GIO N S: 01

Thi gian thc hin: 3 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI: KHễNG GIAN VECTOR V CC PHẫP TON TRấN VECTOR;
H VECTOR Độc lập tuyến tính và hệ vector phụ thuộc tuyến tính
I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- hiu c th no l mt khụng gian vector. Nhn bit c mt khụng gian
vector
- T ú khỏi quỏt lờn c mt khụng gian vector n chiu.
- V nm c cỏc phộp toỏn trờn vector cú th bin i c.
- Kiểm tra đợc một hệ vector khi nào là độc lập tuyến tính khi nào là phụ thuộc
tuyến tính.
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..
- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:

+ Phộp nhõn: K.V ---> V(phộp nhõn mt s vi mt
vector

(

ur
ur
k , a k

)

Sao cho hai phộp toỏn ny tho món 8 iu kin sau:
1


T1:
T2:
T3:
T4:

ur ur ur ur
ur ur
+ = + ;
, V
ur ur r ur ur r
uu
r uu
rr
+ + = + + ; , , V
ur

V

(

)

(

(

)

- HS lng nghe ghi
chộp bi

)

T5:
( )
T6:
T7:
T8:
Khi ú V cựng hai phộp toỏn cng v nhõn (V, +, *) l mt
khụng gian vector trờn trng K, hay gi l K_khụng gian
vector V.
- T nh ngha khụng gian vector khỏi quỏt lờn nờu nh
ngha khụng gian vector n chiu.
+ Cho trng K , n 1 . Xột tớch cỏc:
K n = { x = ( x1 , x2 ,K , xn ) | xi R, i = 1, 2,K , n} , vi hai phộp
toỏn cng v phộp toỏn nhõn


II. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ
phụ thuộc tuyến tính
- Xõy dng cỏc phộp
1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính.
toỏn trờn khụng gian
vector
2


Định nghĩa
Cho K_không gian vectơ V

r r
a, Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 ... n V là một
biểu thức dạng:

r

n


i =1

i

i

r
r

mt h vector khi no
thỡ LTT

c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ
phụ thuộc tuyến tính)
r
r
* Hệ vectơ (1 ,...., n ) đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính
nếuhệ thức
r
r
r
r
11 + 2 2 + ... + n n = 0 chỉ xảy ra khi và chỉ khi
- T ú suy ra mt h
1 = 2 = n = 0
vector khi no thỡ
r
r
* Hệ vectơ (1 ,...., n ) đợc gọi là hệ vectơ phụ thuộc PTTT
tuyến tính nếu hệ vectơ đó không độc lập tuyến tính .
Ví dụ
Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ 3 vectơ :
r
r
r
1 = (2,0), 2 = (0,4), 3 = (4,4)
r r
thì hệ (1 , 2 ) là hệ vectơ độc lập tuyến tính vì :
- HS da vo cỏc

b, Hệ gồm 1 vectơ ( ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính s tớnh cht ca h
r r.
vector
khi và chỉ khi
=0
- HS chỳ ý lng nghe
3


r
r
c, Với n >1 hệ n vectơ (1 ,...., n ) là hệ vectơ phụ thuộc - Gv ỳc kt li
tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó biểu thị tuyến tính
qua các vectơ còn lại của hệ.
d, Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ
vectơ độc lập tuyến tính.
r
r
Ví dụ : Giả sử hệ vectơ (1 ,...., n ) độc lập tuyến tính
r
r
thì hệ vectơ con (1 ,...., n i ) là độc lập tuyến tính , với i =
1,2,..n-1.

V. Tng kt bi:
- Nm chc nh ngha v khụng gian vctor. Khỏi quỏt lờn nh ngha khụng gian
vector n chiu
- Nm cỏc phộp toỏn trờn vector, kim tra c mt h vector khi no LTT, khi no
PTTT
VI.

r
r r
r
r r r
r
c, 1 = 1 , 2 = 1 + 2 ,..., n = 1 + 2 + ... + n mà hệ ( 1 , 2 ,..., n ) độc lập tuyến tính.
VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

