Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

1

Phần 1
BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Phần 1. BẤT ĐẲNG THỨC. GTLT - GTNN ............................................. 1
Chủ đề 1. BẤT ĐẲNG THỨC ..................................................................... 2
Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ................ 5
Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .............. 10
Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ................ 17
Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S.................................... 19
Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ ................................ 21
Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ........................................... 23
Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội .............................................. 25
Dạng 8. Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT .................................... 28
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức ......................................... 30
Chủ đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ..................... 35
Dạng 1. Dùng tam thức bậc hai............................................................. 35
Dạng 2. Dùng BĐT Cauchy ................................................................... 37
Dạng 3. Dùng BĐT C.B.S ....................................................................... 41
Dạng 4. Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối ..................................... 43
Dạng 5. Dùng tọa độ vectơ .................................................................... 44
Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN ......................................... 45
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 ................................................................. 49
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 ......................................................... 55


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình


c 0, c > 0
Nâng lên lũy
thừa với n 



a  b
 ac bd
c  d
0  a  b
  ac  bd
0  c  d

(4)
(5)

Mũ lẻ


1 1

a b
1 1
ab 
a b
ab

(8a)
(8b)

 Lưu ý:
 Không có qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.
 Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.
 Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.
2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác:


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

3

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:
 a b  c  a b
 a, b, c  0




bc  a  bc

 2 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
2

 Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì
tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a + b = S không đổi thì:

S2
S2
2 ab  S  ab 
 (ab) Max 
, đạt được khi a = b
4
4
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi
thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
 Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì
tổng của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
Tức là với hai số dương a, b có a. b = P không đổi thì:
a  b  2 P  (a  b) M in  2 P , đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện
tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

4


 ...  n .
b1 b2
bn

 Dạng 2:

a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
Dấu “=” xảy ra 

a1 a2
a
  ...  n .
b1 b2
bn

 Dạng 3:

a1b1  a2b2  ...  anbn  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 )
Dấu “=” xảy ra 

a1 a2
a

 ...  n  0 .
b1 b2
bn

 Hệ quả:
 Nếu a1x1  a2 x2  ...  an xn  c là hằng số thì:
x

  ...  n  0
a1 a2
an

max(a1 x1  a2 x2  ...  an xn )   c a12  a22  ...  an2


x
x1 x2
  ...  n  0
a1 a2
an

 Trường hợp đặc biệt:
Cho a, b, x, y là những số thực, ta có:
 Dạng 1: (ax  by)2  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
Dấu “=”

a b
 .
x y

 Dạng 2: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
a b
Dấu “=”  .
x y
 Dạng 3: ax  by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 ) .
Dấu “=”

a b


② a2  b2  1  ab  a  b
a ac
a
④ Nếu  1 thì 
b bc
b

⑤ a3  b3  a 2b  b2 a  ab(a  b)
⑥

a 2  x2  b2  y 2  (a  b)2  ( x  y)2

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

② a 2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

a2
 b2  c 2  ab  ac  2bc
4
④ a4  b4  c2  1  2a(a 2b  a  c  1)
③

⑤ a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a 2 )  6abc
⑥ a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e)
1 1 1
1
1
1


⑦   
, với a, b, c  0
a b c
ab
bc
ca
⑧ a  b  c  ab  bc  ca , với a, b, c  0
1.2

Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh các bất đẳng thức sau:


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình


⑦
, với a, b  1


2
2
1  a 1  b 1  ab
⑧ (a5  b5 )(a  b)  (a 4  b4 )(a 2  b2 ) , với ab  0
⑤ a 4  b4 

1.3

Cho a, b, c, d , e . Chứng minh a 2  b2  2ab (1). Áp dụng bất
đẳng thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
① (a 2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc
② (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d 2  4)  256abcd
③ a4  b4  c4  d 4  4abcd

1.4

Cho a, b, c  . Chứng minh a 2  b2  c 2  ab  bc  ca (2). Áp
dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh các bất đẳng thức sau:
① (a  b  c)  3(a 2  b2  c 2 )

② a 4  b4  c4  abc(a  b  c)

③ (a  b  c)  3(ab  bc  ca)

a 2  b2  c 2  a  b  c 



Cho a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng: nếu


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

9

a
b
c


2
ab bc ca
a
b
c
d
② 1



2
a bc bcd cd a d a b
ab
bc
cd
d a
③ 2

1
, a, b, c  0
 3 3
 3

3
3
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
1
1
1
 3 3
 3
 1 , với abc  1
3
3
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
1
1
1


 1 , với a, b, c  0 và abc  1
a  b 1 b  c 1 c  a 1
3

4  a3  b3   3 4  b3  c3   3 4  c3  a3   2(a  b  c) ,

a, b, c  0



Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

10

Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các dạng của bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):


 x  y  2 xy ①
 Với x, y  0 thì 
. Dấu “=” xảy ra khi x  y .
2
2

 x  y  2 xy ②
 Với x, y 

 x  y 2
 xy ③

thì  2 
.Dấu “=” xảy ra khi x  y .

