BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
HOÀNG THỊ NHANH
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ
GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
HOÀNG THỊ NHANH

luận này.

Sơn La, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Hoàng Thị Nhanh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ 2
4. Đối tượng nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3
6. Giả thiết khoa học 3
7. Phạm vi nghiên cứu 3
8. Đóng góp của khóa luận 3
9. Bố cục của khóa luận 3
10. Kế hoạch thực hiện đề tài 4
PHẦN NỘI DUNG 5
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 5
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính. 5
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. 5
1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2 6
1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số 7
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ
số là hằng số 8
1.2. Chuỗi Fourier 9
1.2.1. Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier 9
1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 10

CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 40
3.1. Bài toán phương trình truyền nhiệt thuần nhất 40
3.2 Bài toán phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. 59
3.3 Một số bài tập tự giải. 68
PHẦN KẾT LUẬN 71
1. Kết quả thu được 71
2. Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo. 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho sự phát triển của chính
nó mà trở thành công cụ cho việc phát triển các ngành khoa học khác trong đó có Vật lý.
Bộ môn Phương trình Vật lý - Toán là một môn khá khó đặc biệt về phần Phương trình
Toán lý đối với các bạn sinh viên các khoa Vật lý và các ngành kỹ thuật có liên quan của
các trường Đại học Khoa họcTự nhiên và các trường Đại học Kĩ thuật trong cả nước.
Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật. Do
vậy, mục đích của chúng ta là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật đó.
Thực tế, khi nghiên cứu các môn học trong các học phần Vật lý lý thuyết của
sinh viên gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ
thông đã học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học trong các
học phần vật lý lý thuyết như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, nhiệt đông lực học,
vật lý thống kê…. Khi học các môn này, sinh viên thường xuyên phải thành lập và giải
các phương trình vi phân đạo hàm riêng . Vì vậy, yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên phải
nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng với kiến thức cần thiết của
phương pháp toán cho Vật lý, mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Do
vậy, phương trình Vật lý - Toán có vị trí và vai trò quan trọng đối với việc học tập và

giải bài tập phương trình truyền nhiệt”
2. Mục đích nghiên cứu
- Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu về các Phương trình Vật lý - Toán và đặc
biệt tìm lời giải cho các bài toán về phương trình truyền nhiệt nhằm phục vụ tốt cho
học tập ở phần phương trình truyền nhiệt ở bậc Đại học.
- Làm cơ sở cho các môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, cơ
lượng tử, điện từ …
3. Nhiệm vụ
- Nhắc lại một số kiến thức quan trọng của phép biến đổi Fourier trong toán cho
Vật lý và một số kiến thức cơ bản biến đổi phương trình truyền nhiệt.
- Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt.

3
4. Đối tượng nghiên cứu
- Cơ sở toán học cho phương pháp Fourier.
- Cơ sở lí luận về bài tập Vật lý.
- Các bài tập về phương trình truyền nhiệt.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Do đặc thù môn học chúng tôi đã chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lý
thuyết và bài tập ứng dụng.
- Sưu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp các tài liệu liên quan đến khóa
luận và sử dụng các công cụ toán học để tính toán và hệ thống hóa các bài tập một
cách lôgic nhằm đạt mục đích đề ra.
- Phương pháp phân tích.
- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Giả thiết khoa học
Từ những kiến thức và phương pháp giải toán cho bộ môn Toán lý nói chung và
kiến thức, phương pháp giải toán cho phần bài toán của phương trình truyền nhiệt,
chúng ta sẽ có một phương pháp đầy đủ và thông dụng, dễ nhớ mặc dù nó không phải
là một phương pháp mới.
5
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC
Toán học có vai trò quan trọng, nó là công cụ không thể thiếu trong quá trình
nghiên cứu Vật lý. Như vậy, để cung cấp những kiến thức toán học cần thiết, phục vụ
cho nghiên cứu ở hai chương sau, trong chương này phương trình vi phân tuyến tính,
chuỗi Fourier, đại cương về các phương trình truyền nhiệt đã được chúng tôi trình
bày chi tiết dưới đây.
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính.
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
 Phương trình tuyến tính cấp 1 có dạng:

'
y + p(x)y = q(x)
(1.1)
Ta giả thiết p(x), q(x) là những hàm liên tục.