4


GIO N S: 02

Thi gian thc hin: 5 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI:
MA TRN
I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Hiu c th no l mt ma trn. Nm c cỏc dng ca ma trn
- Lm c cỏc phộp toỏn trờn ma trn
- Tớnh c nh thc ca ma trn
II. n nh lp:


ữ
a 21 a 22 L a 2n ữ
(1)
M
M L
Mữ

ữ
a m1 a m2 L a mn
đợc gọi là một ma trận kiểu (m,n) . Mỗi aij đợc gọi
là một thành phần của ma trận , vectơ dòng

( a i1

a i2 L

a in )
- HS ý mt s c bit
ca ma trn

đợc gọi là dòng thứ i của ma trận .
5


Vectơ cột:
a1j

ữ
a


2. Ma trận đối :
Ma trận đối của ma trận A là ma trận mà các pgần
tử của nó là đối của các phần tử tơng ứng của ma trận
A.
Đối của ma trận A kí hiệu là -A.
a11 K a1n
a11 K a1n

ữ
A= M O
M ữ A = M O
M ữ
ữ.
a
ữ
a
ữ
m1 L a mn
m1 L a mn
3. Ma trận vuông : Là ma trận có số dòng bằng số cột
(m=n)
a11 K
A= M O
a
n1 L

a1n
Mữ
ữ

0ữ
ữ
1
5. Ma trận chéo : Là ma trận mà các phần tử nằm
ngoài đờng chéo đều bằng 0
0
1
M
L

L
L
O
0

1 0

0 2
M M

0 L

0
ữ
Mữ
A=
0 ữ
ữ
n
6. Ma trận tam giác trên , ma trận tam giác dới.

a11 0 L

a
a 22 L
B = 21
M M O

a n1 a n2 L

0
ữ
0 ữ
.
Mữ
ữ
a nn

III. Các phép toán:
1. Ma trận bằng nhau :
- GV trỡnh by cỏc phộp
Hai ma trận A=(aij)mxn và B=(bij)mxn đợc gọi là toỏn trờn ma trn.
bằng nhau nếu
- HS chỳ ý lng nghe
7


thc hnh lm cỏc phộp
aij= bij với i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n.
toỏn trờn ma trn
Kí hiệu A = B

(m x p , K) mà các phần tử đợc xác định bởi :
n

c ik = a ij b jk i = 1..m , k = 1... p,
j =1

Điều kiện để có tích
Kí hiệu C=A.B
A.B là số cột của A bằng số
Có thể mô tả cách tìm thành phần c ik của ma trận dòng của B .Nh vậy có thể
tích A.B bằng sơ đồ sau:
có tích A.B nhng cũng có
thể không có tích B.A
8


Cột k

cột k


Dòng thứ i a i1





L



L ữdòng i
ữ
ữ
ữ


Trờng hợp đặc biệt khi
cả A và B đều là ma trận
vuông thì có cả tích A.B và
ữ B.A nhng nói chung là A.B
ữ= khác B.A (không có tính
ữ chất giao hoán)
ữ
:
vídụ
1 0 0 1 0 1
0 0 ữ. 0 0 ữ = 0 0 ữ




còn
0 1 1 0 0 0
0 0 ữ. 0 0 ữ = 0 0 ữ





Tớnhcht:(A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC

thì ma trận
... M ữ
ữ
... a mn
đợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A,
Kí hiệu là At .
Rõ ràng , At nhận đợc bằng cách đổi các dòng của
ma trận A thành các cột. Ta có tính chất sau:
(At)t = A
(A+B)t = At+Bt
(A.B)t = Bt..At
2. Ma trận đối xứng :
Ma trận vuông cấp n đợc gọi là đối xứng nếu At =
A hay aịj = aji i, j
9

- Gv trỡnh by ma trn
chuyn v
- HS nm th no c gi
l ma trn chuyn v
- p dng lm bi tp


1 3 4
A= 3 6 5 ữ
ữ
4 5 7ữ


3. Ma trận phản đối xứng :

L
L

a1n
a 2n
.
L
a nn

+ Định thức cấp 1: det(a) = a.
+ Định thức cấp 2 :
a a
a
a
Det 11 12 ữ = 11 12 = a11 .a 22 a12 .a 21
a 21 a 22 a 21 a 22
+ Định thức cấp 3 :

- GV trỡnh by nh gnha
v nh thc ma trn lờn
bng
- Hs chỳ ý lng nghe ghi
bi

a11 a12 a13 a11 a12 a13
a a a ữ= a a a =
det 21 22 23 ữữ 21 22 23
a31 a32 a 33 a 31 a 32 a33
= a11a 22 a 33 + a 21a 32a13 + a 31a12a 23 a 31a 22a13 a 21a12a 33 a11a 32a 23
2. nh thc cp cao:

con cấp r của A khác 0 con các định thức con khác của
A cấp >r đều bằng 0.

