Bài tập Nguyên hàm & Tích phân
Mục lục
SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP ...................................... 2
PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ........................................................ 4
PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN .......................... 6
PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ .................................................. 8
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ ............................................................. 9
TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC ................................................. 11
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ .............................................................. 14
1
SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP
Bài 1:
2
4 3
1
x
dx
x
1
Bài 16:
Bài 2:
Bài 18:
Bài 4:
5 xdx
2 x 1
2
1 x ln x x 1
dx
2
0
x 1
Bài 19:
2 x2 1
dx
1 2 x( x 2 1)
Bài 20:
1 e 2 x e x . ln(e x 1) 1
dx
1 cos x
0
1 x 2 dx
0 ( x 1) 3
1 e 3 x dx
x
0 e 1
Bài 22:
3 dx
2 x 2 ( x 1)
4
2 x 2 x 1 1dx
1
x2 1
1
(3x 2 3)dx
0 ( x 2 1)( x 2 3x 1)
2
0 (2 sin x cos x)
Bài 24:
3
sin 2 xdx
0 2 sin 2 x 3 cos 2 x
Bài 25:
1 1
2 x
ln
dx
1 4 x 2 2 x
Bài 26:
3
sin 3x cos xdx
0
Bài 27:
Bài
15:
3 2 x x 2 x ln(1 x )
dx
2 x (1 x )
1
Bài 46:
6
dx
0 1 sin 2 x
Bài 34:
4 1 cos 2 x
dx
sin 2 x
6
Bài 48:
0
x3 1
Bài 37:
1 ( x 4 1)dx
0 x6 1
Bài 52:
Bài 38:
1 x
1 ln(1 x 2 ) dx
2
0 x 1
6 (4 cos 2 x 3) cos xdx
0
(1 sin 3x) 2
2
cos x sin x dx
sin x e
4 ln(tan x)
dx
sin 2 x
6
8x 4
1
Bài 54:
Bài 41:
6 (2 cos 2 x 1)dx
1 sin 2 x
0
Bài
Bài 35:
Bài 33:
3
2
tan x 2 cot x dx
4
Bài 32:
4
sin 2 x(cos 4 x sin x)dx
0
Bài 30:
Bài 31:
4 sin x 1 tan x
3
2 sin xdx
0 cos x sin x
6
4
cos xdx
0
Bài 42:
Bài 58:
Bài 45:
Bài 59:
Bài 60:
2
4
cos x1 sin x dx
0
x
cos 3x cos x. sin dx
2
0
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Bài 1:
3
dx
2 x x2 1
Bài 2:
2 x3 x 2 1
dx
x4 x2 1
1
1 5
2 4x3 x 2 2x 1
dx
1
x4 x2 1
Bài 4:
3
dx
1 x x2 1
Bài 21:
Bài 5:
2 x3 x 2 2
dx
1
x4 4
Bài 22:
2 5
dx
0 cos x cos x 6
Bài 8:
2 2 x 1dx
0 x2 4
Bài 9:
Bài 10:
3 ( x 1)dx
1 4 x2
2
2
x 1
dx
2
x 1
4
Bài 25:
3
Bài 28:
4 sin 3 xdx
1 cos x
4
7 33
2
x 1 x dx
0
1 (2 x 2)dx
0 x 2 3x 2
cos x
4 3 cos x sin xdx
e
0
Bài 29:
Bài 32:
1 x 3dx
0 ( x 1) 4
Bài 33:
ln 3 dx
0 ex 1
Bài 13:
Bài 16:
4 3
2
sin x tan x cos xdx
0
Bài 17:
4
2 sin x
4 dx
0 cos 6 x
Bài 36:
2
2 2
2
sin 2 x 1 sin x 1 cos x dx
0
Bài 37:
Bài 38:
Bài 39:
Bài 40:
2 sin 2 x cos x
dx
x
1
Bài 54:
e3 1 ln x . ln x
dx
x
1
e
Bài 55:
e 1 ln x . ln 2 x
dx