2
( x  y )  4 xy ④


...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

11

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo
VD 1.3 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

Dạng 1:

12

1 1
1 1
4
   4 hay  
(1)
x y x y
x y

 x  y

Dấu “=” xảy ra khi x = y
Dạng 2:

1 1 1

1
1
1
1
1




 2


②

ab bc ca
 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 
 a, b, c  0
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và
ngược lại:
1.8

Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a 2  b2  2ab
1 1 1
③ ( a  b  c)      9
a b c

② (a  b)(1  ab)  4ab
1 1

a b c d a bcd



a b



8

 64ab(a  b)2

⑩ (a  b)(b  c)(c  a)  8abc

a4
 2, a  3
a3

⑫

 2 2(a  b) ab

Cho a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
① a  b  c  ab  bc  ca
② ab  bc  ca  abc
③



a b c


a 3 b3 c 3
   abc
b2 c 2 a 2

①

a 2 b2 c 2
   abc
b c a

③

a 3 b3 c 3 a 2 b 2 c 2
a 3 b3 c 3





 
 abc
④
b2 c 2 a 2 b c a
bc ca ab

⑤

a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca

 2  a  
a2  1
1
 3  a  b  0 
④ a
a ( a  b)

②


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

15

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):
1.12 Cho a, b  0 . Chứng minh

1 1
4
(1). Áp dụng bất đẳng
 
a b ab

thức (1) để chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c  0 :
①

1 1 1
1
1 
 1

1
1


 1 với    4
2a  b  c a  2b  c a  b  2c
a b c

④

ab
bc
ca
a bc



ab bc ca
2

1.13 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1 1


 2   

  (a  b  c)  a, b, c  0 
 ab bc ca  2
x
y
z
3


  x  y  z  0; x  y  z  1
③
x 1 y 1 z 1 4
1
1
1
 2
 2
 9  a, b, c  0 
a  2bc b  2ac c  2ab
1
1
1 1
    30  a, b, c  0 
⑤ 2
2
2
a  b  c ab bc ca

④

2


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4
a  2 x  y  z  0

HD: Đặt b  x  2 y  z  0
c  x  y  2 z  0


16


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

17

Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thực chất bất đẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất
đẳng thức Bunhiacôpski mà ở đây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất
đẳng thức cộng mẫu số.
1. Cho a, b  và x, y  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ hai

 a b 
số: 
;
,
 x y 




 x

y
x
y
x y
y
 x


(1)
2. Cho a, b, c  và x, y, z  0 . Áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho bộ

 a b c 
ba số: 
;
,
,
 x y z 







x , y , z ta được:


abc



VD 1.6 Chứng minh:
, với a, b, c  0
bc ca a b
2
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

18

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................


a
b
c
9



④
, với a, b, c  0
2
2
2
(b  c) (c  a) (a  c)
4(a  b  c)
③

⑤

a2
b2
c2


 1 , với a, b, c  0 và a  b  c  3 .
a  2b2 b  2c 2 c  2a 2

1.18 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
①

a2

1
②
2a  bc 2b  ac 2c  ab

①


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

19

Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cho a, b, c, x, y, z 

Cho a, b, x, y 

① (ax  by)  (a  b )( x  y ) ❶
(ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x2  y 2  z 2 )
a b

a b c
Dấu “=”xảy ra khi x y
 
Dấu “=”xảy ra khi x y z
2

②

Dấu “=” xảy ra khi x y
  0
x
y z
Dấu “=” xảy ra khi

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.7 Chứng minh rằng nếu x  y  1 thì 3x  4 y  5
2

2

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................


Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình

20

...................................................................................................................................................


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

21

Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. a  ( x; y)  a  x 2  y 2
2. AB 

 xB  xA    yB  yA 
2

2

3. AB  BC  AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C.
4. u  v  u  v  u  v , dấu “=” xảy ra khi u , v cùng hướng
5. u  v  w  u  v  w , dấu “=” xảy ra khi u , v , w cùng hướng
6. u.v  u . v

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.8 CMR:

(a  c)2  b2  (a  c)2  b2  2 a 2  b2 , với a, b, c 

...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................


④ 1  x2  x  1  x2  x  1  1 , với x 
⑤

c(a  c)  c(b  c)  ab , với a  c  0, b  c

22


Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn)

23

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.  x  x  x , với mọi số thực x
2. x  0; x  x; x   x , với mọi số thực x
3. x  a  a  x  a với a  0
4. x  a  x  a hoặc x  a với a  0

a  b  ab  a  b
5. Định lí: a, b ta có:

B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.9 Với các số a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:

① ab  a  b


a b
1 a  b



a
1 a



b
1 b

② a b  b c  a c
④

ab
1 a  b



ab
1 a  b

1.25 Chứng minh rằng:
① a  2 a  b với a  2 b

② Nếu x  y  0 thì

x

pháp
chung
để
tính
tổng
hữu
hạn
Sn  a1  a2  a3  an là cố gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của
S n dưới dạng hiệu 2 số hạng liên tiếp nhau ak  mk – mk 1 . Khi
đó:
Sn   m1 – m2    m2 – m3    mn – mn1   m1 – mn1
 Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn  a1.a2 .a3. an là cố
gắng biểu diễn mỗi nhân tử ak của Pn dưới dạng thương 2 số
m
hạng liên tiếp nhau ak  k . Khi đó:
mk 1
m
m m
m
Pn  1  2   n  1
m2 m3
mn1 mn1

2. Ví dụ:
① CMR:

Ta có :

1
1