- GV nờu cỏch tớnh nh
thc cp cao hn 3
- HS chỳ ý lng nghe
lnh hi.
-Nh vậy ta có cách tính
định thức bằng cách khai
triển theo hàng hoặc cột
của định thức
- p dng hng ca ma
trn: Chứng minh độc lập
tuyến tính và phụ thuộc
tuyến tính :
r
r
Cho hệ vectơ (1 ,...., n )
.Ta viết các vectơ theo dạng
cột , và đa vào thành ma
trận A.Ta tìm hạng của ma
trận A : R(A) = r.
Nếu r= n thì hệ vectơ
r
r
(1 ,...., n ) độc lập tuyến
tính
Nếu r < n thì hệ vectơ
r
r

Bi2. Tính hạng của ma trận sau:

1 0 1 1
2 1 0 1 ữ ;D =

ữ
0 1 1 0ữ



25 67 35 2001 155
5 6 3

ữ
a, 26 98 23 234 66 ữ b, 2 8 5 ữ
ữ
24 56 32 45 66 ữ
3 7 4 ữ




Bi 3. Tính các định thức sau:
5 6
8
4 5
a,
b, 5 4 6
2 6
2 4 6


3
6
5
8

5 4 6 4
2
5 7 6
e,
6
3 6 5
4 6 4 6

VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

12


GIO N S: 03

Thi gian thc hin: 3 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.

ngha lờn bng
Định nghĩa 1
- Hs chỳ ý lng nghe v
Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử hàng i lnh hi
và cột j aij của |A| là định thức con ứng với phần tử ấy
- Aij=(-1)i+j|Aij|
kèm theo dấu (+ ) nếu ( i+j) chẵn và dấu(-) nếu (i+j ) lẻ
Kí hiệu Aij là phần bù đại số của aij
Định nghĩa 2:
Ma trận phụ hợp :
Cho ma trận A = (aij )n x n và Aij là phần bù đại số của
aij . Lập ma trận
A11

A
B = 21
M

A n1

A12 L A1n
ữ
A 22 L A 2n ữ
M L
Mữ
ữ
A n2 M A nn
Thì Bt đợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.
13


PA
|A|

cos -sin
Vớ d:,
ữ
sin cos

- HS tho lun lm bi
- Lờn bng trỡnh by bi
lm
V. Tng kt bi:
Nm chc nh ngha ma trn nghch o
Cỏch tỡm mt ma trn nghch o
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
Bi 1. Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
cos -sin
a,
ữ
sin cos
14


2 5 7 
b,  6 3 4 ÷
÷
 5 −2 −3 ÷



L
L
L
L
L

1
1÷
÷
1 ÷ e,
÷
L ÷
0÷


0
1

1

1
1


1
0
1
1
1



15


GIO N S: 04

TấN BI:

Thi gian thc hin: 5 tit
Lp:CKT36(ý yờn)
S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010

Hệ phơng trình tuyến tính.

I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Nm c khỏi nim v mt h phng trỡnh tuyn tớnh
- Bit cỏch gii mt h phng trỡnh tuyn tớnh, tỡm c nghim
- Nm c phng phỏp gii Cremar, v phng phỏp Gauss
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..

m1 1
Các aij là các số cho trớc thuộc trờng K, xj là
các ẩn .

