Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
Chơng IiI: Bất đẳng thức Và Bất PHƯƠNG TRìNH
1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
I. Mục tiêu:
1.Về kiến thức :
- Hiểu khái niệm bất đẳng thức.
- Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức.
- Nắm đợc các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
- Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm.
- Nắm đợc bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm.
2.Về kỹ năng:
- Chứng minh đợc một số BĐT đơn giản bằng cách áp dụng các bất đẳng thức nêu trong bài học.
- Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến.
II. Chuẩn bị của GV và HS:
1. GV: - Bài tập
2. HS: - Ôn lại khái niệm bất đẳng thức và một số tính chất của bất đẳng thức ở các lớp dới.
III. Tiến trình bài học:
1. Tổ chức lớp
- ổn định tổ chức lớp và kiểm tra sĩ số
2. Tiến trình bài mới
A. Phân phối thời l ợng
Tiết 1: Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức.
Tiết 2: BĐT về giá trị tuyệt đối và Bất đẳng thức giữa TB cộng và TB nhân (đối với hai số không
âm).
Tiết 3: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (đối với ba số không âm).
B. Nội dung bài học
1. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức
Định nghĩa
Cho hai số thực a và b
Các mệnh đề
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
a) <
b) >
c) =
d) >
Gợi ý trả lời câu hỏi 3
1
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
đẳng thức luôn luôn đúng hay không?
Các mệnh đề
" ";" ";" ";" "a b a b a b a b
> <
đợc gọi là những bất đẳng thức.
Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai
Tính chất của bất đẳng thức
- Tính chất bắc cầu
- Tính chất cộng hai vế của BĐT với cùng một biểu thức số
- Tính chất nhân hai vế của BĐT với cùng một biểu thức dơng (âm)
3) Bất đẳng thức với các phép toán
QT1: Phép cộng
QT2: Phép nhân
QT3: Phép nâng lên luỹ thừa
QT4: Phép khai căn
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1
Tính chất 1 gọi là cộng hai bất đẳng thức cùng
chiều. Trừ hai bất đẳng thức cùng chiều có đúng
2
1 1 3 1 3
1 2. ( ) 0
2 2 4 2 4
x x x x x + = + + = + >
Gợi ý trả lời câu hỏi 3
2
a b c
p a b c a
+ +
= > + >
(luôn đúng)
C. Hớng dẫn bài tập về nhà
Học lại bài.
Làm bài tập 1, 3, 4, 5, 6, 7(SGK-109, 110)
2
*
3 3
; ;
;
0; 0 ;
0; ;
0 ;
.
n n
a b c d a c b d
a c b a b c
a b c d ac bd
a b n a b
a b a b
+ + < < <
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực
, ,a b c
.
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
)
) 3 2( )
) ( )
) ( ) 3( )
a a b c ab bc ca
b a b c a b c
c a b c d e a b c d e
d a b c a b c
+ + + +
+ + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
Bài 3: a) Chứng minh rằng, nếu
0; 0a b
> >
thì
1 1 4
a b a b
+
+
b) Chứng minh rằng
+ + + +
Bài 5: a) Chứng minh rằng với bốn số thực
, , ,a b c d
ta có
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ab cd a c b d+ + +
Đẳng thức xảy ra khi
ad bc
=
.(BĐT Bunhiacôpxki cho 4 số)
b) Tơng tự hãy nêu BĐT Bunhiacôpxki cho 6 số, cho 2n số)
Bài 6: Chứng minh rằng với
,a b R
thì
2 2
4 4 3 3
5 5 4 4
) 0
)
) ( , )
a a ab b
b a b a b ab
c a b a b ab a b R
+
+ +
+ +
+ +
Bài 7: Chứng minh rằng
3
.........?x a>
(với
0a >
)
Câu hỏi 3
Chứng minh BĐT
( , )a b a b a b R+ +
Sử dụng BĐT vừa chứng minh và đẳng
thức
( )a a b b= + +
để chứng minh
BĐT
a b a b
+
.
Chứng minh
( , )a b a b a b R +
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
; 0
; 0
a a
a
a a
=
2 2 2
2 2 2 2
( ) 2
2 2
a b a b a b a ab b
a ab b a ab b ab ab
+ + + + +
+ + + +
2) Ta có
( )a a b b a b b a b b= + + + + = + +
Do đó
a b a b +
.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (BĐT CôSi)
a) Đối với hai số không âm
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1
Hãy phát biểu định lý trên thành lời?
