theo tích chập của đáp ứng
xung của hệ thống:
y(n) =

()()
1
=0
(5.37)
Như vậy, đáp ứng xung của hệ thống h(k) = b
k
. Hàm hệ thống:
H(z) =

()


()
(12)/2
±
(12)/2


2
1
=0
, 
Thay thế z
-1
bằng z trong (5.38), ta có:
z
-(M – 1)
H(z
-1
) =  H(z) (5.41)
Từ đó, ta thấy nghiệm của đa thức H(z) tương tự nghiệm của đa thức H(z
-1
),
nghĩa là nếu z
1
là nghiệm của H(z) thì 1/z
1
cũng là nghiệm. Trong trường hợp h(n) có
các hệ số thực, nếu z
1
là nghiệm phức thì cũng sẽ có nghiệm z

1
2
 , 
(3)/2
=0
(5.43)
H
r
() =2






1
2
 , 

2
1
=0
(5.44)
Đặc tính pha của bộ lọc là:




=







1
2
 , 
(3)/2
=0
(5.47)
H
r
() =2






1
2
 , 

2
1
=0
(5.48)
Đặc tính pha của bộ lọc là:


d
(n) và biến đổi Fourier H
d
():
H
d
() =



()


=0
(5.50)
h
d
(n) =
1
2



()




(5.51)
Tổng quát, đáp ứng xung h



(5.54)
Trong đó:
W() =

()

1
=0
=



1
=0
(5.55)
=
1

1

=
 (1)/2
sin(

2
)
sin(


  sin

2
 0

1
2
 +  sin

2
 < 0

(5.57)
Đáp ứng biên độ mô tả như hình 5.7. Độ rộng của búp sóng chính là 4/M nên
nếu M càng lớn thì búp sóng chính càng hẹp tuy nhiên biên độ của các búp sóng phụ
khá cao và hầu như không ảnh hưởng khi tăng M. Để giảm biên độ của các búp sóng
phụ, ta có thể thay đổi hình dạng cửa sổ. Tuy nhiên, độ rộng của búp sóng chính sẽ
tăng lên. Một số dạng cửa sổ mô tả như bảng 5.1.
Bảng 5.2 mô tả một số đặc tính của các hàm cửa sổ trên miền tần số bao gồm
độ rộng của búp sóng chính và đỉnh của búp sóng phụ. Hình 5.7 – Đáp ứng biên độ của hàm cửa sổ chữ nhật với M = 31 và M = 61