0
ln y - ln C = - p(x).dx
6
y
ln = - p(x).dx
c



- p(x).dx
y = C.e


, với C

0
Nhận thấy y = 0 là nghiệm của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng:
- p(x).dx
y = C.e

, với C

R
- Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất
'



C(x) =
- p(x).dx
q(x).e


.dx + C
Thay C(x) vào biểu thức y = C(x).
- p(x).dx
e

ta được:
y(x) =
- p(x).dx - p(x).dx
e C+ q(x).e .dx









1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:

'' '
y + p(x)y + q(x)y = f(x)

+ Nếu
Δ > 0
: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
1;2
-p ± Δ
k =
2

Khi đó phương trình (1.6) có 2 nghiệm riêng của phương trình là:
12
k x k x
12
y = e , y = e

Do đó
12
k x k x
1 2 1 2
y = C .e + C .e ; C ,C
là các hằng số tùy ý.
+ Nếu
0
phương trình có nghiệm kép
12
k = k
, khi đó 2 nghiệm riêng của
phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng:

2
kx

với
-p
α = ,
2

Δ
β =
2

1
k = α + iβ
,
2
k = α - iβ

Khi đó có 2 nghiệm riêng của (1.6) là
(α+iβ)x
1
y = e ,

(α - iβ)x
2
y = e
,
Sử dụng công thức Euler, ta có:

αx αx
1
2
y = (cosβx + isinβx).e , y = (cosβx - isinβx).e .

Phương trình có dạng:
'' '
y + p(x)y + q(x)y = f(x)

Hay
y" + py' + qy = f(x)
(1.7)
- Trường hợp 1:
αx
n
f(x) = e .P (x),
(1.8)
với
n
α R, P (x)
là đa thức bậc n.
+ Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình (1.6), khi đó ta tìm nghiệm của phương
trình có dạng:
2 αx
n
y = x e .Q (x)
(1.9)
+ Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình (1.6), khi đó chúng ta tìm nghiệm của
phương trình có dạng:
αx
n

,
n
P (x)
là các đa thức bậc n, m;
α,
β
là các hằng số thực.
+ Nếu
α ± iβ
không là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình
đã cho có dạng:
y = e
αx

 
ll
Q (x)cosβx + R (x)sinβx
(1.13)
+ Nếu
α ± iβ
là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình đã cho
có dạng:
y = x e
αx

 
ll
Q (x)cosβx + R (x)sinβx
(1.14)
trong đó Q

n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L
)
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L, L),
trong đó
0 n n
a , a , b
gọi là các hệ số Fourier của chuỗi.

10
Từ tính trực giao của tập
nπx nπx
1, sin , cos
LL



có thể tìm được các hệ số
Fourier trong đó
0 n n
a , a , b
như sau:
a


sin
nπx
L
dx.
1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
* Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L.
- Hàm f(x) có một hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm
gián đoạn trong khoảng (-L, L).
* Giả sử khoảng (-L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác
định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển
tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.
* Người ta có thể xác định hàm f(x) là hàm mở rộng của hàm f(x) bên ngoài
khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy,
f(x)
là mở rộng tuần hoàn của f(x), -L

x

L có
tính chất
f(x)
(x + 2L) =
f(x)
.
* Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi hệ số a
0
, a
n

Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ;

11
- Tại điểm
0
x
có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của
hàm f(x) hội tụ về
1
2
[ f(
+
0
x
) + f(
-
0
x
) ] là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải
của bước nhảy gián đoạn.
* Hàm
N
S
(x) =
0
a
+
N

n
b
sin
nπx
L
).
có thể viết dưới dạng:
0
a
+
n
n = 1
C


sin (
nπx
L
+
n
φ
).
trong đó:
n
C
=
22
nn
a +b
được gọi là biên độ.

