MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. Đặt vấn đề

2

2. Giải quyết vấn đề

2

2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề

2

2.2. Thực trạng của vấn đề

3

2.3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

4

2.3.1. Giải pháp chung

4

2.3.2. Một số ứng dụng cụ thể




1. Đặt vấn đề
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài
toán liên quan đến khảo sát hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh
THPT bài toán liên quan đến khảo sát là một trong những bài toán khó vẫn cần
đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp giải.
Trong quá trình dạy giải tích lớp 12 tôi thấy học sinh rất lúng túng khi giải bài
toán liên quan đến khảo sát, đứng trước một bài toán liên quan đến khảo sát học
sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào để làm, đặc biệt là bài
toán có chứ tham số bên cạch đó học sinh còn mắc một số sai lầm mà không
phát hiện ra, nhầm lẫn giưa kiến thức về đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Trong thực tế đa số học sinh giải bài toán liên quan đến khảo sát một cách
hết sức máy móc.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của
học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến. “Một số giải pháp giúp học
sinh có kỹ năng giải bài toán liên quan đến khảo sát”.
2. Giải quyết vấn đề
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
Trong quá trình giảng dạy lớp 12 với chương trình sách giáo khoa mới với
việc tiếp cận với bài toán tính tích phân đặc biệt bài tập sách giáo khoa nhiều
học sinh chỉ làm những bài đơn giản, những học sinh yếu còn không biết xác
định các phương pháp cho một bài toán đơn giản. Do vậy tôi chia dạng bài tập
và với mỗi dạng đưa ra các bài toán tổng quát từ dễ đến khó và phương pháp
giải.
Để đáp ứng được việc thay đổi chương trình sách giáo khoa cần thay đổi
phương pháp giảng dạy. Đặc biệt là đổi mới phương pháp giải bài tập hay
phương pháp giải toán
Ở trường phổ thông đối với học sinh có thể xem việc giải là hình thức
chủ yếu của của hoạt động toán học.

Đối với học sinh khi học về liên qua đến khảo sát cảm thấy rất khó vì nó
có nhiều dạng, m i dạng chia làm nhiều dạng nh đặc biệt nó còn liên quan
nhiều đến kiến thức cũ như dấu tam thức, nhị thức, cách giải phương trình, bất
phương trình, tính đạo hàm ... Nhiều học sinh khi đứng trước một bài toán
không biết mình phải dung các nào để giải. Việc phân tích nhận dạng bài toán
cho học sinh còn yếu.

3


Khi cho học sinh giải các bài toán cụ thể học sinh lại quên phương pháp
ngay, có khi giải sai không biết là mình làm sai.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp chung
Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, gi i cho học sinh tự xây dựng
lời giải cho bài toán tổng quát sau đó đi giải một lớp các bài toán cụ thể nhằm
phát triển tư duy cho học sinh.
Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh và đưa học sinh lời
giải của bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải lớp các bài toán cụ thể.
Một bài toán tổng quát đưa ra nhiều cách giải và mỗi cách giải chỉ ra khả
năng áp dụng, chỉ ra các trường hợp có thể xảy ra.
Trong quá trình tìm tòi cách giải, học sinh biết phân tích nhận dạng hoặc
tìm các kiến thức vận dụng. Tìm các mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán.
Có thể sử dụng hình vẽ để học sinh quan sát tìm ra hướng giải.
Khi tiếp cận với bài toán cần cho học sinh hiểu và nắm vững nội dung
của bài, gợi mở cho học sinh những bài toán quen thuộc có sử dụng phương
pháp giải. Có thể là đặc điểm nhận dạng. Có thể là nguyên nhân để có kết quả và
lời giải của bài toán.
Thực hiện lời giải, kiểm tra quá trình phương pháp vận dụng và các kiến
thức vận dụng.

pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư duy.
Bản đồ tư duy giúp học sinh học học tập một cách tích cực. Một số kết
quả nghiên cứu cho thấy bộ não của con người sẽ hiểu sâu, nhớ lâu và in đậm
cái mà do chính mình tự suy nghĩ, tự viết, vẽ ra theo ngôn ngữ của mình vì vậy
việc sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh học tập một cách tích cực, huy động
tối đa tiềm năng của bộ não. Việc học sinh tự vẽ bản đồ tư duy có ưu điểm là
phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, phát triển năng khiếu hội họa, sở
thích của học sinh, các em tự do chọn màu sắc (xanh, đ , vàng, tím,…), đường
nét (đậm, nhạt, thẳng, cong…), các em tự “sáng tác” nên trên mỗi bản đồ tư duy
thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh và bản đồ tư
duy do các em tự thiết kế nên các em yêu quí, trân trọng “tác phẩm” của mình.
Trên cơ sở đó tôi đã đưa sơ đồ tư duy váo một số tiết dạy cụ thể tôi hay đưa vào

