SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HẢI DƯƠNG

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 − 3x (1) và đường thẳng (∆ ) : y = 2mx − 2 (với m là tham số).
Tìm m để đường thẳng (∆) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ
độ).
2x + 3
có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = −2 x + m . Chứng minh rằng d cắt
x+2
(C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi k1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp

2) Cho hàm số y =

tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = ( k1 ) 2013 + ( k 2 ) 2013 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)




1
+
+
+
+ ... +
1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010!
2014.2013!.0!

5

u1 = 2
 n 1
 ∑
(
n
∈
N
*)
lim
2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: 
. Tìm
1
2
 k =1 u k
u = u − u + 2
n
+
1
n
n

……………..Hết………………..
Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: …………………........
Chữ ký của giám thị 1:………………………….Chữ ký của giám thị 2:.....................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HẢI DƯƠNG

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
(Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối
đa)
Câu

Nội dung

Điể
m

I1

1) Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 − 3x (1) và đường thẳng (∆ ) : y = 2mx − 2 (với m là tham

Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), B( x1;2mx1 − 2), C( x2 ;2mx2 − 2) , trong đó x1 ; x 2
là nghiệm phương trình (2) nên x1 + x 2 = −2m − 1, x1x 2 = −2

0,25

2
1
Tam giác OBC có diện tích S = BC.d . Trong đó d = d(O; ∆) =
2
1+4m 2
BC 2 = ( x2 − x1 ) 2 + (2mx2 − 2mx1 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2  ( 4m 2 + 1)
2
⇒ BC = ( 2m + 1) + 8 ( 4m 2 + 1)



⇒S=

( 2m + 1)

2

+8

0,25


I2
1,0đ


0,25

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là
k1 =

1
1
, k2 =
, trong đó x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
2
( x1 + 1)
( x 2 + 1) 2

0,25
k1 .k 2 =

1

( x1 + 2) ( x 2 + 2)
2

2

=

1

( x1 x 2 + 2 x1 + 2 x 2 + 4) 2

= 4 (k1>0, k2>0)


PT(1) ⇔ 2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)

0,25

⇔ (cosx – sinx). [ (cos x + sin x)(sin 2 x + cos 2 x) + 2] = 0

*) cos x − sin x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
4

0,25


*) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0 ⇔ cosx + sin3x + 2 = 0 (2)
cos x = −1
⇔ hệ vô nghiệm.
sin 3 x = −1

0,25

*) Vì cos x ≥ −1; sin 3 x ≥ −1, ∀x nên (2) ⇔ 
π
Vậy PT có nghiệm là: x = + kπ (k ∈ Z )
4

II2
1,0đ

⇔ 3 y + 3 y (3 y ) + 1 =
2

1
x

+

0,25
2

 1 

 + 1 (3)
x  x

1

Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t. t 2 + 1 , t > 0.
t2 +1 +

Ta có: f’(t) = 1 +

t2
t 2 +1

>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)

1
 1 

1,0đ

1) Rút gọn biểu thức:
S=

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
+ ... +
1.0!.2013! 2.1!.2012! 3.2!.2011! 4.3!.2010!
(k + 1).k!.(2013 − k )!
2014.2013!.0!
2013
Ck
1
⇒ S .2013! = ∑ 2013
k = 0 ( k + 1).k!.(2013 − k )!
k =0 k + 1

2013

+) Ta có: S = ∑



III2
1,0đ

(

0,25

)

1
2 2014 − 1
2 2014 − 1 ⇒ S =
2014
2014!

0,25

5

u1 = 2
 n 1
(n ∈ N *) . Tìm lim ∑
2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: 
 k =1 u k
u = 1 u 2 − u + 2
n
 n +1 2 n



1
1
1
1
1
1
−
=
⇔
=
−
( ∀n ∈ N * )
u n − 2 u n u n +1 − 2
u n u n − 2 u n +1 − 2
n

+) Do đó:

1

∑u
k =1

k

=

 n 1
1
1

Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam
giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) theo a .
S

Dùng ĐL Cosin tính được:

S
N

0,25

MN = 2a 3

A
C

A
N

M

H

M

B

AM= 2a 2 , AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc ∠ASC = 600) ⇒ tam 0,25
giác AMN vuông tại A.
Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A. 0,25

