http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình
1.1.1 Phương pháp nghiên cứu
1.1.1.1 Phương pháp theo dõi, quan sát
Con người từ rất xa xưa muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên, họ
đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết bằng
kinh nghiệm và lưu truyền cho các thế hệ sau, đó là phương pháp quan sát trực tiếp trong
nghiên cứu. Ví dụ: nuôi lợn ăn cơm nằm, nuôi tằm ăn cơm đứng; lúa chiêm lấp ló đầu đình,
nghe tiếng sấm rền phất cờ đi lên;..
1.1.1.2 Phương pháp tiến hành thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát
Đối với các nhà khoa học, khi nghiên cứu các hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng
ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt
động của mình thì phương pháp quan sát là chưa đủ. Trong trường hợp này khi nghiên cứu các
đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng mô hình
tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào
đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lậơ quy luật chi phối sự vận động của đối
tượng. Đó là Phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu
phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các vấn đề, hiện
tượng kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không có hiệu quả vì:
- Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp - đặc biệt là những vấn đề
đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ
bằng quan sát là có thể giải thích được.
- Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế rất đa dạng vì vậy khi dùng phương
pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi sai sót trong quá
trình thử nghiệm sẽ gây ra những hậu quả to lớn, không thể lường trước được.
- Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong quá trình kinh tế thì kết quả thu
được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người.

1.2.3 Mô hình toán kinh tế:
Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học.
Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích
toán học và kế thừa các thành tưu trong lĩnh vực này cũng như các lĩnh vực khác có liên quan.
Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà ta cần nghiên
cứu, phân tích không chỉ về mặt định tính mà cả định lượng thì phương pháp suy luận giản đơn
không thể giải quyết được. Khi đó, chúng ta cần sử dụng phương pháp suy luận toán học. Đây
chính

là

điểm

mạnh

của

mô

hình

toán

kinh

tế.

Ví dụ: Nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành giá cả của một loại hàng hoá A trên thị

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.

thay

đổi.

Vì đối tường liên quan tới vấn đề nghiên cứu là thị trường hàng hoá A và sự vận hành
của

nó.

Chúng

ta

cần

mô

hình

đối

hoá

tượng

này.

Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau, xuất
hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó, lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung,
lượng

D

S1

S

D2

Q

S2

D1

Q(D1)

P2

P

P3

P1

Giải thích sơ đồ:
+ Giả sử thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng A là P1, giả sử S1 = S(P1) > D1 = D(P1).
Do vậy, lượng hàng hoá A cung lớn hơn cầu, dưới tác động của quy luật cung - cầu, giá P1
phải hạ xuống P2.

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.

dD
D = D(p); D'( P ) 
0
dp

S = S(p);

S=D
Với mô hình diễn đạt bằng lời hoặc bằng hình vẽ ta không thể chắc chắn liệu quá trình
hình thành giá trên thị trường có kết thúc hay không, tức là liệu có cân bằng thị trường hay
không. Nhưng đối với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ trả lời thông qua việc
giải phương trình S = D và phân tích đặc điểm của nghiệm.
Khi muốn đề cập đến tác động của thu nhập (M), thuế (T)... tới quá trình hình thành
giá, ta có thể mở rộng mô hình bằng cách tham gia vào các mối liên hệ với các yếu tố sẵn có
trong mô hình phù hợp với quy luật trong lý thuyết kinh tế. Ví dụ có mô hình sau (MHIB):
S = S(p,T);

S / p  0
D / p  0

D = D(p,M,T);
S = D.
1.2.4 Cấu trúc mô hình toán kinh tế.
Cấu trúc mô hình toán kinh tế gồm 2 bộ phận chính:
Các biến

Các ràng buộc (tham số).
1.2.4.1 Các biến số của mô hình:

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.

doanh nghiệp... là các biến nội sinh của một mô hình doanh nghiệp.
Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô
hình đóng (mô hình MHIA); mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở
(MHIB).
tham số, thông số:

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Khái niệm: là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện các đặc trưng
tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết như vậy của đối tượng.
Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến
nội sinh.
Ví dụ: Mô hình MHIB: S = αpβTγ
Trong mô hình này, α,β,γ là các tham số của mô hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ
tác động của biến ngoại sinh T tới biến nội sinh S,D,p (S’,D’).
NOTE: Cùng một biến số, trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau; thậm
chí cùng một mô hình có thể có vai trò khác nhau do mục đích sử dụng mô hình khác nhau.
b. Các ràng buộc của mô hình.
Khái niệm: Các ràng buộc của mô hình là các hệ thức toán học phản ánh mối quan hệ kinh tế,
quan hệ hành vi, quan hệ pháp lý, quan hệ cơ học, quan hệ kỹ thuật, quan hệ đồng nhất,... giữa
các yếu tố kinh tế trong hệ thống kinh tế hoặc hiện tượng kinh tế mà ta đang nghiên cứu. Sau
khi đưa các hệ thức toán học đã xác lập được về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc, ta nhận được
phương trình trạng thái của hiện tượng kinh tế hoặc hệ thống kinh tế đang xem xét. Đối với các
hệ thống kinh tế, các hệ thức toán học trong mô hình thường bao gồm:

Thu nhập

Sản lượng

Lao động

Giá yếu tố sản xuất
Chi phí sản xuất

Mức cung

Lợi nhuận

Trình độ công nghệ
Các quan hệ giữa các biến thường diễn biến theo thời gian, vì vậy không nhất thiết chỉ
có các quan hệ một chiều (nhân - quả) mà có thể có cả các quan hệ tương tác 2 chiều (liên hệ
ngược) như:
Đầu tư

Thu nhập

tiết kiệm

Để xác định được quan hệ giữa các biến số chúng ta cần:
- Dựa vào Lý thuyết kinh tế, các quy luật kinh tế đã được thừa nhận một cách rộng rãi.
- Sử dụng Các kết quả phân tích kinh tế lượng xác lập các mối quan hệ với mức độ tin cậy phù
hợp với mục đích nghiên cứu.
Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình, chúng ta
có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:
- Phương tình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các

thức của mô hình
Việc giải mô hình nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại
sinh cùng tham số (biểu diễn đớp dạng các hệ thức khác giữa từng biến nội sinh theo biến
ngoại sinh, tham só và có thể theo biến nội sinh khác, cách biểu diễn này gọi là nghiệm của mô
hình).
Nghiệm có thể biểu diễn chính xác, xấp xỉ hoặc dưới dạng bằng lời giải bằng số nếu tất
cả các biến ngoại sinh và tham số có giá trị bằng số. Nghiệm cũng có thể mô tả dưới dạng các
biểu thức, các hàm số nếu biến ngoại sinh, tham số có giá trị quy ước trừu tượng. Nghiệm của
mô hình sẽ phụ thuộc vào các biến ngoại sinh và tham số.
1.3.2 Các hình thức biểu diễn nghiệm của mô hình.
1.3.2.1 Hàm kinh tế dạng hiện (hàm hiện)
Sau khi giải mô hình, ta xác lập được quan hệ giữa biến nội sinh y với véc tơ ngoại sinh
X = (x1,x2,...,xn) và véc tơ tham số α = (α1,α2,...,αk) hoặc viết gọn hơn
yj = Fj(x1,x2,...,xn,α1,α2,...,αk) = Fj(X,α) với j=1÷m
a. Trường hợp hàm tuyến tính:

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế
n

F(X) = αo + α1x1 + α2x2 + ... + αnxn = α0 +



αixi = (α,X)


r


Để giúp đơn giản hoá trong quá trình biến đổi, trong những tính huống nhất định, ta có thể
không xét mối quan hệ trực tiếp giữa bản thân các biến mà xét quan hệ giữa các dạng biến đổi
của chúng miễn là quan hệ vẫn được bảo toàn.
d. Hám thuần nhất, hàm đồng điệu (Homogenous Function):
Hàm y = F(X) thuần nhất bặc r (r>0), nếu ta có F(tX, α)=trF(X, α) với mọi t>0. Nếu r=0, r=1 ta
có hàm thuần nhất bậc không, hàm nhuần nhất bậc nhất; đây là 2 dạng hàm cũng thường được
sử dụng trong kinh tế.

n

y  F(X )  0 x11 x2 2 ...xnn 0 xii

Ví dụ: Hàm Cobb - Douglas

i1

n

Là hàm thuần bậc

 i .
i 1

Hàm CES

 n

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com
r

- Nếu xi # 0, thì y  xi F (

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

x1
x
x
x
,..., i 1 ,1, i 1 ,..., n ) do đó nếu hàm một biến và thuần nhất bậc 1
xi
xi
xi
xi

thì y = xF(1).
1.3.2.2 Hàm kinh tế dạng ẩn (hàm ẩn):
Là dạng hàm mà biến nội sinh không được thể hiện trực tiếp qua các biến ngoại sinh mà được
thể hiện dưới dạng:
Fj(y1,y2,...,ym;x1,x2,...,xn;α1,α2,...,αk) = 0 (j = 1÷m)
Hay Fj(Y,X, α)=0
Dạng đơn giản: F(y,x1,x2,...,xn) = 0
Hay F(y,X) = 0
Về hình thức vẫn có thể viết y là hàm hiện của các xi.

F
 dy 
dxi
xi
xi

Tác động tổng hợp (toàn phần):

n
F
F
F
F
dy 
dx1 
dx2  ...
dxn   dxi
x1
x2
xn
i1 xi

Hàm hợp: u = u(X); v = v(X)

y  u.v 

y u
v

v

dy  dxi  0
y
xi
F
x
dy y


 i
F
dxi xi
y
1.3.3.2 Phân tích tác động tương đối.
Phân tích tác động tương đối thông qua phân tích hệ số co giãn (elasticity):
Hệ số co giãn riêng:

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

x
i
x F(X)
i

 xy ( X )  F .

x1
x1
Thay đổi tương đối tổng hợp:
y
x1
xn i1  1 xi 

Đặt A Fi 

F(X)
xi

  xyi 

MFi
A Fi

Nếu y,xi>0 khi đó hệ số co giãn có thể tính theo công thức:  Xy ( X ) 
i

Lny vày Lnx làulogarit cơ
y Trong
 u.vđó,
 xi   xi   xvi số tự nhiên của y,x
i

 ( Lny)
 ( Lnxi )

i

Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Xét thời gian là biến ngoại sinh, hệ số co giãn của một biến theo thời gian - lấy gốc
thời gian tại điểm đang xét - gọi là nhịp tăng trưởng, cũng là biến động tương đối của biến theo
thời gian.
Ý nghĩa của hệ số tăng trưởng: hệ số tăng trưởng của một biến theo thời gian đo tỷ lệ
biến động của biến đó theo thời gian.
Hệ số tăng trưởng của y (ry) được định nghĩa theo công thức sau:
Với y=y(t):

dy t
dy/ dt
rY  .

dt y t1
y
Với y=F(X1,X2,...,Xn,t) với t là biến thời gian:

y
rY  t thông thường, ry được tính theo tỷ lệ %.
y
n

Với y = F(x1(t),x2(t),...,xn(t)) →


có thể tính tỷ lệ này như sau:
n

để giữ mức y không đổi tức là phải có: dy 

(X / x )dx  0
i

i

t 1

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Hệ số:

F
dxj
x
MRS(i,j) 
 i
F
dxi
x j

http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

- Dựa vào lý luận để quyết định lựa chọn các biến kinh tế và các hệ thức ràng buộc của mô
hình.
- Sử dụng các công cụ toán học để phânt ích mối quan hệ giữa các biến kinh tế, kể cả các quan
hệ tiềm ẩn.
- Xác lập mối liện hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.
- Chọn các biến số đặc trưng cho trạng thái của hệ thống kinh tế cần nghiên cứu.
- Xây dựng các hệ thức toán học thiết lập quan hệ và ràng buộc giữa các biến số và các tham
số điều khiển đối tượng kinh tế cần nghiên cứu.
- Xác định hàm mục tiêu, nghĩa là dặc trưng bằng số biểu thị hiệu quả củahoạt động của các hệ
thống kinh tế đang nghiên cứu.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học đã xác lập ở
bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng,lựa chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù
hợp. Tiếp đó cụ thể hoá phương pháp bằng các thuật toán tối ưu và thử nghiệm giải bài toán
trên máy tính điện tử.
Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, ta có
thể mô phỏng trên máy tính điện tử giả định các tính huống của các biến kinh tế khác liên
quan.
Bước 4: Dựa vào các số liệu thu thập được, mô phỏng trên máy tính các tình huống trong quá
khứ và hiện tại, dự đoán và kểim định sự phù hợp của mô hình đối với lý luận thực tiễn. Để
nâng cao tính hiện thực của mô hình kinh tế đã có, ta có thể thêm bớt, thay đổi vai trò một số
biến ngẫu nhiên, các hệ thức toán học ràng buộc của các biến kinh tế... Để phân tích sâu sắc
hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế đang xét, ta phân chia các vấn đề nghiên cứu thành những
chuyên đề độc lập và ứng với nó khái quát hoá bằng các mô hình kinh tế con phù hợp. Mỗi mô
hình hoàn chỉnh mô phỏng đầy đủ đúng đắn, sâu sắc hiện tượng hoặc hệ thống kinh tế cần
nghiên cứu.
Có thể xẩy ra 1 trong 2 khả năng sau:


Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

2.1 Giới thiệu chung về mô hình tối ưu.
2.1.1 Giới thiệu chung về mô hình tối ưu.
Mô hình tối ưu thường được sử dụng trong phân tích kinh tế vi mô nhằm nghiên cứu
các hoạt động chi tiết của cơ chế thị trường, đề cập đến các tình huống khi một nền kinh tế giải
đáp 3 vấn đề cơ bản (sản xuất cái gì, sản xuất cho ai, sản xuất như thế nào).
Thông qua mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hàng vi của các tác nhân
kinh tế khi theo đuổi mục đích của mình.
2.1.2 Một số giả thiết và vấn đề liên quan đến mô hình tối ưu
Sự lựa chọn của tác nhân kinh tế.
Khái niệm về tác nhân:
a. Về mặt nhân sự, năng lực và đặc điểm của hành vi:
Xét về mặt nhân sự: tác nhân kinh tế (chủ thể kinh tế) có thể là một cá nhân, một tập thể người
có đủ năng lực hành vi phù hợp với quy định của luật pháp và tập quán.
Tác nhân có thể là hộ gia đình, doanh nghiệp, công ty, tổ chức chính phủ, phi chính
phủ, một quốc gia...
Đối tượng được xem là tác nhân là CON NGƯỜI. Trong quá trình hoạt động - quá
trình ra quyết định - hành vi ra quyết định của đối tượng thường được giả định là hành vi hợp
lý. Hành vi hợp lý được quan niệm như sau:
+ Trong khuôn khổ các điều kiện của bản thân, của môi trường tự nhiên, môi trường xã hội,
đối tượng phải có năng lực nhận thức được những khả năng hoạt động có thể có cũng như khả
năng không thể có.

Cấu trúc mô hình tối ưu.


Tập chấp nhận.

