PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM MINDLIN TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU
TẢI TRỌNG DI ĐỘNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG
DYNAMIC RESPONSES OF MINDLIN PLATES RESTING ON THE PASTERNAK FOUNDATION
SUBJECTED TO MOVING LOAD USING MOVING ELEMENT METHOD

TÓM TẮT

Cao Tấn Ngọc Thân, Lương Văn Hải, Nguyễn Trọng Phước
1. Giới thiệu

Trong bài báo này, một phương pháp mới được phát
triển gần đây đó là phương pháp phần tử chuyển động dùng để
phân tích ứng xử động của tấm dày Mindlin trên nền Pasternak
chịu tải trọng di động. Theo phương pháp này, tấm sẽ được
chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử
này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là
chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu
tấm. Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật
véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm. Tất cả các phương
trình chuyển động cũng như các ma trận kết cấu của phần tử
tấm được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động với
vận tốc không đổi. Để đảm bảo được sự liên tục và chính xác
của lời giải, mô hình nền Pasternak được sử dụng trong nghiên
cứu. Các ví dụ số liên quan đến ứng xử động lực học của tấm
được triển khai nhằm phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến
chuyển vị lớn nhất và hình dáng biến dạng của tấm như vận tốc
lực di chuyển, độ cứng của nền và chiều dày tấm.

Với sự phát triển của khoa học và công nghệ, kết cấu tấm
được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực như hàng không,
giao thông, dân dụng... Trong các lĩnh vực này, kết cấu tấm

cả các nhược điểm trên của FEM được minh họa ở Hình 1.

ABSTRACT
In this paper, a recent method, namely the moving element
method (MEM) is employed to analyze the dynamic response
of the Mindlin plates resting on the Pasternak foundation under
a moving load. By using this method, the plate is discretized
into “moving element”. These moving elements are not
physical elements fixed to the plate but are conceptual elements
that “flow” with the moving load through the plate. Thus, the
proposed method eliminates the need of keeping track the
location of moving load with respect to the plate. The
governing equations of motion as well as structural matrices of
moving elements are formulated in a relative coordinate system
travelling at a constant speed. Considering the continuity of
foundation, Pasternak foundation model is employed in this
study. Numerical examples are conducted to investigate the
effects of various parameters on deflected shapes, maximum
displacement of the plates such as the speed of moving load,
the stiffness of foundation and the thickness of plates.
Keywords: Moving element method, Mindlin plate, Pasternak
foundation, moving load.
ThS. Cao Tấn Ngọc Thân
Nghiên cứu sinh, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM
PGS.TS. Lương Văn Hải, TS. Nguyễn Trọng Phước
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại
học Quốc gia Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0944282090

các lò xo nên ứng xử của nền không liên tục và đã bỏ qua biến
dạng cắt. Để khắc phục những hạn chế của nền Winkler,
Vlasov and Leont’ev (1966) [13] đã phân tích ứng xử của dầm
và tấm trên nền hai thông số Pasternak. Yang (1972) [14] đã
phân tích ứng xử của tấm trên nền Pasternak sử dụng kết hợp
phương pháp phần tử hữu hạn và sai phân hữu hạn.
Trong bài báo này, phương pháp MEM được sử dụng để
phân tích động lực học của tấm Mindlin tựa trên nền Pasternak
chịu tải trọng động. Các phương trình chuyển động của tấm,
các ma trận kết cấu cũng được thiết lập trong hệ tọa độ tương
đối chuyển động cùng vận tốc của lực. Đồng thời, các thông số
như vận tốc của lực di chuyển, chiều dày tấm, hệ số đàn hồi, hệ
số cắt của nền ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm cũng được
phân tích. Các kết quả thu được sẽ là tài liệu hữu ích cho việc
nghiên cứu và thiết kế các kết cấu tấm chịu tải trọng động trong
thực tiễn.
2. Cở sở lý thuyết
Xét tấm Mindlin đặt trên nền Pasternak với chiều dài L ,
chiều rộng B có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E ,
trọng lượng riêng ρ , hệ số Poision ν . Nền Pasternak được mô

xoay của tấm Reissner-Mindlin
Rời rạc hóa miền bài toán Ω thành N e phần tử tứ giác
chín nút Q9 sao cho Ω=

Ne

 Ωe với
e =1


o
o

Trang 2


N1 =

1

N3 =

1

4
4

(ξ − 1)(η − 1) ξη ,
(ξ + 1)(η + 1) ξη ,

N2 =

1

N4 =

1

4
4


(

) (ξ + 1) ξ

(

) (ξ − 1) ξ

(1)

σ = σ b + σ s = Dzκ b + Gk

1− v

2

N
0

0

N 

1
 0

0

1


Ω




Ω

(8)

trong đó Db là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn, và
được cho bởi:




1 ν
0 
3
Eh


ν 1
Db =
0 
2 
12 (1 − ν )

1 −ν 
0 0


N2

0

0

...