Chú ý hai số phải không âm
Câu hỏi 2
Hãy chứng minh bđt CôSi
Câu hỏi 3
Cho H 4.1:
;AH a BH b= =
Hãy tính đoạn
;OD HC
theo &a b .Từ đó suy ra
BĐT giữa TB cộng và TB nhân.
(CM bằng PP hình học).
Gợi ý trả lời câu hỏi 4
( ) ( ) ( ) 2 . 2 . 2 . 6
a b b c c a a b b c c a
c a b c c a a b b
a c b a b c a c b a b c
c a a b c b c a a b c b
+ + +
+ + = + + + + +
= + + + + + + +
b) Đối với ba số không âm
4
( , )a b a b a b a b R + +
(*)
0; 0 2 .
2
a b
a b ab
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
3
0; 0; 0 3
3
a b c
a b c abc
Câu hỏi 1 Giải các bất phơng trình
Chú ý khi chia cho số âm phải đổi dấu của BPT.
Câu hỏi 2
Biểu diễn tập nghiệm bằng các k/h khoảng hoặc đoạn
GV: Tập nghiệm của BPT có nhiều dạng khác nhau.
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
) 4; ) 1 1a x b x<
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
[ ]
) ( ; 4); ) 1;1 .a S b S= =
2. Bất ph ơng trình t ơng đ ơng :
+) Định nghĩa: (SGK-114)
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x< <
Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
2
) 2> 2 0
)( 1) 1 1 1
a x x x x
b x x
+ >
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1
Điều kiện của các bất phơng trình thứ nhất?
Câu hỏi 2
Các khẳng định đúng hay sai? Vì sao?
- Biết cách giải và biện luận bất phơng trình dạng
0ax b+ <
.
- Có kỹ năng thành thạo trong việc biểu diễn tập nghiệm của BPT bậc nhất một ẩn trên trục số và giải
và biện luận hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
- Tiếp tục củng cố kỹ năng xác định hợp và giao của các khoảng, đoạn, nửa khoảng đã cho.
Trọng tâm: Giải và biện luận bất phơng trình bậc nhất một ẩn chứa tham số.
II. Chuẩn bị của GV và HS:
1. GV:
2. HS: - Ôn lại giải và biện luận phơng trình bậc nhất một ẩn chứa tham số
- Ôn lại các kỹ năng XĐ hợp giao của các khoảng, đoạn, nửa khoảng đã cho càng thành thạo càng
tốt.
III. Tiến trình bài học:
A. Phân phối thời l ợng
Tiết 1: Mục Giải và biện luận bất phơng trình dạng
0ax b+ <
.
Tiết 2: Mục Giải hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
B. Kiểm tra bài cũ
Giải và biện luận phơng trình sau:
2
1 .mx x m+ = +
Kết luận
C. Nội dung bài mới:
GV yêu cầu HS làm H1 Cho bất phơng trình
( 1)mx m m +
a) Giải bất phơng trình với
2m =
b) Giải bất phơng trình với
trình phụ thuộc vào tham số đó.
7
* 1m
Tập nghiệm cuả (2) là
{ }
1S m= +
* 1m =
Tập nghiệm cuả (2) là
S R=
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
Việc tìm tập nghiệm của một bất phơng trình tuỳ theo các giá trị của tham số gọi là giải và biện luận
bất phơng trình đó.
1. Giải và biện luận bất phơng trình dạng
0ax b+ <
.
a.Bảng tóm tắt
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1
Khi chia hai vế của BPT cho cùng một số
âm thì phải đổi chiều của BPT. Điều này dẫn
đến khi giải và biện luận ta phải xét mấy t/h
của a?
Câu hỏi 2
Trong mỗi trờng hợp hãy kết luận về tập
nghiệm của bất phơng trình.