-L 0
f x dx = 2 f x dx


Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x), do đó:
           
L 0 L L L L
-L -L 0 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f -ξ dξ + f ξ dξ = 2 f ξ dξ
     


Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) =-f(x)thì
 
L
-L
f x dx = 0
12
Vậy:
         
L 0 L L L
-L -L 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f -ξ dξ + f ξ dξ = 0
    


Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn, tích

f x = a + a cos
L


, 0 < x < L
trong đó: a
0
và a
n
được xác định theo công thức:

0
a
=
1
L
L
0
f(x)

dx

n
a
=
1
2L

L
0

0
a
=
1
2L
L
-L
f(x)dx

.

n
a
=
1
L
L
-L
f(x)

cos
nπx
L
dx.

n
b
=
1
L

1nπx
A = f x cos dx
LL

,
 
L
n
-L
1nπx
B = f x sin dx
LL

.
Ta có một số trường hợp xác định của f(x) sau:
 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng



x



2L
Với
   
f x+2L = f x
có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

0 n n

1nπx
b = f(x)sin dx
LL

.
 Trường hợp 2: f(x) xác định trong khoảng
 
,



Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau :
0 n n
n = 1
f(x) = a + (a cosnx + b sinnx)


.
Các hệ số được xác định như sau :
π
0
-π
1
a = f(x)dx
2π

.
π
n
-π

2π



.
-
1
B(β) = f(x)sinαxdx
2π



.
- - - -
11
f(x) = f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ dx = f(ξ)cosα(x - ξ)dξ dx
2π 2π
   
   
   
   
   
   

Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller
inπx
L
nπx nπx
e = cos + isin
LL

f(x) = + e + e + e - e
2 2 2inπx inπx
-
0
LL
n n n n
n=1 n=1
A
11
= + A - iB e + (A + iB ) e
2 2 2

các hằng số được xác định như sau:

L
0
0
-L
A
1
C = = f(x) dx.
2 2L15

L

.
Như vậy:

inπx - inπx
LL
0 n - n
n = 1 n = 1
f(x)=C + C e + C e
.
Thay tổng cuối cùng n bằng – n ta có:
inπx inπx
-
LL
0 n - n
n = 1 n = -1
f(x) = C + C e + C e
.
Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier:

inπx
L
n
n=1
f(x)= C e
.
trong đó:
L
inπx
L
-L

d
λ

f(λ)

=
1
2π
-
f(ξ)




d
ξ
e
-iλξ
d
ξ

e
2
-iαx

-λ
4α
1
e
4πα

-iλf (λ)
2
2
f
x



2
(-iλ)
f(λ)


Hàm Delta Dirac
1
2π
-
f(x')g(x-x')dx'




f(λ)

g(λ)

Định lý dịch chuyển

- λα
ef(x) =
0, x >a
f(x)=
1, x <a






1 sinaλ
πλ
17
1.3. Đại cương về các phương trình vật lý toán
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:
1n
2 2 m
kk
2
1 n 1 1 2 1 n
u u u u u
F x,u, , , , , , , 0

Trong các bài toán Vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi phân
đạo hàm riêng cấp hai (m = 2). Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai với hai
biến số độc lập x, y là hệ thức liên hệ giữa đạo hàm chưa biết u(x, y) và đạo hàm
riêng của nó đến cấp hai:
x y xx xy yy
F (x, y, u, u , u , u , u , u ) = 0

Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng:
2 2 2
22
u u u u u
A + 2B + C + D + E + Fu = G(x, y)
x x y y x y
    
     
(1.15)
trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình
tuyến tính với hệ số hằng. Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi: G(x,y) = 0. 18
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý
Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.15) về một trong ba
dạng sau.
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic
Nếu
2
AC - B < 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.15) có thể viết

- Nếu
 
g x, t = 0
dao động là dao động tự do.
- Nếu
 
g x, t 0
dao động là dao động cưỡng bức.
Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho
phương trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây
thường có dạng sau:
a. Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng

x = 0 1
x = l 2
B(u) = u(0,t) = g (t)
B(u) = u(l,t) = g (t)

b. Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
x = 0 3
x = l 4
u(0,t)
B(u) = = g (t)
x
u(l,t)
B(u) = = g (t)
x





trong đó:
 
u
= gradu.n
n


;
n
là vectơ pháp tuyến đơn vị.
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận
tốc ban đầu:
u(x, 0) = f(x)
,
 
 
u x, 0
= F x
t



1.3.2.2. Phương trình Parabolic
Nếu
2
AC - B = 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.15) có thể viết
được dưới dạng


a =
cρ
gọi là hệ số khuếch tán.