x
1
e
Bài 56:
2 x 2 3 dx
3 3 x x3 1
2
x3
dx
1 1 x2 1
Bài 57:
Bài 42:
2
2
cos 2 x. sin xdx
0
Bài 58:
4 3 2 x dx
0 1 3 2x 2
Bài 59:
2 x 1
dx
0 x2 4
2
2
n
(1 sin x) cos xdx (n N )
0
Bài 44:
Bài 45:
Bài 46:
Bài 47:
x
dx
01 sin x
2
sin x
cos x.e dx
0
Bài 61:
2
3
x sin xdx
2 sin xdx
0 sin x cos x
2
sin 2 x cos x 2 sin x dx
0
PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
2 x cos x
dx
sin 2 x
4
e 2
ln xdx
1
1 x
x.4 dx
0
Bài 4:
4
x ln xdx
1
Bài 5:
1 2x
x.e dx
0
2 2
x sin xdx
2
Bài 6:
Bài 7:
(2 x 1). sin xdx
0
Bài 25:
4
2
x tan xdx
0
Bài 26:
2
2
(2 x 1) ln( x x 2)dx
1
e
2
x ln xdx
1
Bài 27:
Bài 11:
3
x log 3 xdx
0
Bài 30:
4 ln(cos x)
dx
sin 2 x
6
1 2 x
x .e dx
0
Bài 31:
2 x
e sin xdx
0
Bài 32:
1
2
1 x2
dx
x. ln
0
1 x2
2
x cos xdx
0
Bài 8:
7
Bài 16:
Bài 17:
1
1
dx
0 2 2
x 1
e
sin(ln x)dx
1
6
Bài 43:
Bài 37:
Bài 38:
3 ln(cos x)
dx
0 cos 2 x
1 x.e x
dx
0 x 12
Bài 44:
Bài 45:
Bài 39:
1 x2
dx
0 x2 1
Bài 46:
4 e tgx . sin x
dx
0 cos 3 x
3
Bài 47:
Bài 41:
2 sin x
sin 2 xdx
e
0
Bài 48:
e1
2
x. ln(`1 x )dx
0
Bài 49:
ln 4
x
2x
2e e xdx
và I-J
2
sin n xdx
I=
n
n
0 cos x sin x
Bài 1:
2
cos n xdx
J=
n
n
0 cos x sin x
và
6 cos 2 xdx
e sin xdx
0
Bài 8:
2 sin xdx
0 sin x cos x
Bài 4:
x sin xdx
0
Bài 5:
2
2
Bài
Bài 10:
a x m +a x m-1 +...+a1x+a 0
f(x) = P(x) = m n m-1 n-1
;(am,bn 0)
Q(x) b x +b x +...+b x+b
n
n-1
1
0
Khi m n thì chia P(x) cho Q(x) để đƣợc tổng của một đa thức với một phân thức
thực sự (phân thức đúng).
Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng.
Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích đƣợc thành tích những thừa
số là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những
thừa số trùng nhau Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức
cơ bản sau :
Dạng I:
A
2 ... A
1
x a (x a)2
Q (x ) (x a) (x b ) (x 2 px q ) (x 2 lx s )
(x a)
B
B
B
M 1x N1 ... M x N P1x Q1 ... P x Q
1
2 ...
x b (x b )2
(x 2 lx s )
(x 2 px q ) x 2 lx s
(x b ) x 2 px q
.
Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
Dạng A dx A ln x a c .
x a
Dạng
A dx A (x a)k d (x a) A (x a)k 1 c
k 1
dt
ta có : Ik =
1 (t a ) t dt 1
2
2
2
2
k
2
2
2
k
a
a
(t a )
(t a2 )k 1
(t a )
1
t
1I
I
1 t . 2tdt
a2 k 1 2a2(k 1) (t 2 a2 )k 1 k 1
(2 x 1)dx
1 x 2 2 x 2
(3x 4)dx
2
2
0 ( x 1)
2
Bài 1:
1
Bài 8:
Bài 9:
3x 2 3x 3
2 x 3 3x 2 dx
x2 x 1
2 ( x 1) 3 dx
2
3
1
x 3 dx
0 x 8 2
6 2
2
1
Bài 12:
1
2 3 1
Bài 6:
3
(2 x 3x 3)dx
( x 1)( x 2 2 x 5)
Bài 13:
dx
1) 2
1
14:
x2 a
Dạng tổng quát :
dx
x 4 bx 2 a 2
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
PHƢƠNG PHÁP
A) Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx.