1,5đ

đoạn CD sao cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.
+) Đặt

BM
DN
= x , với 0 ≤ x ≤ 1 ⇒
= x . Khi đó ta có: BM = x.BA và DN = x.DC
BA
DC

+) Ta có: DN = x.DC ⇔ BN − BD = x( BC − BD) ⇔ BN = x.BC + (1 − x).BD

0,25

0,25

Do đó: MN = BN − BM = x.BC + (1 − x).BD − x.BA
+) MN2 = x 2 a 2 + (1 − x) 2 a 2 + x 2 a 2 + 2 x(1 − x)

a2
a2
a2
− 2 x 2 . − 2 x(1 − x)
2
2
2

0,25

x8 + y8
y8 + z8
z 8 + x8
+
+
≥8
x4 + y4 + x2 y2 y4 + z 4 + y2 z 2 z4 + x4 + z2 x2

+) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8
Do ab ≤

0,25

a2 + b2
3(a 2 + b 2 )
nên a 2 + b 2 + ab ≤
Dấu“=”có ⇔ a=b
2
2

a4 + b4
a4 + b4
a4 + b4
1
≥
≥ (a 2 + b 2 )
+) Ta có: a 2 + b 2 + ab 3 2
.
Ta
sẽ

b4 + c4
1
≥ (b 2 + c 2 ) Dấu“=”có ⇔ b=c
2
2
b + c + bc 3
c4 + a4
1
≥ (c 2 + a 2 ) Dấu“=”có ⇔ c=a
2
2
c + a + ca 3

Cộng các vế các BĐT trên ta được:
a4 + b4
b4 + c4
c4 + a4
2
+
+
≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) (2) Dấu“=”có ⇔ a=b=c
2
2
2
2
2
2
a + b + ab b + c + bc c + a + ca 3

0,25

2
x
+
3x
−
13x
−
15
=
−

3 y
y
b) Giải hệ phương trình: 
 2
2 2
 y + 4 = 5y (x + 2x + 2)

(x, y ∈ ¡ ) .

Câu 2 (4,0 điểm).

2014

u1 = 2013
a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 
2
2u
 n +1 = u n + 2u n , ∀n ∈ ¥ *
1

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8.
Chứng minh rằng với mọi k ∈ ¥ *, ta có:
a2

k

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 )...(a 2

k −1

+ b2

k −1

+

b2

k

) (b + c)(b 2 + c 2 )(b 4 + c 4 )...(b 2

k −1

+ c2

k −1

+


Câu 1.
a) Giải PT: 3x − 2 − x + 1 = 2x 2 − x − 3 (1)
+ Điều kiện: x ≥

2
3

(*). Khi đó:

Câu 2.

4.0

2.5

2014
, 2u n +1 = u n2 + 2u n , ∀n ∈ N *
a) u1 =
2013

2.0

0.2
5

2x − 3
= (2x − 3)(x + 1)
(1) ⇔
3x − 2 + x + 1
(2)

5
0.2
5
0.2
5

b)

Giải

hệ

PT

8 8
 3
2
 x + 3x − 13x − 15 = 3 − y
y

 2
2 2
 y + 4 = 5y (x + 2x + 2)

+ Điều kiện: y ≠ 0 (*). Khi đó:

Với mọi k ∈ N*, ta có :

uk
1

⇒ (un) tăng
Giả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại
giới hạn hữu hạn: limun = a (a ≥ 1).
⇒ 2a=a2 + 2a ⇒ a = 0. Mâu thuẫn với
a≥1
⇒ limun = +∞ ⇒ lim(1/ u n +1 ) = 0 .
Vậy: limSn = 1/ u1 = 2013 / 2014 .

0.2
5
0.2
5
0.5

0.2
5
0.2
5

(I):
2.5
0.2
5

b) f(3x – y + α) = 3f(x) – f(y),
∀x,y∈R (1)

2.0

3x '− y '

(I) ⇔ 
1 + 4 = 5[(x + 1) 2 + 1]
 y2


0.2
5

(

a(a 2 − 16) = b b 2 − 4


1 + b 2 = 5(a 2 + 1)
a 3 − b3 = 16a − 4b
⇔  2
2
 b − 5a = 4 (1)

b

0.2
5

4b

⇔ a = 0 hoặc a = − 3 hoặc a = 7
+ Thay a = 0 vào (1) được b 2 = 4 và tìm
được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1).
b

Vì g liên tục trên R nên:
g(x) = ax, ∀x∈R, với g(1) = a (a tùy
ý)
⇒ f(x) = ax + b, ∀x∈R (4) (với a, b tùy
ý)
Thay (4) vào (1) ta được: b = aα
Vậy f(x) = ax + aα, với a tùy ý.