16


a11 a12

a
a 22
Các ma trận A = 21
M
M

a m1 a m2

... a1n
ữ
... a 2n ữ
;
... M ữ
ữ
... a mn

a11 L a1n b1

ữ
a
L

ữ
xn
2. Định nghĩa 2. hệ phơng trình tuyến tính
(1) đợc gọi là thuần nhất nếu các bi = 0
(i=1,2,..,n). Ngợc lại thì không là thuần nhất.
II. Nghiệm của hệ phơng trình tuyến
tính .
1. Định nghĩa 1. Bộ n số 1 ,.., n với i K gọi
là 1 nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính nếu
thay x i = i thì ta đợc mệnh đề đúng. Tức là
- GV trỡnh by v nghim ca
1
h phng trỡnh tuyn tớnh
ữ
A = B với = Mữ,
ữ
n
2. Định nghĩa 2: Hệ (1) đợc gọi là tơng thích nếu
nó co nghiệm , ngợc lại gọi là không tơng thích .
Nếu (1) tơng thích và có nghiệm duy nhất thì
gọi là hệ xác định., ngợc lại gọi là hệ vô định.
Chú ý : Mọi hệ thuần nhất luôn là hệ tơng
thích vì luôn có nghiệm x=0 là nghiệm tầm thờng.
III. Hệ n phơng trình và n ẩn :
1. Dạng phơng trình: AX = B với
17


a11 a12


n
A 1AX = A 1B do |A|
2. Hệ phơng trình tuyến tính Cramer : là hệ ph- khác 0 nên A khả nghịch .
ơng trình tuyến tính với A không suy biến .
Khi
đó
3. Nghiệm của hệ Cramer : Hệ Cramer có
A (i)

, X = A 1B = PA B
A
A
i=1,2, ... n . với A(i) là ma trận nhận đợc từ A bằng
A11 A 21 L A n1 b1
cách thay cột thứ i bằng cột ma trận B.
M
ữ Mữ
M
M
M

ữ ữ
IV. Giải hệ phơng trình tuyến tính .
A
ữ ữ
A
L
A

1n

Định lý : Điều kiện cần và đủ để AX = 0 có nghiệm
không tầm thờng là
R(A) < n .
- SV chỳ ý lng nghe lnh hi
Hệ quả 1 : Điều kiện để hệ phơng trình tuyến tính
nghiệm duy nhất cho bởi công thức x i =

18


n ẩn , n phơng trình co nghiệm không tầm thờng
là |A| = 0 .
Hệ quả 2 : Cho hệ phơng trình tuyến tính AX = 0 .
A Mat (m,n) co m
b, Nhân một phơng trình của hệ với một vô hAB = 1 1 3 5 ữ =
ơng khác 0.
3 2 1 6ữ


c, Cộng vào một phơng trình một tổ hợp tuyến
tính các phơng trình khác của hệ.
5
1 1 3

Do đó khi giải hệ bằng phơng pháp Gauss ta viết
= 0 -2 -11 -13 ữ
ữ
hệ phơng trình đề bài , sau đó viết ma trận mở
0 -1 -8 -9 ữ
rộng . áp dụng các biến đổi trên để đa về dạng ma


trận tam giác trên.
Bớc (1) : Ta đổi dòng 1
cho dòng 2
Bớc (2) : Ta nhân dòng 1
với -4 rồi cộng vào dòng 2,
nhân dòng 1 với -3 rồi cộng
vào dòng 3.
Bớc (3) : Ta nhân dòng 2
với rồi cộng vào dòng 3.
Cuối cùng ta đợc ma trận
tam giác trên. Nên có x3 = 1
19