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Xét 3 trờng hợp
0; 0; 0a a a< > =
* 1m =
Tập nghiệm cuả bpt là
S R=* 1m
>
Tập nghiệm cuả bpt là
( )
; 1S m= +
* 1m
<
Tập nghiệm cuả bpt là
( )
1;S m= + +
Gợi ý CH3:
* 1m =
Tập nghiệm cuả bpt là
S R
=* 1m
>
Tập nghiệm cuả bpt là
(
]
; 1S m= +
a a
a b S b S R
+ < <
> = > = +
ữ ữ
= + = + < =
Gi¸o ¸n §¹i Sè 10
********************************************************************************************************
[
)
(
]
2) * 0: ; ;
* 0 : ; ;
* 0 : .
m S m
m S m
m S R
> = +∞
< = −∞
= =
2
3) * 1: ; ;
1
2
* 1: ; ;
1) 2 3 0 2) 3 5 0 3) 1 0x x x + + >
Kết luận
-
+
+
+
]
[
(
0
0
0
-
5
3
3
2
-1
Ví dụ 1: Giải hệ bất phơng trình:
2 3 0
3 5 0
1 0
x
x
x
B B= khi nào? 2x - 5 = 5- 2x khi nào?
+) Phát biểu lại y/c bài toán? Giải bài toán?
Gợi ý trả lời câu hỏi 1
0
(
+
3
2
]
-
[
-
5
3
-1
1 2 3
3
1;
2
S S S S
= =
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
( )
1
2
3
3
1) ; ;
2
5
2) ; ;
3
3) 1; .
S
S
S
=
= +
ữ
2 ;S m= +
Tập nghiệm của (4) là
( )
2
;1S =
Gợi ý CH2 : +)
1
2 1 :
2
m m < >
-2
m
+
1
)
-
[
Tập nghiệm của hệ là
[
)
2 ;1S m=
+)
1
2 1 :
2
m m
[
) * 2 : ; ;
2
8
* 2 : ; ;
2
* 2 : .
m
a m S
m
m
m S
m
m S
+
> = +
ữ
++
< =
ữ
+
= =
(
]
[
+
+
< =
+
= = Bài 29 (SGK-121)
4
5
5 4
5
4
) )
7 13
4 5
44 19
2
26
26 28 5 11 5
3
) )
28
3 5 2 5 2
11
>
< < < <<
Bài 30 (SGK-121)
1
)
2
3
x
a
m
x
>
+
<
x
a
m
x
>
+
Hệ BPT vô nghiệm khi và chỉ khi
5 4 7
3 15 8 .
2 3 3
m
m m
+
+
12
Gi¸o ¸n §¹i Sè 10
*******************************************************************************************************
8
13
)
2 8
5
- Biết cách lập bảng xét dấu để giải các phơng trình, bất phơng trình một ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II. Tiến trình bài học:
A. Phân phối thời l ợng
Bài này dạy trong 1 tiết
B. Nội dung bài học
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
Giải mỗi bất phơng trình sau và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
1. 2 3 0 2. 3 8 0x x
> +
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Giao nhiệm vụ cho HS
Gọi 1 HS lên bảng
Kiểm tra bài cũ của các HS khác
Thông qua kiến thức cũ chuẩn bị bài mới.
Giải bất phơng trình nh đã học ở bài trớc
Hoạt động 2: Nhị thức bậc nhất và dấu của nó
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó
a) Nhị thức bậc nhất:
( ) ( 0)f x ax b a= +
a) Dấu của nhị thức bậc nhất.
Bảng xét dấu
x
b
a
-1
-2
y
x
y=ax+b
-
b
a
O
a > 0 a < 0
Sử dụng trục số:
Nếu 0a >
Nếu
0a <
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1
Vế trái của mỗi bất phơng trình trên đợc gọi
là một nhị thức bậc nhất. Hãy nêu định nghĩa
nhị thức bậc nhất?
Gợi ý trả lời HĐTP1
Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng ax b+ trong đó
hai số
,a b
cho trớc và 0a .
