1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong suốt chương trình học trong nhà trường, mỗi môn học đều góp phần
vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu cho học sinh. Trong đó
môn Toán giữ vai trò quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệ
khá cao. Thực tế những năm gần đây, việc dạy học Toán đã có những bước cải
tiến về phương pháp, nội dung và hình thức dạy học.
Các dạng bài tập của môn Toán trong chương trình trung học cơ sở (THCS)
rất đa dạng và phong phú. Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 là
giải các bài toán về phần phân số. Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán
lớp 6 cấp huyện ở Lệ Thủy thì phân số là nội dung hay đề cập đến và thường là
những bài khó. Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như
sách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất phức tạp, đa dạng và
không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau
một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng
hợp của học sinh còn hạn chế nên học sinh thường bế tắc trong việc tìm ra cách
giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài
toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.
Là một giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúp
học sinh giải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về
phần phân số, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, góp
phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”. Tôi xin trình bày sáng kiến kinh
nghiệm “Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi
lớp 6 ở trường THCS”. Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học
sinh phương pháp nhận dạng các bài toán về phân số và hướng dẫn phương pháp
để có lời giải hợp lý.
1.2. Điểm mới của đề tài.
Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biến
nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn.
1



làm được

từ 0,5 ->1 điểm

từ 1 ->1,5 điểm

(1,5 điểm)

SL

%

SL

%

SL

%

Tống số HS: 8

3

37,5

4

50

- Phải hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức đến đâu, luyện chắc đến đấy.
Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập.
- Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm
thế nào? Tại sao nghĩ như thế thì mới đạt kết quả.
2.2.2. Đối với học sinh:
- Các em phải luôn đóng vai trò chủ động trong việc tiếp thu kiến thức, chỗ
nào còn khó khăn vướng mắc học sinh cần mạnh dạn đặt câu hỏi ngay cho giáo
viên bồi dưỡng .
- Học sinh phải nắm thật chắc những kiến thức trong sách giáo khoa và các
kiến thức liên quan , để từ đó mới vận dụng tốt các phương pháp làm bài tập nâng
cao.
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học
và Tuổi thơ ….hoặc tìm các bài tập có liên quan thông qua mạng Internet vì nội
dung các bài tập trên mạng hiện nay rất nhiều .
2.2.2.1. Các kiến thức cơ bản và liên quan
1. Phân số:

4


* Dạng của phân số

a
với a, b∈ Z, b ≠ 0.
b

a: là tử
b: là mẫu của phân số.
*a=


- Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng phân số mà mẫu số là số dương.

4. Rút gọn phân số.
- Rút gọn một phân số là tìm một phân số đơn giản hơn nhưng vẫn bằng
phân số đã cho.
- Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung
(khác 1 và -1) của chúng.
- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa (tử và mẫu chỉ có
ước chung là 1 và -1).
5


* Muốn tìm phân số tối giản, ta chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho
ƯCLN của chúng.
5. Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu
chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng
mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Chú ý:
- Nếu trong các phân số đã cho có những phân số chưa tối giản thì nên rút
gọn các phân số đó trước khi quy đồng.
- Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung
là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân số
còn lại.
6. So sánh phân số
- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn
hơn.

a c a.c
⋅ =
b d b.d

2.2.2.2. Một số phương pháp giải bài tập phân số .
Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị là
số nguyên
Bài tập1:

Cho biểu thức A =

3
(n∈z)
n +1

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số.
b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = -3.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để A là số nguyên.
Giải:
a) Biểu thức A có 3∈ Z, n ∈ Z nên n+1 ∈ Z.
Để A là phân số cần có điều kiện n+1 ≠ 0 hay n ≠-1.
3
1

b) Với n = 0 thì A = = 3
Với n = 10 thì A =

3
3
=

Cho phân số B =

3
2

10n
(n ∈ Z ) .
5n − 3

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
(Câu a: Đề kiểm tra chất lượng HSG môn Toán 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm
học 2013- 2014)
Giải:
Ta có: B =

10n
(10n − 6) + 6 2(5n − 3) + 6
6
=
=
= 2+
5n − 3
5n − 3
5n − 3
5n − 3

Để B là số nguyên thì phải có

6
là số nguyên, tức là 5n-3 phải là ước của 6.