Do trong quá trình hoạt động kinh tế của tác nhân, do tác động của quy luật và điều kiện tự
nhiên, xã hội tạo ra mối quan hệ giữa các yếu tố và hình thành các khả năng lựa chọn cho tác
nhân. Tập các khả năng này gọi là tập chấp nhận đối với hoạt động của tác nhân và được ký
hiệu là D.
Tập chấp nhân có thể là hữu hạn, vô hạn hoặc không đếm được.
Ví dụ: Để chọn mua bánh trung thu trong dịp tết trung thu cổ truyền, người tiêu dùng có thể
chọn mua bánh của nhiều hãng sản xuất khác nhau: của Kinh Đô (A); của Hải Hà (B); của Hải
Châu (C); của BiBiKa (D)... Như vậy, tập chấp nhận trong việc lựa chọn phương án mua bánh
là D= │A,B,C,D...│
Mỗi phần tử thuộc D được gọi là điểm chấp nhận hoặc phương án, kế hoạch của tác
nhân.


Biến chọn:

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Nếu khả năng lựa chọn của tác nhân được mô hình hoá bởi véctơ biến X=(x1,x2,...,xn) thì các
biến x1,x2,...,xn được gọi là biến chọn.

mục tiêu z và hàm mục tiêu z=U(X) thì ta có mô hình tối ưu sau:
z=F(X)=F(x1,x2,...,xn) → Max (Min)
gi(X)≤(≥)b i, i=1÷m

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế
xj≥0, j=1÷n.

Mô hình tối ưu đa mục tiêu: Nếu lựa chọn của tác nhân trên tập chấp nhân căn cứ vào



k mục tiêu z1,z2,...,zk và k hàm mục tiêu zi=Ui(X) i=1÷k
Thì mô hình tối ưu có dạng sau:
zk=Fk(X) → Max (Min) (k=1÷K)
gi(X)≥(≤)bi, i=1÷m
xj≥0, j=1÷n
2.2 Mô hình phân tích hành vi của doanh nghiệp - Hành vi sản xuất kinh doanh.
2.2.1 Mô hình phân tích hành vi sản xuất.
Khái niệm doanh nghiệp: là tác nhân hoạt động trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh hàng hoá dịch vụ.
Chức năng: Biến đổi các nguồn (yếu tố đầu vào như vốn, lao động, tài nguyên, công nghệ...)
thành sản phẩm (đầu ra) nhằm mục tiêu nhất định.
Hành vi: Lựa chọn đầu vào, đầu ra, giá bán...nhằm đạt được mục tiêu lợi ích: lợi nhuận, doanh
thu, chi phí...
Ba vấn đề cơ bản của doanh nghiệp: sản xuất cái gì (What?); sản xuất như thế nào (How?);

Doanh nghiệp

Cung

Giá

Mục tiêu

Yếu tố sx

giá
Mục tiêu

2.2.2 Mô hình hàm sản xuất.
* Mô hình mô tả công nghệ (mô hình hàm sản xuất):
a. Khái niệm hàm sản xuất:
Hàm sản xuất biểu thị quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố sản xuất và kết quả (mức
sản lượng).
Hoặc có thể định nghĩa hàm sản xuất như sau: Hàm sản xuất cho một đầu ra Q, dạng
Q=f(X1, X2,...,Xn) là một mô hình chỉ ra số lượng cực đại của đầu ra có thể sản xuất được bằng
việc sử dụng kết hợp các yếu tố đầu vào một cách có lựa chọn.
Ví dụ1: Hàm sản xuất Cobb-Douglas mô phỏng sản xuất nông nghiệp nước Áo từ năm 19511955 như sau: Q=2,439X0,0635K0,6172L0,3193 trong đó: Q là sản lượng sản phẩm; K là vốn; L là
lao động; X là tài nguyên được khai thác.
Ví dụ 2: Hàm sản xuất mô hình tổng sản phẩm Việt Nam từ 1986-`995 (theo niên giám thống
kê) như sau: Y=75114K 0,175L0,904e0,0124t
n

Ví dụ 3: Hàm sản xuất dạng tuyến tính: Q 

k X

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

{X=(x1,x2,...,xn):F(x1,x2,...,xn)=Q}
2.2.3

Mô hình phân tích tác động của các yếu tố tới sản lượng
Phân tích so sánh tĩnh mô hình.



