ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

Nguyễn Hồng Lộc
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2016.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

1 / 22


Câu 1
Cho hàm số f (x, y , z) = x 3y 2 + 2xy + z 3 và điểm
M0(1, −1, 1).
a) Tính đạo hàm của hàm f theo hướng véc-tơ
→
−
= (1, 2, −2) tại M0
−−→ →
−
5
f→
− (M0 ) = grad f . I = −
3

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)


ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

3 / 22


Câu 3
Tính
x 2 + y 2 + z 2dxdydz, V giới hạn bởi
V
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2z; z ≤ x 2 + y 2, y ≥ 0
Chú ý hàm dưới dấu tích phân,ở đây chỉ dùng
được tọa độ cầu
Tọa độ cầu:
x = rcosϕsinθ; y = rsinϕsinθ; z = rcosθ
Thay vào hình cầu r 2 ≤ 2rcosθ, mặt nón
rcosθ ≤ rsinθ. Điều kiện y = rsinϕsinθ ≥ 0
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

4 / 22


Trên TXĐ [0, π]: cosθ ≤ sinθ → π4 ≤ θ ≤ π2 ,
y = rsinϕsinθ ≥ 0 → sinϕ ≥ 0


1 − y 2 đi từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1).

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

6 / 22


C : x = 1 − y 2 là nữa bên phải của đường tròn
x2 + y2 = 1
Qx = 5y 4e x ; Py = 5y 4e x − 5: thêm vào đường đi
từ B đến A để được đường kín và áp dụng Green
− = − (Qx − Py )dxdy −
I =
C +BA

BA

D

BA
1

I =−
x 2 +y 2 ≤1;x≥0



TP. HCM — 2016.

8 / 22


S1 =

1 + (2x)2 + (2y )2dxdy

dS =
S
2π

=

Dxy
3

dϕ
0

0
12
2π 8 3 (1

√

1 + 4r 2rdr
3


Câu 6
Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∞ (2n + 1)! ln(1 + 1 )
3n
3n .(n!)2
n=1
an+1
D = lim
n→∞ an
1
)
(2n + 3)!
3n .(n!)2 ln(1 + 3n+1
D = lim n+1
n→∞ 3
.((n + 1)!)2 (2n + 1)! ln(1 + 31n )
1
(2n + 2)(2n + 3) 3n+1
D = lim
. 1 = 4/9 < 1
n→∞
3(n + 1)2
3n
Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này hội tụ.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.


TP. HCM — 2016.

11 / 22


Câu 8
Tìm bán kính hội tụ và tính tổng với x = 21
∞ (−1)n .2.5..(3n − 1)
n+1
x
3n+1.(n + 1)!
n=1
an+1
|=
ρ = lim |
n→∞ an
2.5..(3n − 1)(3n + 2) 3n+1.(n + 1)!
lim
= 1. Bán
n→∞
3n+2.(n + 2)!
2.5..(3n − 1)
kính R = 1/ρ = 1
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.



Số hạng đầu trong (1 + x)α bậc 0, do đó thiếu 2 số
∞ (−1)n .2.5..(3n − 1)
1
3
n+1
(1
+
x)
−
1
−
x
=
x
3
n+1 .(n + 1)!
3
n=1
Thay x = 12 ta có kết quả

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

14 / 22



TP. HCM — 2016.

15 / 22


Câu 10
Sử dụng tính tích phân I =

ydx − zdy + xdz,
C

trong đó C là giao tuyến của 2 mặt
x2 + z2
+ y 2 = 2, z = x lấy theo chiều kim đồng
2
hồ hướng lên so với trục Oz.
P = y , Q = −z, R = x
I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx +
S

(Qx − Py )dxdy
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

16 / 22



Có thể vẽ mặt chiếu lên Oyz (x=0)
→ y = 2, y = −2, hướng vào trong
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

18 / 22


Để được mặt kín thêm vào 2 mặt
S1 : z = 1, x 2 + y 2 ≤ 4 hướng lên so với Oz
S2 : z = 2, x 2 + y 2 ≤ 4 hướng xuống so với Oz
I =
− −
= I0 − I1 − I2
S+S1 +S2

I1 =

S1

=+
S1

(z = 1) + 2dxdy = 3.4.π = 12π

Dxy


1 + 1)dxdydz = −

2

dϕ
0

2

2rdz = −8π

dr
0

1

I = −8π − 12π − (−16π) = −4π

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

20 / 22


Câu 11
Tính I =


I =−

2dy = −

dx
−2

2dxdy

0

Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)

32
3

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2

TP. HCM — 2016.

22 / 22