Vì n ∈ Z nên n ∈ { 0; 1; }
Vậy n ∈ { 0; 1; }
Bài tập 3: Tìm số n ∈ Z để phân số

2n + 15
là số nguyên.
n +1

Giải:
Ta có

2n + 15 2(n + 1) + 13
13
= 2+
=
n +1
n +1
n +1

8


Để

2n + 15
13
là số nguyên thì phải có
là số nguyên.
n +1

3

Bài 2: Cho phân số B = (n − 2).(n + 1) ; n ∈ Z .
a) Viết tập hợp M các số nguyên n để phân số B tồn tại.
b) Tìm phân số B biết n = -13; n = 0; n = 13.
c) Với giá trị nào của n thì B là số nguyên.
Bài 3: Cho phân số C =

3n + 1
; n ∈ Z ; n ≠ 3.
n−3

Tìm n để C có giá trị nguyên.
Bài 4: Cho A=

n−2
. tìm các giá trị nguyên của n để :
n+3

a) A là một phân số
9


b) A là một số nguyên
(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011)
Bài 5: Cho phân số B =

4
với n ∈ Z.
n−3


− 5 18
7
;
;
.
36 − 43 − 118

Bài tập 2: Tìm phân số tối giản

a
biết.
b

a. Cộng tử với 4, mẫu với 10 thì giá trị của phân số không đổi.
b. Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số
tăng lên 2 lần.
Giải:
a. Ta có:

a a+4
a 2
=
hay ab + 10a = ab + 4b ⇒ 10a = 4b ⇒ =
b b + 10
b 5

10



a
= 2.
b+b
b

=> (a+b)b = 2b . 2a
=> ab + b2 = 4ab
=> b2 = 3ab
=> b= 3a
Vậy

a 1
=
b 3

Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì những phân số có dạng
21n + 4
là phân số tối giản
14n + 3

Giải:
Vì n ∈ N , nên 21n +4 ∈ N* và 14n+3 ∈ N*.
Do vậy để chứng minh phân số

21n + 4
là phân số tối giản với mọi n ∈ N, ta phải
14n + 3

chứng minh 21n +4 và 14n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN ( 21n + 4, 14n + 3 ) = d (d ∈ N* ).

n + 13 n − 2 + 15
15
=
= 1+
(n ≠ 2)
n−2
n−2
n−2

Để phân số

n + 13
15
là phân số tối giản thì phân số
là phân số tối giản.
n−2
n−2

Muốn vậy 15 và n - 2 phải là 2 số nguyên tố cùng nhau. Vì 15 có 2 ước
khác 1, khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n - 2 không chia hết cho 3 và 5 tức là:
n - 2 ≠ 3k và n - 2 ≠ 5k. Hay n ≠ 3k +2 và n ≠ 5k + 2 (k∈N, k ≠ 0).
* Phương pháp giải:
Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các
giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là
1 thì đó là phân số tối giản.
Để chứng tỏ một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫu
của nó bằng 1(trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương, nếu là số nguyên âm
thì ta xét số đối của nó ). Ngược lại, nếu muốn chứng minh phân số nào chưa tối
giản (hay có thể rút gọn được nữa) ta chứng minh ƯCLN của chúng khác 1.
* Bài tập vân dụng:

15n + 1
.
30n + 1

Bài 5: Cho phân số

n + 19
(n ∈ N )
n+6

a. Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên.
b. Tìm giá trị của n để phân số là tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
A=

8n + 193
4n + 3

a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản.
c. Với 150 < n < 170 thì A rút gọn được.

Dạng 3 : Tổng các phân số viết theo quy luật
Bài tập 1: a) Tính

1 1 1 1 1 1
− ; − ; − .
2 3 3 4 4 5

b) Áp dụng tính: A=

b) A =

1
1
1
+
+
2.3 3.4 4.5

1 1 1 1 1 1
− + − + −
2 3 3 4 4 5
1 1 3
= − =
2 5 10
=

13


Bài tập 2:

Tính tổng B =

2
2
2
2
+
+

7

B =
1
3
1
=
3
=

Bài tập 3: Tính tổng C =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
25.27 27.29 29.31
73.75

Giải:
C =

1
1
1
1
+


* Phương pháp giải:
Với những bài toán có tử và mẫu được viết theo quy luật: Tử không thay đổi
và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở
m

1

1

mẫu sau. Ta dùng công thức: b(b + m) = b − b + m để viết mỗi số hạng thành một
hiệu của hai phân số, số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau, còn lại số
bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng.
2m

Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như b(b + m)(b + 2m) thì ta dùng công
2m

1

1

thức: b(b + m)(b + 2m) = b(b + m) − (b + m)(b + 2m) để viết mỗi số hạng thành một hiệu
của hai phân số.
* Bài tập vận dụng:
14


1


3
4
100 2

(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 20102011)
Bài 4: Chứng minh rằng: C =

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 < 1; (n ∈ N ; n ≥ 2).
2
2
3
4
n

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ; n ≥ 2 ta có:
3
3
3
3
1
+
+
+ ... +


Bài 8:

1
1
1
1
2
8
+ 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A

− x 21
z
6 − x 21
=
= y =
=> =
= y =
8
4
− 80
4
4
− 80

* vì
* vì

3
−x
⇒ − x = 3 ⇒ x = −3
=
4
4
21
3
= y => 3.y = 4.21
4

3.y = 84
y = 84:3

; c=
.
d
a
c
b

+ Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho
thành hai phân số bằng chúng nhưng có tử ( hoặc mẫu ) như nhau. Khi đó, mẫu
( hoặc tử ) của chúng phải bằng nhau, từ đó tìm được số chưa biết.
* Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x cho biết

16


a.

