1
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC
MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT

Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên
Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên

Tóm
tắt: Phương pháp tách biến Fourier đã được sử dụng để nghiên cứu dao động của các
màng có hình dạng đặc biệt. Hai bài toán dao động tổng quát của màng chữ nhật và màng tròn đã
được đưa ra như một ví dụ minh hoạ về tính hiệu quả và đơn giản của phương pháp tính toán này khi
giải các bài toán vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong nghiên cứu này
chúng tôi đã trình bày lời giải chi tiết về dao động của màng chữ nhật và màng tròn. Kết quả tìm đượ
c
cũng được chúng tôi thảo luận và nhận xét tương đối đầy đủ trong công trình này.

1. Giới thiệu
Dao động tự do của các vật có hình dạng đặc biệt (vuông, chữ nhật, tròn và quạt…) đã
được nghiên cứu, tính toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nhưng đơn giản và hiệu quả
hơn cả là đưa bài toán về dạng các phương trình vi phân đạo hàm riêng, sau đó sử dụng các
công cụ toán học để giải các phương trình vi phân này như: biến đổi ảnh Laplace, tách biến
Fourier, Mặc dù, đã có rất nhiều giáo trình viết về những phương pháp và kết quả tính toán
đối với các dạng dao động này. Xong trên thực tế những giáo trình này vẫn chưa được giảng
dạy phổ biến và có tính chất hệ thống tại các trường Đại học ở Việt Nam. Tuy nhiên, những
vấn đề này lại thu hút được sự quan tâm rất lớn của những nhà nghiên cứu về Vật lý lý thuyết
cũng như các bạn Sinh viên khoa Vật lý ở các trường Đạ
i học Sư phạm. Vì vậy, với mong
muốn tìm hiểu, trang bị những kiến thức bổ ích, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu “Sử
dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động của các màng có hình dạng đặc biệt”.
V

ì
m
ml
l
ờ
ờ
i
ig
g
i
i
ả
ả
i
ic
c
h
h
o
o


a
o
ođ
đ
ộ
ộ
n
n
g
gt
t
ự
ựd
d
o
oc
c
ủ

gc
c
ó
óh
h
ì
ì
n
n
h
hd
d
ạ
ạ
n
n
g
gđ


t
t
ô
ô
i
iđ
đ
ã
ãs
s
ử
ửd
d
ụ
ụ
n
n
g
g


c
h
hb
b
i
i
ế
ế
n
nF
F
o
o
u
u
r
r
i
i
e
e
r
r


c
ủ
ủ
a
ac
c
á
á
c
cp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt

ạ
o
oh
h
à
à
m
mr
r
i
i
ê
ê
n
n
g
gm
m
ô
ô


am
m
à
à
n
n
g
gt
t
r
r
ê
ê
n
n
.
.
K
K
ế
ế
t
t


đ
ư
ư
ợ
ợ
c
c
,
,c
c
h
h
ú
ú
n
n
g
gt
t
ô
ô
i
i


àn
n
h
h
ậ
ậ
n
nx
x
é
é
t
tr
r
ấ
ấ
t
tr

t
ô
ô
i
ih
h
y
yv
v
ọ
ọ
n
n
g
gr
r
ằ
ằ
n
n
g

yc
c
ó
ót
t
h
h
ể
ểl
l
à
à
m
mt
t
à
à
i

ot
t
ố
ố
t
tc
c
h
h
o
oS
S
i
i
n
n
h
hv


t
t
h
h
e
e
o
oh
h
ọ
ọ
c
cV
V
ậ
ậ
t
tl
l
ý

Đ
ạ
ạ
i
ih
h
ọ
ọ
c
cS
S
ư
ưp
p
h
h
ạ
ạ
m
m
,

h
ọ
ọ
c
cT
T
ự
ựn
n
h
h
i
i
ê
ê
n
nv
v
à
à


iC
C
a
a
o
oh
h
ọ
ọ
c
c
…
…
.
. 2
2
.
.P

ht
t
o
o
á
á
n
nChúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến Fourer để tính toán trong quá trình nghiên
cứu. Giả sử tìm nghiệm phương trình [1-3]:

2
()
,, 2
, ,
tt
UauGxyzt−Δ= , (1)
nghiệm thoả mãn phương trình vi phân (1), được tìm bằng cách phân tích hàm
()
, , , Uxyz t

thành tích các hàm chứa các biến độc lập với nhau, cụ thể là chúng ta đặt:
()
() ( ) ( ) ()
, , , ,

t
β
∂
=ΔΔ
∂
là lực hãm hay lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc dao động trên yếu tố diện
tích
x
yΔ⋅Δ,
β
là hệ số tắt dần.
Hình 1. Dao động của màng
U(x,y,z)
y
X

Tc T T
u
x
α
α
≅
≈≡
∂
⎛⎞
+
⎜⎟
∂
⎝⎠

21
os os
o
Tc Tc T
α
α
==,
21
os os
o
Tc Tc T
β
β
=
= .
Áp dụng định luật II-Newton, lấy tổng các lực theo hướng vuông góc với yếu tố của

xx
1
u
1+
x
u
tg u u
tg
α
α
α
∂
∂∂
⎛⎞
∂
=≈ ≈ ≈
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
+
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎝⎠
,
do đó, ta có:
()
21
u

⎛⎞⎛⎞
Δ−=Δ +−−
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
∂∂
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

/2
y
y
−
Δ /2
y
y+Δ
1
β

2
β

Tx
⋅
Δ
Tx
⋅
Δ
x

22 2
1
,,
oo
uu u u
wxyt
x
yT T t t
ρβ
ρ
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂
++ = +
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
,
hay
()
22 2
22 22
11
,,
o
uu u u
wxyt k
x
yT a t t
⎛⎞
∂∂ ∂ ∂

●Trường hợp 2: Dao động của màng trong trạng thái dừng, suy ra phương trình
Poison:
()
22
22
1
,.
o
uu
wxy
xy T
∂∂
+=−
∂∂
(6)
Gọi C là đường cong kín, nó là biên của màng nằm trên mặt phẳng
()
,
x
y , gọi n
r
là
vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài đường cong trên biên. Điều kiện biên của dao động
của màng có các dạng sau:
Điều kiện biên Dirichlet được gọi là điều kiện biên gắn chặt
()
(
)
,
,, ,

u
gradu n g x y
n
∈
∈
⎧
=
⎪
⎨
∂
==
⎪
∂
⎩
r
(9)
Điều kiện ban đầu dao động của màng là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu của
mọi điêm trên bề mặt của màng khi
0t
=
, có dạng:
()()
()
()
,, ,
,,0
,
uxyo f xy
uxy
gxy

(
)
(
)
(
)
12
,,0 AxyLuxy x L y
=
−−;
()
,,0 0
t
uxy = [1-3, 7].

Bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình vi phân hai biến:
2
()
tt xx yy
uauu=+
, (11)

y
L
≤
≤ .
Dao động của màng chữ nhật này có dạng như sau:

() () ()
()
(
) ()
00
12
21 2 1
, , cos sin sin sin
mn nm mn mn
mn
nx my
uxyt A a t B a t
LL
π
π
λλ
∞∞
==
++
=+
∑∑
,
từ điều kiên ban đầu (12) xác định được các hệ số
,mn mn

()()
(
)
(
)
12
12
12 1 2
00
21 2 1
4
Axy L L sin sin
LL
mn
nx my
Axx dxdy
LL L L
ππ
++
=−−
∫∫

()
(
)
()
(
)
12
12

1
Ι , áp dụng tích phân từng phần

()
()
()
()
()
()
()
1
1
1
11
11 1
11
0
0
1
1
1
0
21 21
cos ( 2 )cos
21 21
21
(2)cos
21
L
L

1
22
11
11
22
22
11
0
0
21 21
2
2sin sin
21 21
L
L
nx nx
LL
Lx dx
LL
nn
ππ
ππ
++
Ι= − +
++
∫

()
3
1

2
3
3
4
21
L
m
π
=
+

Như vậy:
()( )
33
12
33
3
64
212 1
mn
AL L
A
nm
π
=
++
và 0
mn
B
=

nm
c
ππ
π
π
∞
=
++
=× ×
++
⎧
⎫
⎪
⎪
×+
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
∑
(14)
Từ kết quả tính được trong biểu thức (14), chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật lý
như sau:
Biểu thức (14) mô tả dao động tự do của màng chữ nhật, vì hàm
()
,,uxyt
khả vi hai lần
theo t , hai lần theo
x

=
++
×
++
∑

với tần số dao động riêng:
()()
22
22
12
21 2 1nm
a
LL
ωπ
++
=+
.