5


dạy ở các tiết ôn tập chương, bài tập và thường yêu cầu học sinh xây dụng bản
đồ tư duy về kiến thức trước ở nhà. Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ về sơ đồ tư
duy khi dạy học sinh có thể nắm kiến thức một cách đơn giản:
Khi bắt đầu dậy một chương giáo viên có thể giới thiệu học sinh nội dung
kiến thức cơ bản của cả chương bằng sơ đồ tư duy. Có thể cho học sinh chuan bị
trước theo sự hướng dẫn của giáo viên cụ thể chương khào sát hàm số có thể
giới thiệu với học sing bằng sơ đồ sau
Hướng dẫn học bằng sơ đồ tư duy giúp học sinh:
Sáng tạo hơn
Ghi nhớ tốt hơn
Có cái nhìn tổng thể về kiến thức
*Sau khi dạy xong bài , để thực hiện ôn tập tôi thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xây dựng sơ đồ tóm tắt các dạng bài tập và phương pháp giải
Sau mỗi bài học lý thuyết tôi đã hướng dẫn học sinh về nhà học theo sơ kiến


a  0

 y '  0

Dạng 3: Để hàm số có độ dài
khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x1;
x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như
sau:
-TXĐ: D = R
-Tính y’.
-Tìm điều kiện để hàm số có khoảng
đồng biến (nghịch biến): a  0 (1)
  0

-Biến đổi x1  x2  d thành
( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2 (2)

-Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành
phương trình theo m.
-Giải phương trình, đối chiếu điều
kiện (1) để chọn nghiệm.

7


2.3.2.2.Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi
giải toánbài toán liên quan đến khảo sat.
Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
a. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

+¥

1

y
- ¥

1

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; + ¥ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x 1, x2
thuộc D,
x1 < x2  f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và
x2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???
Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = ¡ \ {- 1}
Ta có: y ' 

2
 0, x  D
(x  1)2

8


Bng bin thiờn:
x

0 ị f(x) > f(0)
ố 2ứ

ổ pử

Sai lm õy l 0 ẽ ỗỗỗ0; ữữữ.
ố 2ứ
Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn [a; b ] v f
'(x)> 0 vi " x ẻ (a; b)) thỡ vi " x1 , x2 ẻ [a; b ], x1 > x2 ị f (x1 ) > f (x2 )

9


Li gii ỳng l:
ộ pử
Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ờ0; ữữữ.
ờở 2 ứ

Ta cú: f '(x) =

1
- 1 = tan 2 x 0 , " x ẻ
2
cos x

-

1
, x ạ 0 (khi ú y > 0)

Quy tắc:
 y ' > 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 y ' < 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên ¡ .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ .
ïí a > 0
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 , " x Î ¡ Û ïì

ïïî D ' < 0

3 > 0
ïí
Û ïì 2
Û ïïî m - 3 < 0

3< m

số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
ïí f '(0) = 0
ïí 4m.0 = 0
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïì
hệ vô
Û ïì
ïïî f ''(0) < 0

ïïî 12m.0 < 0

nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x

- ¥

+¥

0

+

y'

-
0. Tức là: ïì

cos 2 x

ổ
1 ử
ữ
2 ỗỗcosx +
- 1.
ữ
ữ
ốỗ
cosx ứ

Mt s hc sinh trỡnh by nh sau:
t t = cosx +

1
1
= t2 - 2.
ị cos 2 x +
2
cosx
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 - 4, " t ẻ Ă
Vy min f (x) = - 4 , khi t = - 1.
Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng. Giỏ tr nh
nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă .
Cú th thy ngay khi t = - 1 thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx +

1


khi v ch khi cosx = 1
Khi ú: cos 2 x +

1
= t2 - 2.
2
cos x

Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - 3.

Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t 2 ):
13


t

- ¥

-2

g '(t) -

-

-1
0

+¥


-

Û cosx +

2

1
=- 2
cosx

Û cosx = - 1

Û x = p + k 2p , k Î ¢
g. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 7:
Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
y

(C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = - 3x2 + 6x.
Ta có điểm A(-1;4) Î đồ thị (C).
suy ra phương trình tiếp tuyến là:

x

y = f '(-1).(x+1)+4 Û y = - 9(x + 1) + 4
Û y = - 9x - 5 .

2


éx = 2, k =
ïí x3 - 3x - 2 = 0
ê
Hệ (I) Û ïì
Û
2
ïï k = - 3x + 6x
î

0
êëx = - 1, k = - 9

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = - 9x - 5.
2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách
giải đối với từng dạng.
Bài toán 1 : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0). Tìm m để hàm
số thỏa mãn một số tính chất sau:
a  0
 y '  0

Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì y '  0, x   

a  0

Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì y '  0, x   
 y '  0
Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x 1;
x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:
- TXĐ: D = R

 x1  x 2  k

2. Nếu (d) là đường thẳng x = k thì ycbt  

 k  x1  x 2

3.