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là F(sinx;cosx) = F(sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì
đặt t = cosx.
Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì
đặt t = sinx.
sin 2 x
2
;
sin 2 x
1 cos 2 x
2
cos 2 x
;
1 cos 2 x
2
Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và
cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C) Tích phân dạng : cos ax. cos bxdx ;
sin ax. cos bxdx
;
sin ax.sin bxdx
Dùng công thức lƣợng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:
a
thƣờng gặp : xf (sin x)dx (sin x)dx )
20
0
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = x )
Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì
b
b f ( x)dx 1 b
f ( x)dx f ( x)dx . Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
x
b a 1 2 b
0
b
12
dx
Bài 2:
Bài 3:
2
dx
sin 4 x
6
Bài 15:
Bài 16:
4 4
tg xdx
0
Bài 17:
Bài 9:
Bài 21:
Bài 22:
Bài 23:
3 1 sin x
dx
1
sin
x
0
Bài 24:
2 (1 cos x)dx
sin x
2 x 2 cos x
x 1 dx
Bài 26:
3
4 sin 4 x cos 4 x
dx
3x 1
4
Bài 13:
dx
01 sin 2 x
6
Bài 12:
x sin x
2
3
2
2
(sin x sin x) cos xdx
0
Bài 8:
2 4 sin 3 xdx
0 1 cos x
Bài 6:
2
dx
0 1 sin x cos x
Bài 4:
dx
2 4 cos 3 xdx
0 1 sin x
Bài 33:
sin x cos 3 x
4
Bài 28:
4
sin x
dx
0 cos x 1 sin 2 x
x sin x
dx
0 7 cos 2 x
cos x cos 3xdx
0
Bài 37:
2 (sin x cos x 1)dx
0 sin x 2 cos x 3
Bài 38:
x 6 sin 3 x
1 x 2 1 dx
Bài 31:
x sin x
1
2 2
sin x cos 4 xdx
0
Bài 32:
2
dx
Cách giải : Đổi biến số t = n
.
cx d
3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F x, ax 2 bx c dx
Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t =
Cách giải thứ hai : Biến đổi
ax 2 bx c .
ax 2 bx c theo một trong ba kết quả sau :
ax 2 bx c =
A2 u 2
14
(1)
t
2
2
Cách giải : Đổi biến số t =
(x )
(mx n) ax 2 bx c
2
dx .
1
mx n
Bài 1:
81 4 x 8 x
dx
1 x(4 x 1)
3
dx
1 x x2 1
1
Bài 4:
Bài 5:
3
dx
1 x 2x 2 2x 1
Bài 9:
1
2
17
dx
10 ( x 2) x 2 4 x 5
Bài 10:
Bài 27:
Bài 11:
3
1 5
2
x 1 x dx
0
3 2
2
x 3 x dx
0
0
Bài 29:
1
dx
2x x 2
3
Bài 30:
0
15
x
1
2 xdx
x2 1
3
Bài 15:
Bài 16:
Bài 32:
1 xdx
0 4 x4
2
2
Bài 33:
1 x 2 dx
0 4 x6
na
2
Tổng quát :
1
2
2 3
3
1
Bài 22:
5
1
x 2 1dx
x3
Bài 23:
3 1 x 2 dx
1
x2
Bài 24:
1
Bài 26:
1 xdx
0 2 4x
x 2 1dx
x
Bài 21:
Bài 34:
dùng công thức sau để giải quyết :
3
1 x 2 dx
x6
1
Bài 20:
x
Copyright: Tài liệu đại học ©