N9

0

N1

0

0

N2

0

...

0

N9

0


w9

β x9



0 (14)

N9 

0

và d là véctơ chuyển vị nút:
β y9

]

T

(9)

trong đó N w là ma trận chứa các hàm dạng:

(17)

Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không
đổi V . Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, một hệ tọa độ
( r , s ) gắn liền với tải trọng di động được thiết lập. Mối quan
hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau :

2
2
∂t
∂t
∂r ∂t
∂t
2

2

2

∂w ( x , t )
∂w ( r , t ) ∂w ( r , t )
−V
+
w ==
∂t
∂r
∂t

(10)

(15)

Chuyển vị đứng w được nội suy từ chuyển vị nút phần tử:
(16)
w = N wd

2

Nguyên lý công ảo được áp dụng để thiết lập phương trình
chuyển động của bài toán tấm trên nền Pasternak. Công nội ảo
được tính toán theo công thức sau:

WI

T

Bằng cách sử dụng các hàm dạng, véctơ chuyển vị tại một
(4)

(5)


0 

0

1 −ν 

2 

module đàn hồi trượt và k =

Ω

0 ] là tải trọng phân bố trên tấm,

k w , k g lần lượt là module đàn hồi và module cắt của nền, m là



Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke
như sau:

D=

Ω

Ω

và


1 ν

ν 1

 0 0

Ω

+

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt.
Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:
(2)
ε =ε s +ε b =zκ b +γ
trong đó:
(3)
κ b = B b u, γ = B s u

− 2V
+
2
2
∂t
∂r
∂r ∂t
∂t
2

2

∂ w(r,s)
2

∇
=
w
2

∂r

2

2

(21)

2


βx

T

Thay (20) và (21) vào (11), phương trình được viết lại:


∫ bδ ud Ω − ∫ ( δ u ) m  u − 2V

Ω
Ω

WE
=

∂u
∂r

∂ u
2

+V

2

∂r

2

 dΩ

mNdrds

Ω

∫ Bb DbBbdrds + ∫ B s Ds B s drds
T

Ke

(

T

Ω

Ω

T

)

( ),rr

là đạo

+ ∫ mV N N ,rr + k w N w N w − k g N w N w,rr − k g N w N w, ss drds
2

T


Hình 8 cho thấy khi vận tốc của lực di chuyển tăng dần
thì chuyển vị của tấm cũng tăng dần. Cụ thể khi vận tốc của
lực di chuyển tăng 8 lần thì chuyển vị của tấm tăng 1.42 lần
(tương đương với 42%).

là đạo hàm bậc hai theo s .

Sau khi tổng hợp các ma trận kết cấu và véc tơ tải trọng cho
toàn bộ tấm, phương trình động lực học của hệ trên có dạng:
 + Ku =
(27)
Mu
F
trong đó M và K lần lượt là các ma trận khối lượng và
độ cứng tổng thể của hệ, F là véctơ tải trọng tổng thể của hệ.
3. Các ví dụ số
Để chứng minh sự tin cậy của phương pháp được đề xuất
cũng như các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử của tấm, các ví
dụ số về phân tích tĩnh và ứng xử động của tấm sẽ được thực
hiện và so sánh với các kết quả của phương pháp FEM.
3.1 Kiểm chứng phương pháp
Trong bài toán này, mô hình tấm chữ nhật Mindlin tựa
trên nền Pasternak với điều kiện biên là ngàm 4 cạnh (C-CC-C) được khảo sát. Tấm có kích thước: dài L = 30 m , rộng
B = 10 m và dày h = 0.5m . Các thông số vật liệu của tấm
10

2

lượt


trí của điểm đặt lực. Kết quả phân tích cho thấy ứng với giá
trị vận tốc V tăng dần thì biên độ chuyển vị của tấm cũng
tăng dần, đồng thời chu kì chuyển vị của tấm giảm tương
ứng xấp xỉ số lần tăng của vận tốc V . Điều này lý giải rằng
khi lực di chuyển với vận tốc càng lớn thì tấm sẽ dao động
càng nhanh, tương đương với chu kì dao động của tấm giảm.
Hình 7. Chuyển vị của tấm theo phương x
Hình 7 thể hiện kết quả chuyển vị của tấm từ phương
pháp MEM và phương pháp FEM. Biểu đồ cho thấy sai số

3.3. Khảo sát chuyển vị của tấm trên nền Pasternak so
với chuyển vị của tấm trên nền đàn nhớt Winkler
Trong bài toán này, sự ảnh hưởng của nền Pasternak được
phân tích thông qua việc so sánh chuyển vị của tấm chịu tải
trọng chuyển động được đặt trên nền Pasternak và nền đàn
Trang 4


nhớt truyền thống. Các thông số kích thước và vật liệu của
tấm vẫn được sử dụng giống như bài toán 3.1. Tấm chịu tải
trọng tập trung P = 2000N di chuyển dọc theo phương x với
vận tốc V = 27.78m / s . Tấm đặt trên nền Pasternak với các
hệ số đàn hồi và hệ số cắt lần lượt k w = 9.5 × 10 (N/m ) ,
7

3

k g = 2.375 × 10 (N/m ) và nền đàn nhớt Winkler với các hệ
7


h4 = 2h . Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển
được thể hiện trên Hình 12 tương ứng trọng tâm xe đặt tại giữa
tấm (x=15m).