0.2
5
0.2
5

31 2
b = 4 (vô nghiệm).
49

Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = 0
và:

⇒

0.2
5
0.2
5

∀x,y∈R

0.2


1 

⇒ f  2 x − 2 y ÷ = 2 f ( x ) − 2 f ( y ) ,∀x,y∈R (3)

1 
3
3 
 1 
g  x − y ÷ = g  x ÷+ g  − y ÷ ,∀x,y∈R
2 
2
2 
 2 

0.2
5
0.2
5

0.2
5
0.2
5
0.2
5

Kết luận đúng.

0.2

b b
c c

 MA.GA MB.GB MA.GC 
+
+
÷
a.GA
b.GB
c.GC 

⇒ T = 2 

 MA.GA MB.GB MA.GC 
= 3
+
+
÷
b.mc
c.m c 
 a.m a
1
1
a.ma = a 2b 2 + 2c2 − a 2 =
3a 2 (2b 2 + 2c 2 − a 2 )
2
2 3
⇒ a.m a ≤

a 2 + b 2 + c2


(2) ⇔ (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) = c2 (3)
Từ (1) và (3) suy ra:
(2) ⇔ a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)
⇔ 4b2 – 2(a + 1)b + a2 – a = 0 (4)
∆’ = (a + 1)2 – 4(a2 – a) = –3a2 + 6a + 1
(4) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
⇔ 3a2 – 6a ≤ 1 ⇔ 3(a – 1)2 ≤ 4
⇔ a = 1 hoặc a = 2 (vì a ∈ N*)
+ a = 1 ⇒ b = 1, c = 3
+ a = 2 ⇒ b = 1, c = 4
Vậy (a;b;c) =(1;1;3) hoặc (a;b;c) =(2;1;4)

MA.GA + MB.GB + MC.GC ≥ MA.GA + MB.GB + MC.GC
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
= (MG + GA)GA + (MG + GB)GB + (MG + GC)GC

4
a 2 + b2 + c2
= GA 2 + GB2 + GC 2 = (m a2 + m 2b + m c2 ) =
(2)
9
3

Đẳnguuuu
thức
xảy ra
r uuur
uuur uuur
⇔ MA, GA cùng hướng, MB, GB cùng

Ta có: f(a + b) – f(a) =
= a n [(a+b) n − a n ] + a n −1[(a+b) n −1 − a n −1]+...+a1b
= a n b[(a+b)n −1 + a(a+b) n − 2 +...+a n − 2 (a + b) + a n −1 ]

0.2
5
0.2
5
0.2
5
0.2
5
0.2
5
0.2
5
0.2
5
0.2
5
1.0

0.2
5

+a n −1b[(a+b) n − 2 + a(a+b) n −3 +...+a n −3 (a + b) + a n −2 ]
+...+a1b

Suy ra: f(a + b) – f(a) chia hết cho b
Mà f(a+b) chia hết cho b nên f(a) chia hết


k −1

c2

+

k

) (b + c)(b 2 + c 2 )...(b 2

2k

k −1
k −1
(c + a)(c 2 + a 2 )...(c 2
+ a2 )

k −1

+ c2

k −1

)

0.5

.



k

) (b + c)(b 2 + c2 )...(b 2

k −1

+ c2

k −1

k

(c + a)(c 2 + a 2 )...(c 2

k −1

+ a2

k −1

)

0.2
5

)