Gợi ý trả lời HĐTP2
15
( ) 0f x ax b
= + <
( ) 0f x ax b
= + >
af x a x a
a
= +
Xét dấu
( ) 0; ( ) 0af x af x> <
Biểu diễn trên trục số
Kết luận
Nhận xét
Minh hoạ bằng đồ thị
Gợi ý trả lời HĐTP3,4
Tìm nghiệm:
( ) 0
b
f x x
a
= =
Phân tích thành tích
2
( ) ( ) ( )
b
af x a ax b a x
a
= + = +
Xét dấu
HĐ3: Rèn luyện kỹ năng và củng cố định lý qua bài tập
Xét dấu của các biểu thức
2
2
1)2 5 2)(3 2)(2 ) 3) 3 4
1 3
b b
af x x x
a a
b b
af x x x
a a
> + > >
< + < <
Giáo án Đại Số 10
*******************************************************************************************************
GV: Hớng dẫn và kiểm tra việc thực hiện các bớc xét dấu nhị thức bậc nhất đợc học của HS
Tìm nghiệm
Lập bảng xét dấu
Kết luận
Chú ý:
Sắp xếp các nghiệm đúng thứ tự trên trục số là rất quan trọng
(khoảng cách giữa chúng không cần theo tỉ lệ nào cả, miễn là việc ghi các dấu
" "+
hay
" "
đ-
ợc thuận tiện)
Các dấu " " chỉ có ý nghĩa dóng cho thẳng cột, ngoài ra nó không mang một nội dung
nào khác. Chỉ trừ khi biểu thức ở cột trái không xác định thì ta sử dụng dấu " "
Sau khi lập bảng xét dấu, cần chú ý việc chọn khoảng thích hợp để kết luận về dấu của
biểu thức.
2 2 1 2
) ( ) 0 +) ( ) ( ) ( )
k k k
ax b x R ax b ax b ax b
4 3
x
x x x
x
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Gọi 2 HS lên bảng
Kiểm tra bài cũ của các HS khác
Giải bất phơng trình nh đã học ở bài trớc
Thông qua kiến thức cũ chuẩn bị bài mới.
Bài 36c(127 ) +) Hớng dẫn HS phân tích thành nhân tử
+) Xét dấu hệ số a bằng cách lập bảng xét dấu
+) Kết luận
2 2
*) 1: *) 1 1: ( ; 1) *) 1 1: ( 1; )m S m m S m m S m= = < > = + < < = + +
2 3 5 3 1
) ( ; 1) ; ) 0; 3;
3 4 2 1 2
1 3 ( 8) 1 1
) ; (4; ) ) 0; ; 0;
3 2 (3 1)(2 1) 3 2
x
a S c S
x
x x
b S d S
x x
a m S m b m S m
m S m S
+
< = + < = +
ữ
ữ
+
= = + = = +
ữ ữ
ữ ữ
Bài 38 (127)
( )
(
( )
2 2 3 1
* : ; ; . * : ; 3 2 1;
2 2 2
m S m m S m
+
> = + > = +
ữ
ữ
14
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
1 1
1 2
7 1
; 5 ) ;1 (3; ).
2 2
7 1 1
) : . : ;1 (3;
2 2 2
S b S
a m S S S m S= = +
ữ
ữ
= = = +
ữ
*
* *
:
Bài 41 (SGK-127)
[
)
Bài 39 (SGK-127)
{ } { }
) 4;5;6;7;8;9;10;11 . ) 1a S b S= =
5. Bpt và hệ bpt bậc nhất hai ẩn
I. Mục tiêu: Hiểu khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của nó.
- Biết cách xác định miền nghiệm của bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Biết cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính đơn giản.
II. Chuẩn bị của GV và HS:
1. GV: Bảng vẽ sẵn hình 4.7 dùng cách tô màu cho nổi bật miền tứ giác ABCD và giá
trị của T(x; y) tại các đỉnh đó. Phấn màu, thớc thẳng.
2. HS: Thớc thẳng; bút màu.
III. Tiến trình bài học:
3. Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn
a) Định nghĩa: (SGK-128)
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi : Định nghĩa bpt bậc nhất hai ẩn?
Nghiệm của bpt bậc nhất hai ẩn?
Câu hỏi 2 (Hoạt động nhận dạng)
Xét xem các bpt sau có phải là bpt bậc nhất hai
ẩn không? Xét xem
(0;0)
có phải là nghiệm của
mỗi bpt sau không?
1)2 3 6 0 3) 2 0
2) 0 4)3 8
5)( 2)( 1) 0
x y x
x y y
y
x
2x-3y+6=0
O
-3
2
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một nửa mp
(không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ thoả
mãn bpt
2 3 6 0x y + <
(1). Một nửa mp (không
kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ thoả mãn bpt
2 3 6 0x y + >
(2).
Lấy một điểm bất kì không thuộc vào d (GV có
thể gợi ý cho HS lấy điểm O(0;0)). Cho biết
điểm O là một nghiệm của BPT (1) hay (2)?