2x + 6y + 3z + 4t = 17
4x 5y + 2z + t = 6

b,
x + y + z 3t = 3
x + y 5z + 3t = 1

3x + 4y + z + 2t + 3 = 0
3x + 5y + 3z + 5t + 6 = 0

c,
3x + 5y + 3z + 7t + 8 = 0
6x + 8y + z + 5t + 8 = 0

2x + 2y z + t 4 = 0
4x + 3y z + 2t 6 = 0

d,
8x + 5y 3z + 4t 12 = 0
3x + 3y 2z + 2t 6 = 0

VII. Rỳt kinh nghim:
.
Trng khoa / T trng b mụn
Ngy thỏng .. nm.
Ch ký giỏo viờn

Bựi Vn Trng

- D kin hc sinh kim tra:.
Tờn:............. .. .. . .
im:. .. .. . .
IV.Giảng bài mới:
- dựng v phng tin dy hc:
+ Giỏo ỏn, giỏo trỡnh, ti liu tham kho
+ Gi m, vn ỏp, an xen hot ng nhúm
- Ni dung, phng phỏp:
Ni dung ging dy
Phng phỏp ging dy
Th
i
gian
1. Tính giai thừa .
Định nghĩa : Giai thừa : Cho n N thì n giai - GV nhc li kin thc v t
hp
thừa kí hiệu là n! và
- HS chỳ ý lng nghe lnh hi
n! = 1.2....n.
Ví dụ: Có bao nhiêu số có 3
Quy ớc 0! = 1
chữ số đợc lập từ các số
{1,2,3} ?
2. Hoán vị .
Lời giải .
Định nghĩa:
Số các số đợc lập là hoán
Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp
vị
của

là khác nhau nếu nếu chúng
có thứ tự khác nhau hoặc
phần tử khác nhau.
Ví dụ . Cho tập M ={1,2} .
4. Chỉnh hợp lặp .
Lập số chỉnh hợp lặp chập 3
của 2 phần tử ?
Định nghĩa:
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử trong tập Số các chỉnh hợp lặp là : 111,
Mlà một tập hợp có thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập 112, 121, 211, 122, 212, 221,
222.
M mà mỗi phần tử có thể có mặt k lần .
Ví dụ : Có bao nhiêu
Nhận xét : số chỉng hợp lặp chập k của n phần
k
cách phân ngẫu nhiên 12 tặng
tử là : n
phẩm cho 3 ngời ?
Số cách là chỉnh hợp lặp
chập 12 của 3 tức là có 312
cách

5. Tổ hợp .
Định nghĩa:
Cho tập M gồm n phần tử . Một tập con của
M ( không kể thứ tự ) gồm k phần tử là một tổ hợp
chập k của n phần tử .

Ví dụ 1 . Có bao nhêiu
cách chọn 5 ngới trong 50 ngời đi lao động ?

chỉnh hợp lặp chập 9 của 2 :
29 cách .

n

C nk a nk b k .

k =0

Xét các trờng hợp đặc biệt :
Chứng minh :
a, 0 =

3
Vậy có C12
. 29 cách
phân chia .

n

(1)nk C nk

k =0

n

b, 2 n = C nk
k =0

Chứng minh :

- bit ỏp dng vo lm bi tp
VI.
Cõu hi bi tp: - V nh lm bi tp:
1. Chứng minh :
a,

C nr = C nn r

và

b,

C nr +1 = C nr 1 + C nr

2. Chứng minh :

C nr

=

n

C nk m C mr k

k =0

3. Tìm n từ các phơng trình :
a,

C 2n


GIO N S: 06

Thi gian thc hin: 5 tit
24

Lp:CKT36(ý yờn)


S gi ó ging:.
Thc hin ngy ..thỏng nm 2010
TấN BI:

BIN C NGU NHIấN V XC SUT.

I. Mc ớch: Giỳp sinh viên
- Nm c khỏi nim nh ngha v bin ngu nhiờn, nh ngha tớnh cht ca xỏc sut
- Hiu c xỏc sut ch ỏp dng trờn cỏc hin tng ngu nhiờn
- p dng vo lm cỏc bi tp v xỏc sut, tỡm cỏc quy lut t nhiờn
II. n nh lp:
Thi gian: 1 phỳt
S hc sinh vng:Tờn:.
.........................
..........................

III. Kiểm tra bài cũ:
Thời gian: 5 phút
- Cõu hi kim tra:.
..
..

2. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên .
xắc . kết quả của phép thử
- Phép thử : Việc thựcc hiện một nhóm các này là tập hợp các sự kiện
điều kiện xác định thì gọi là một phép thử
={ E1 , ... E6 } với Ei
- Phép thử có thể lặp lại nhiều lần và kết quả
là sự kiện mặt trên con xúc
không biết trớc đợc .
xắc có i chấm .
- Kí hiệu các biến cố ngẫu nhiên là các chữ
Ví dụ 3 : Một bà mẹ sinh
25