7
Nếu
0mn==, biên độ dao động là
22
12
6
12
64
sin sin
AL L
x

L
y =
. Đó là tâm của màng. Đó là điểm
bụng của sóng đứng.
Nếu
1, 0nm== biên độ dao động là
12
6
12
64 3
sin sin
27
AL L
x
y
LL
π
π
π
, các điểm (, )
x
y của
màng mà
1
0
2
L
x<<
và
2

Nếu
0, 1nm==
, các đường nút là
2
12
0; , 0, ,
2
L
x
xLy y yL
=
=== = và hai điểm bụng
là
12 1 2
3
,;,
24 2 4
LL L L
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
.
Bài toán thứ hai: Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm
1
r
S và
2
r
S (Hình 4). Bán
kính của mặt cầu bên trong

()
121
sin , ,0 ,rt r t t r r
εω ε
=+ −∞<<+∞<<− (16)
và điều kiện biên:
12
cos , 0.
rr rr
uu
t
rr
εω ω
==
∂∂
==
∂∂
(17) 8
Thế vận tốc
(
)

2
0
2
1,
!
m
m
m
x
Jx
m
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=−
∑() ( )
()( )
21
1
0
2
1,
!1!
m
m

=−

() ()
()
()
23
00 1
0
24.
x
Jd xJxxxJx
ξξξ
=+−
∫

1
r
2
r
Hình 4. Khí lý tưởng choán đầy giữa hai mặt cầu đồng tâm

9
Sử dụng các tính chất của hàm Betsen và các điều kiện (16), (17) chúng ta xác định
được:
()
() ()
22 22
22
12 12
12 12


Như vậy, dao động của chất khí giữa các mặt cầu:
()
()
()
22
2
12
12
22
2
12
12
1
2cos sin
cos
a
11
cos
,cos.
1
2cos sin
sin
a
11
cos
rr
r
a
ar a

⎪⎪
−
⎛⎞
−
⎪⎪
⎜⎟
⎪⎝ ⎠ ⎪
=
⎨⎬
⎛⎞
⎪⎪
−
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎪⎪
+
−
⎛⎞
⎪⎪
−
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
(20)
Từ kết quả tính được, theo trong biểu thức (20) chúng tôi có một số nhận xét về mặt Vật
lý như sau:
Dao động của chất khí giữa các mặt cầu là một dao động điều hoà với biên độ:
()

=+
−−
⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

và tần số góc dao động là
ω
.
Khi
r càng lớn thì
()
R
r càng giảm, điều này chứng tỏ các điểm càng xa tâm màng thì
dao động cáng nhỏ và đến biên màng thì đứng yên.

4. Kết luận
Nghiên cứu này đã thu được một số kết quả sau:
i) Đã trình bày một cách có hệ thống và lôgic phương pháp tách biến Fourier và sử dụng
phương pháp này để tìm các phương trình dao động tổng quát và dao động cụ thể (Biết điều
kiện và điều kiện ban đầu) của màng chữ nhật và tròn.

10
ii) Từ những kết quả tính toán được, chúng tôi có những thảo luận và nhận xét quan
trọng về mặt Vật lý của bài toán. Vấn đề tiếp theo là nghiên cứu và tính toán sự truyền nhiệt
trong các màng chữ nhật và tròn.

Lời cảm ơn
Để hoàn thành bản đề tài này, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô cùng

11
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý, NXBGD, 2002.
[2] Phan Huy Thiện,
Phương trình toán lý, NXBGD, 2007.
[3] Phan Huy Thiện,
Tuyển tập bài tập phương trình toán lý, NXBGD, 2008.
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,
Toán cao cấp tập 1. NXBGD,
1997.
[5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh
, Toán cao cấp tập 2. NXBGD,
1997.
[6] Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,
Toán cao cấp tập 3. NXBGD,
1997.
[7] Vũ Thị Kim Liên, Phạm Hữu Kiên,
Bài tập toán Cho Vật lý, Thái Nguyên, 2009.
[8] Phạm Hữu Kiên,
Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2003.
[9] Phạm Hữu Kiên,
Luận văn tốt nghiệp Cao học, Hà nội, 2006
[10] Đào Văn Phúc,
Điện động lực, NXBGD,1984
[11] Đỗ Thị Liên,
Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2008
[12] Phạm Đức Long,
Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên, 2009.
[13] Nguyễn Thị Thu Hằng,
Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên,2009.