GV: Khi đó nửa mp (không kể bờ d) chứa điểm
O chính là miền nghiệm của BPT (2).
Câu hỏi 3
Cho biết miền nghiệm của bất phơng trình (1)?
Miền nghiệm của bpt
2 3 6 0x y +
(3) và bpt
2 3 6 0x y +
(4)?
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
Điểm O là một nghiệm của bất phơng trình (2).
8
3
2
3y-8=0
x -2=0
x + y = 0
1
O
M(1;0)
GV: Miền không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phơng trình
0
2 0
3 8
x y
x
y
+
>
H2 Xác định miền nghiệm của hệ bất phơng trình
16
-5 5
6
4
2
C. Hớng dẫn công việc về nhà:
- Học lại bài
- Làm bài tập 42, 43 (SGK-132) 48, 49, 50 (SBT-110)
17
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
3. Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế:
GV: Vấn đề tìm nghiệm của hệ bất phơng trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến Quy hoạch
tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Sau đây là một ví dụ
đơn giản.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Yêu cầu một HS thực hiện HĐ1
Câu hỏi 1
Giả sử cần x tấn nguyên liệu loại I và y
tấn nguyên liệu loại II . Gọi T là tổng số tiền
mua nguyên liệu. Viết các bất phơng trình
biểu thị các điều kiện của bài toán thành một
hệ bất phơng trình. Biểu diễn T theo x và y.
Câu hỏi 2
Bài toán này dẫn đến 2 bt nhỏ (SGK-132).
Xác định miền nghiệm của hệ (I)
-nTóm tắt Chiết xuất ít nhất 140 kg chất A,
9 kg chất B;
Mỗi tấn loại I giá 4 tr chiết xuất đợc:
20 kg chất A
0,6 kg chất B
Mỗi tấn loại II giá 3 tr chiết xuất đợc:
10 kg chất A
1,5 kg chất B
? tấn mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu ít nhất, biết
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
Bài toán 1: Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ
độ (x; y) thoả mãn hệ (I)
Bài toán 2: Trong tất cả các điểm thuộc (S) ,
tìm điểm (x; y) sao cho
( ; )T x y
có giá trị nhỏ
nhất.
Miền nghiệm của hệ (I)
là miền tứ giác ABCD trên hình (kể cả biên)
GV: Để giải bài toán 2 ta thừa nhận rằng biểu thức
( ; ) 4 3T x y x y= +
có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy
đạt đợc tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD
(xem thêm bài đọc thêm trang 133).
18
12
10
8
6
4
2
5 10 15 20
y
x
2
4
9
6
14
C D
Gợi ý trả lời câu hỏi 2
(5;4) 32 (10;2) 46
5
(10;9) 67 ( ;9) 37
2
T T
T T
= =
= =
Ta đợc
(5;4) 32T =
là giá trị nhỏ nhất
Vậy để chi phí nguyên liệu ít nhất cần sử dụng: 5 tấn
nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II.
Củng cố: Yêu cầu HS tơng tự làm bài 44(SGK-133)
Gợi ý:
a)
0 1,6
0 1,1
4 3 4,5
2 2
x
y
x y
x y
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0.5 1 1.5 2 2. 5
y
x
1
0,7
x+2y=2
4x+3y=4,5
x=1,6
21,6
1,125
0,6
1,5
1,1
y=1,1
O
D
A
B
C
Giáo án Đại Số 10
********************************************************************************************************
Luyện tập
I. Mục tiêu:
- Biết xác định miền nghiệm của bất phơng trình và hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Giải đợc bài tập quy hoạch tuyến tính đơn giản.
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
(1+ 3)x-(1- 3)y-2=0
O
Bài 46(SGK-135)
a) Miền nghiệm là miền không bị gạch b) Miền nghiệm là miền không bị gạch
có kể đoạn thẳng AB và không kể tia At và Bu có kể cả biên.
Bài 47(SGK-135)
Miền nghiệm (S) là miền tam giác ABC có kể biên, trong đó toạ độ các đỉnh là:
2 2 7 8
; , (4;1), ;
3 3 3 3
A B C
ữ ữ
19
-5 5
6
4
2
-6
y
x
2x+
3
2
y-6=0
3
x
-2
y
-6=0
O
2
4
A
3
-3
Copyright: Tài liệu đại học ©