5
x
=
;
12 72

b.

x + 3 −1
=
;
15

−5
4
5
3

Giải:
a) Ta có:

1
−1
=
;
−3 3

vì -1>-2 nên
b)Ta có:

c)Ta có: =

vì

−1 − 2
1
2
〉
; do đó
〉
3
3
−3 −3

〈
nên < .
12 12
3 4

Bài tập 2: So sánh hai phân số

77
84
;
76
83.

Giải:
Ta có

77
1
= 1+ ;
76
76

84
1
= 1+
83
83

Vì


42
1
= 1− ;
42
43

58
1
= 1−
59
59
1

1

42 58
〈
vì 43 〉 59 nên
43 59

Bài tập 4: So sánh hai phân số

18 15
;
31 37

Giải:
Xét phân số trung gian

18

=
= −1 (1)
386 386
386
− 592
1
− 591
+
=
= −1 (2)
591 591 591
1
1
>
386 591

Từ (1); (2); (3) suy ra:

(3)

− 387 − 592


hai phân số, ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử. So sánh
hai phân số này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho.

* Bài tập vận dụng:
Bài 1: So sánh các phân số:
64 73
;
;
85 81
57 63
b)
;
;
67 73
2001.2002 −1
c)
;
2001.2002
219 215
d)
;
;
220 216
− 303 − 516
e)
;
302
515
a)


giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với bộ môn Toán học.
Học sinh yêu thích bộ môn Toán hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm
hiểu các nội dung chuyên đề nâng cao khác trong chương trình bồi dưỡng môn
Toán lớp 6. Chính vì vậy kết quả làm bài của các em tốt hơn nên chất lượng của
đội tuyển HSG cũng có nhiều bước đột phá hơn.

2.2.3.3. Kết quả đạt được của đề tài cụ thể như sau:
Sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kì thi HSG lớp 6 môn Toán cấp
huyện Lệ Thủy năm học 2014-2015, trong đề ra cũng có một câu về phần phân số
( câu 2) và tôi đã khảo sát và thống kê về kết quả chất lượng làm bài của các học
sinh phần này như sau:
Câu 2 phần

SốHS không làm

Số HS làm được

Số HS làm được

phân số

được

từ 0,5 ->1 điểm

từ 1 ->1,5 điểm

(1,5 điểm)

SL

được nhiều thành công hơn nữa.
20


3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài.
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ của từng nhà trường
mà cụ thể là từng nhà quản lí, từng giáo viên giảng dạy. Năng khiếu của học sinh
nếu được phát hiện và bồi dưỡng sớm sẽ định hướng phát triển và dần định hình trở
thành những học sinh giỏi.
Qua những năm bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 6, tôi thấy rằng để giúp HS
hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bị
bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có “nghệ thuật giảng dạy” - phương pháp
giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về phân số cho HS
lớp 6 cần phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản,
cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập phức tạp hơn. Sau
mỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể khai thác thành bài
toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình vân dụng làm được những bài
tập khó hơn.
Việc bồi dưỡng chuyên đề về phân số sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và
kỹ năng giải quyết bài tập trong các kỳ thi HSG cấp huyện, góp phần nâng cao chất
lượng mũi nhọn trong nhà trường.

21


Nói tóm lại việc tìm hiểu và phát hiện học sinh giỏi là công việc quan trọng
của mỗi nhà trường, nhất là giai đoạn hiện nay. Việc bồi dưỡng nhân tài mang tính
chiến lược của ngành Giáo dục và Đào tạo nhằm tạo ra lớp người mới năng động,
sáng tạo, đáp ứng công cuộc đổi mới của nước nhà. Bậc trung học cơ sở là bậc học

3.2.3. Với phụ huynh học sinh
Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con em. Thường xuyên kiểm
tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi với các biện pháp giúp học sinh
giải tốt các bài tập nâng cao phần phân số Toán 6 ở trường THCS.Vì điều kiện thời
gian có hạn và trình độ nâng lực còn hạn chế, đề tài của tôi chắc chắn còn nhiều
thiếu sót. Do vậy tôi mong được sự góp ý của các đồng nghiệp và các phụ trách
chuyên môn .
Tôi xin chân thành cảm ơn.

23


24