Ta có:
2(a2 + b2) ≥ (a + b)2

k −1

+ b2

k −1

≥
)

a+b
2k

Tương tự với các số hạng khác của P+Q,
suy ra:
⇒P≥

a+ b b+ c c+ a
2P ≥
+
+
2k
2k
2k
a +b+c
2k

≥

33 abc
2k


G
O
E

x

B(0 ; –b), C(0 ; b)
Giả sử A(x0 ; y0) (x0 ≠

0)
B

0.2
5

Ta có: G(x0/3; y0/3)
Tọa độ điểm H là

nghệm
của hệ phương trình:
 y = y0

 x 0 x + (y 0 − b)(y + b) = 0
2
 b 2 −y 0

⇒H 
; y0 ÷
 x0

lớp đất cứng phía trên...
Tôi muốn nở ra những cánh hoa dịu dàng như dấu hiệu chào đón mùa xuân... Tôi
muốn cảm nhận sự ấm áp của ánh mặt trời và thưởng thức những giọt sương mai đọng trên
cành lá.
Và rồi hạt mầm mọc lên.
Hạt mầm thứ hai bảo:
- Tôi sợ lắm. Nếu bén những nhánh rễ vào lòng đất sâu bên dưới, tôi không biết sẽ gặp
phải điều gì ở nơi tối tăm đó. Và giả như những chồi non của tôi có mọc ra, đám côn trùng sẽ
kéo đến và nuốt ngay lấy chúng. Một ngày nào đó, nếu những bông hoa của tôi có thể nở ra
được thì bọn trẻ con cũng sẽ vặt lấy mà đùa nghịch thôi. Không, tốt hơn hết là tôi nên nằm ở
đây cho đến khi cảm thấy thật an toàn đã.
Và rồi hạt mầm nằm im và chờ đợi.
Một ngày nọ, một chú gà đi loanh quanh trong vườn tìm thức ăn, thấy hạt mầm nằm lạc
lõng trên mặt đất bèn mổ ngay lập tức.
(THẢO NGUYÊN, Nguồn: Hạt giống tâm hồn - Từ những
điều bình dị - First News và NXB Tổng hợp TPHCM phối
hợp ấn hành)
Suy nghĩ của anh (chị) về vấn đề đặt ra trong câu chuyện trên?
Câu 2 (7,0 điểm)
Bàn về lao động nghệ thuật của nhà văn, Mác-xen Pruxt cho rằng:
“Một cuộc thám hiểm thực sự không phải ở chỗ cần một vùng đất mới mà cần một đôi
mắt mới”.
Anh (chị) hiểu ý kiến trên như thế nào? Bằng hiểu biết về truyện ngắn “Chí Phèo” của
Nam Cao và bài thơ “Tây Tiến” của Quang Dũng, hãy làm rõ quan niệm nghệ thuật của Mácxen Pruxt.


...............................Hết..............................

Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:.................
Chữ ký giám thị 1:.................................Chữ ký giám thị 2:.....................

Điểm tối
đa

1.

Giới thiệu câu chuyện và quan niệm sống tích cực mà truyện gợi 0,25 đ
ra: Sống phải có ước mơ cao đẹp, dám đương đầu với những khó
khăn thử thách để thực hiện ước mơ.

2.

Giải thích

0,5đ


- Tóm tắt thật ngắn gọn truyện: Hạt mầm thứ nhất muốn lớn lên,
bén rễ, đâm chồi nảy lộc, nở hoa dịu dàng nên đã mọc lên. Hạt
mầm thứ hai sợ đất sâu tối tăm, sợ chồi non bị côn trùng nuốt, sợ
trẻ con vặt hoa nên nằm im, chờ đợi, kết cục bị gà mổ tức khắc.
- Mượn câu chuyện hai hạt mầm, tác giả đã nêu lên và khẳng
định một quan niệm nhân sinh đúng đắn, tích cực: Con người
sống phải có ước mơ (mong muốn những điều tốt đẹp trong
tương lai), dám đối đầu với khó khăn để biến ước mơ thành hiện
thực và tỏa sáng. Sống không có ước mơ, hèn nhát, sợ hãi, thụ
động... chỉ nhận được sự thất bại, thậm chí bị hủy diệt.
3

Lí giải vấn đề


- Biểu dương những người có ước mơ, có nghị lực vươn lên. Phê
phán những người sống không có ước mơ, thụ động, ngại khó
ngại khổ, không có ý chí, nghị lực.

0,75đ


(dẫn chứng minh họa)
5

Liên hệ rút ra bài học về nhận thức và hành động.