Nếu

(d)

là

đường

thẳng

ax

+

by

+

c

=


Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta
thực hiện các bước sau:
- TXĐ: D 

 b' 
\  
 a' 

- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0  g ( x)  Ax 2  Bx  C  0

(*)

- Hàm số có cực đại, cực tiểu  Pt(*) có hai nghiệm phân biệt khác 

b'
a'


A  0

(**)
   0

b'
 g ( )  0
a'

- Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số th a mãn hệ:
 ax 2  bx  c '
 f '( x)  0

'
x

b
')

y

a'x  b'

Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng th a mãn phương trình
y

2ax  b
a'

- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số có dạng y 

2ax  b
a'

Dạng 14: Để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
(d): y = mx + n, (m  0).
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1)
- Lập phương trình đường thẳng () đi qua 2 điểm cực trị

17


3. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục
hoành:

4. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành:
.

5. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành:

a  0

  y '  0

 yCĐ . yCT  0

a  0
  0
 y'

 yCĐ  yCT  0
 y .y  0
 CĐ CT
a  0
  0
 y'

 yCĐ  yCT  0
 y .y  0
 CĐ CT

a  0

 CĐ

9. Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên trái trục tung:

a  0
  0
 y'

 xCĐ .xCT  0
x  x  0
CT
 CĐ

10. Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh:

 yCĐ . yCT  0

Bài tốn 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). PTTT tại M ( x0 ; y0 )  (C ) có
dạng: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0
*Dạng 1: Tiếp tuyến thường gặp:
PTTT của (C) tại điểm có hồnh độ x0:

y  f(x 0 )
Ta đi tìm:  0
 PTTT cần tìm là : y  f '(x 0 )(x  x 0 )  y 0
f
'(x
)

0



PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b:

19


Ta i tỡm:
x 0 baống caựch Gpt :f '(x 0 ) a

PTTT can tỡm laứ : y f '(x 0 )(x x 0 ) y 0


y

f(x
)

0
0


PTTT ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = ax + b:
Ta i tỡm:

x 0 baống caựch Gpt : a.f '(x 0 ) 1
PTTT can tỡm laứ : y f '(x 0 )(x x 0 ) y 0


y

* Dng 3: Tỡm A, t A k c n tip tuyn ti th y = f(x) (C).
Phng phỏp:
- Gi s A(x0; y0)
- Phng trỡnh ng thng i qua A(x0; y0) v cú h s gúc k cú dng (d): y =
k(x-x0) + y0

f(x) k(x x 0 ) y 0 (1)
- ng thng (d) tip xỳc (C)
cú nghim.
f
'(x)

k
(2)



- Thay (2) vo (1) ta c:

f(x) = f(x)(x - x0) + y0

(3)

S nghim ca phng trỡnh (3) l s tip tuyn k t A ti (C).

Vy t A k c n tip tuyn ti th (C) (3) cú n nghim phõn bit
im A(nu cú).

* Dng 4: Vit PTTT ca th hm s y = f(x) (C) i qua im A(x0; y0).
20

f
'(x
)

0


2.4. Hiệu quả của sang kiến
Kết quả kháo sát 2 lớp 12A1 và 12A3 năm học 2013-2014 khi chưa
áp dụng giải pháp tôi đã nghiên cứu bài kiểm tra có kết quả như sau.
Lớp

Số lượng

Gi i

Khá

TB

Yếu

Kém

SL %

SL %

SL %


0

4

14,8 10

37

33,4 4

14,8

9

Sau dó tôi đã bắt đầu nghiên cứu và đưa vào áp dụng thì kết quả như sau:
. Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tăng
tiết. Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương I trên các đối tượng lớp 12A3 (27 học
sinh) ; 12A1 (27học sinh) như sau.
Lớp

Số lượng

Gi i

Khá

TB

Yếu


12A3

27

3

11,2 10

37

44,4 2

7.4

0

0

12

Nhận thấy kết quả số học sinh khá, gi i tăng lên nhiều và số học sinh đạt
điểm yếu, kém giảm đi rõ rệt so với năm học trước mà hai lớp có học lực ngang

21


nhau. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu
bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó

Tài liệu tham khảo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Bài tập giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Sách giáo viên giải tích nâng cao 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Giải tích 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Bài tập Giải tích 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Sách giáo viên Giải tích 12 – Nhà xuất bản Giáo dục
Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục phổ thông – Môn Toán - Nhà
xuất bản Giáo dục.

23