Hình 10. So sánh chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động
trên nền Pasternak và nền đàn nhớt Winkler
3.4. Khảo sát ứng xử của tấm trên nền Pasternak khi
thay đổi hệ số nền k w , k g
Trong bài toán này, các thông số tấm và tải trọng tác dụng
lên tấm được sử dụng giống như bài toán 3.1. Để khảo sát
ảnh hưởng của các thông số như hệ số đàn hồi k w và hệ số
cắt k g của nền Pasternak, chuyển vị của tấm Mindlin trên
nền được khảo sát với các trường hợp hệ số đàn hồi k w thay

Hình 12. Chuyển vị dọc theo trục của lực di chuyển khi

đổi lần lượt k w1 = 0.5k w , k w2 = k w , k w3 = 2 k w , đồng thời

chiều dày tấm h thay đổi

thay đổi hệ số cắt nền lần lượt từ k g = 0 (nền Winkler) đến

Hình 12 thể hiện khi chiều dày tấm tăng dần thì chuyển vị
của tấm giảm dần. Cụ thể khi chiều dày của tấm tăng từ 0.5m
đến 1m thì chuyển vị của tấm giảm 2.59 lần (giảm từ

k g = 6 k w . Hình 11 thể hiện biểu đồ quan hệ giữa chuyển vị
của tấm Mindlin tương ứng với tỉ số k g / k w thay đổi. Từ kết
quả trên Hình 11 cho thấy khi tăng hệ số cắt k g thì chuyển vị
của tấm cũng giảm. Khi hệ số đàn hồi k w nhỏ thì ảnh hưởng

trong thiết kế kết cấu vì khi đã vượt qua chiều dày tối ưu và có
tăng chiều dày thì cũng không có tác dụng đáng kể mà gây lãng
phí vật liệu.

5

6

7

8

9
Hình 13. Chuyển vị lớn nhất của tấm khi chiều dày tấm thay
đổi
4. Kết luận
Trong bài báo này việc phân tích ứng xử động của tấm
Mindlin trên nền Pasternak chịu tải trọng di động sử dụng
phương pháp MEM được thực hiện. Thông qua các kết quả
nghiên cứu, một số kết luận quan trọng có thể rút ra như sau:
-Phương pháp MEM tỏ ra hiệu quả hơn trong việc phân tích
ứng xử động của kết cấu tấm vì khắc phục được các nhược
điểm mà phương pháp FEM gặp phải.
-Ảnh hưởng của nền Pasternak đến chuyển vị của tấm so
với nền đàn nhớt được phân tích. Chuyển vị của tấm trên nền
Pasternak giảm hơn nhiều so với tấm trên nền đàn nhớt. Điều
này do ảnh hưởng của sự làm việc đồng thời của các lò xo
trong nền Pasternak.
-Trong nền Pasternak, khi hệ số đàn hồi nhỏ thì ảnh hưởng
của hệ số cắt là khá lớn, nhưng khi hệ số đàn hồi lớn thì ảnh

C. G. Koh, J. S. Y. Ong, D. K. H. Chua and J. Feng (2003)
Moving element method for train-track dynamics,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 56:1549–1567.
C. G. Koh, G. H. Chiew and C. C. Lim (2007) A numerical
method for moving load on continuum, Journal of Sound
and Vibration, 300:126–138.
W. T. Xu, J. H. Lin, Y. H. Zhang, D. Kennedy and F. W.
Williams (2009) 2D moving element method for random
vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with
Kelvin foundation, Latin American Journal of Solids and
Structures, 6:169-183.
K. K. Ang, M. T. Tran, and V. H. Luong (2013) Track
vibrations during acceleration and deceleration phases of
high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific
Conference on Structural Engineering and Construction
EASEC-13, Sapporo , Japan.
Võ Hoàng Nhi, Lương Văn Hải, Trần Minh Thi (2014)
Phân tích ứng xử của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu
tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển
động, Người Xây Dựng, 11&12:91-97.
V. Z. VLASOV and N. N. LEONT’EV (1996) Beams,
Plates, Shells on Elastic Foundations (translated from
Russian), Israel Program for Scientific Translations,
Available from the Clearinghouse of U.S. Dept. of
Commerce.
T.Y.Yang (1972) A finite element analysis of plate on a
two parameter foundation model, Computers and
structures, Vol.2, pp.593-614.