0,25 đ

* Ghi chú: Nếu học sinh có ý kiến ngoài hướng dẫn nhưng có những kiến giải hợp lý,
thuyết phục thì giám khảo vẫn đánh giá, cho điểm (không vượt quá điểm tối đa của từng
phần).
Câu 2 (7,0 điểm)
a. Về kĩ năng
- Biết cách làm bài văn nghị luận văn học, bố cục rõ ràng, sử dụng linh hoạt các thao tác
lập luận: giải thích, phân tích, chứng minh, bình luận...
- Văn viết mạch lạc, trong sáng, có cảm xúc, không mắc lỗi chính tả, dùng từ, đặt câu.
b. Về kiến thức
Học sinh có thể trình bày theo nhiều cách khác nhau nhưng cần đảm bảo các nội dung cơ
bản sau:
Nội dung

Điểm

1

sáng tạo của nhà văn và giá trị của tác phẩm càng độc đáo, càng cao. Vì
thế, coi trọng vai trò quyết định của“đôi mắt mới” nhưng cũng không
nên phủ nhận ý nghĩa của“vùng đất mới” trong thực tiễn sáng tác.
+ Để có cái nhìn và cách cảm thụ độc đáo nhà văn phải bám sát vào
hiện thực đời sống; trau dồi tài năng, bản lĩnh (sự tinh tế, sắc sảo...); bồi
dưỡng tâm hồn (tấm lòng, tình cảm đẹp với con người và cuộc đời...);
xác lập một tư tưởng, quan điểm đúng đắn, tiến bộ.
(Trong quá trình bàn luận có thể lấy dẫn chứng minh họa)
4.

Phân tích, chứng minh

4,5đ

- Truyện ngắn “Chí Phèo” của Nam Cao

2,0đ

+ Đề tài: Cuộc sống của người nông dân nghèo Việt Nam thời kì
trước Cách mạng tháng Tám. Đây là đề tài quen thuộc, được nhiều nhà
văn khai thác và đã xây dựng được những hình tượng điển hình như
trong: Tắt đèn (Ngô Tất Tố), Bước đường cùng (Nguyễn Công Hoan),...
+ Cũng viết về cuộc sống của người nông dân thời kì trước Cách
mạng tháng Tám, Nam Cao không chỉ đề cập đến nỗi khổ đau về vật chất
của người nông dân mà còn xoáy sâu vào bi kịch tinh thần đau đớn: Bi
kịch bị tha hóa, bị cự tuyệt quyền sống làm người lương thiện.
+ Nhà văn trân trọng phát hiện phẩm chất tốt đẹp của con người.
Khẳng định bản chất lương thiện của con người không bao giờ mất đi
cho dù họ có bị hủy hoại và tàn phá cả nhân hình lẫn nhân tính...
- Bài thơ “Tây Tiến” của Quang Dũng

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi :

ĐỀ CHÍNH THỨC

NGỮ VĂN

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 02/10/2013

Câu 1 (8 điểm)
Trình bày suy nghĩ của anh/chị về quan niệm sống thể hiện trong các câu sau:
- Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm
(trích Giục giã - Xuân Diệu)
- Sống tung sóng gió thanh cao mới
Sống mạnh dù trong một phút giây
(trích Đi - Tố Hữu)
- Sống trong đời sống cần có một tấm lòng.
(trích Để gió cuốn đi (ca từ) - Trịnh Công Sơn)
Câu 2 (12 điểm)
Có nhận định rằng: Văn chương không có gì riêng sẽ không là gì cả.
Anh/chị hiểu như thế nào về ý kiến trên ?
Hãy phân tích bài thơ Sóng của Xuân Quỳnh để làm sáng tỏ ý kiến đó.
--------------------- HẾT --------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

II.Yêu cầu về kiến thức:
Cần hiểu đúng ý tưởng của các câu trích ; cũng như dẫn ra được những dẫn chứng thực
tế để bảo vệ cho lập luận của mình. Học sinh có quyền đưa ra những ý kiến riêng. Điều
quan trọng là cách hiểu và cách bàn luận phải xuất phát từ ý tưởng được dẫn trên đề và phải
phù hợp với chuẩn mực đạo đức chung của xã hội cũng như có sự hợp lí về lập luận.
Bài làm cần thiết đảm bảo định hướng chính sau:
1. Giải thích vấn đề:
3.
0
- So sánh làm nổi bật quan niệm sống, khát vọng sống tích cực: phải hướng đến một đời 1.