Hàm sản xuất Q=F(x1,x2,...,xn).
a. Khi thay đổi mức sử dụng yếu tố i (thay đổi 1 biến ngoại sinh).
Trong ngắn hạn doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi 1 yếu tố i
- Năng suất biên của yếu tố i (MPi - sản phẩm hiện vật của yếu tố i):

MPi

F
;i 1, n
xi

Ý nghĩa của MPi: Năng suất biên của yếu tố i cho ta biết khi doanh nghiệp cố định mức sử
dụng các yếu tố khác và tăng (giảm) mức sử dụng yếu tố i 1 đơn vị thì mức sản lượng sẽ tăng
(giảm) bao nhiêu đơn vị. (do đó, MPi thường được giả định là >0).

Khi đó
Việc tăng quy mô có hiệu quả khi: F(λX)>λF(X)

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Hiệu quả tăng theo quy mô (increasing return to scale: IRS).
Việc tăng quy mô có hiệu quả giảm khi: F(λX)
i 1

Vì MPi là năng suất cận biên của yếu tố i → xiMPi = xi MPi 

Q
xi  xi MPi   i Q(i  1, n)
xi

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

Như vậy có thể coi tham số αi như là phần “tỷ lệ đóng góp” của yếu tố i trong việc tạo ra mức
sản lượng Q. Vì vậy nếu thực hiện việc phân chia sản lượng Q cho các yếu tố thì chia theo tỷ lệ
αi là hợp lý. Vì thế tham số αi được gọi là tham số phân phối.
d. Hàm dạng tân cổ điển:
Hàm sản xuất: Q  F ( K , L) được gọi là tân cổ điển nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. MPK>0; MPL>0
2. MPKK
dt

Trong đó,  K ,  L là độ co giãn của sản lượng Q theo K, L. Nếu qua phân tích số liệu ta
xác định được  K ,  L , rK , rQ , rL thì từ đây có thể tính được rA tức là xác định được tác động của

Trung tâm gia sư VIP –Luyện thi cao học Toán cơ bản, toán kinh tế.
Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380


http://baigiangtoanhoc.com

Lý thuyết mô hình toán kinh tế

tiến bộ công nghệ tới sản lượng Q. Phương pháp ước lượng hệ số tăng trưởng của các biến
theo cách trên gọi là phương pháp hạch toán tăng trưởng trong phân tích tăng trưởng kinh tế.
2.2.4 Mô hình tối ưu về mặt kinh tế của quá trình sản xuất.
Sử dụng mô hình mô tả công nghệ sản xuất của doanh nghiệp để phân tích ta mới chỉ
đạt được tối ưu về mặt kỹ thuật mà chưa tính đến các điều kiện bên ngoài (thị trường đầu vào).
Thể hiện thông qua giá của các yếu tó sản xuất. Trong điều kiện giới hạn về nguồn lực, chi
phí... doanh nghiệp phải lựa chọn sao cho với cùng mức chi phí mà đạt được lợi nhuận cao
nhất.
Xảy ra 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cố định sản lượng, tối thiểu hoá chi phí (bài toán cực tiểu hoá chi phí).
Trường hợp 2: Cố định chi phí, tối đa hoá sản lượng (bài toán tối đa hoá sản lượng).
* Mô hình xác định hàm chi phí của doanh nghiệp.
a. Mô hình tối thiểu hoá chi phí:
Bài toán: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Doanh nghiệp sử dụng các
yếu tố ở mức x1,x2,...,xn để sản xuất Q, Như vậy với hàm sản xuất Q=F(x1,x2,...,xn) sẽ phải
có điều kiện F(x1,x2,...,xn)=Q và gọi là ràng buộc về mặt sản lượng. Đồng thời để sản xuất ra
n

Website: http://giasuvip.net –Hotline: 0989189380