CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ.
1.1 Ý nghĩa của phương pháp mô hình
1.1.1 Phương pháp nghiên cứu
1.1.1.1 Phương pháp theo dõi, quan sát
Con người từ rất xa xưa muốn tìm hiểu, khám phá những hiện tượng trong tự nhiên, họ
đã biết quan sát, theo dõi và ghi nhận các hiện tượng này. Kết quả theo dõi được đúc kết bằng
kinh nghiệm và lưu truyền cho các thế hệ sau, đó là phương pháp quan sát trực tiếp trong
nghiên cứu. Ví dụ: nuôi lợn ăn cơm nằm, nuôi tằm ăn cơm đứng; lúa chiêm lấp ló đầu đình,
nghe tiếng sấm rền phất cờ đi lên;
1.1.1.2 Phương pháp tiến hành thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát
Đối với các nhà khoa học, khi nghiên cứu các hiện tượng phức tạp hơn hoặc khi chúng
ta chẳng những muốn tìm hiểu các hiện tượng mà còn muốn lợi dụng chúng phục vụ cho hoạt
động của mình thì phương pháp quan sát là chưa đủ. Trong trường hợp này khi nghiên cứu các
đối tượng, các nhà khoa học hoặc là trực tiếp tác động vào đối tượng, hoặc sử dụng mô hình
tương tự (về mặt cấu trúc vật lý) như đối tượng, tiến hành thí nghiệm, trực tiếp tác động vào
đối tượng cần nghiên cứu, phân tích kết quả để xác lậơ quy luật chi phối sự vận động của đối
tượng. Đó là Phương pháp thí nghiệm, thử nghiệm có kiểm soát và là phương pháp nghiên cứu
phổ biến trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Tuy nhiên, khi nghiên cứu các vấn đề, hiện
tượng kinh tế - xã hội, các phương pháp trên thường không có hiệu quả vì:
- Những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn đề hết sức phức tạp - đặc biệt là những vấn đề
đương đại, trong đó có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta không thể chỉ
bằng quan sát là có thể giải thích được.
- Quy mô, phạm vi liên quan của những vấn đề kinh tế rất đa dạng vì vậy khi dùng phương
pháp thử nghiệm sẽ đòi hỏi chi phí rất lớn về thời gian, tiền bạc và nhiều khi sai sót trong quá
trình thử nghiệm sẽ gây ra những hậu quả to lớn, không thể lường trước được.
- Ngay cả khi có đủ điều kiện tiến hành các thử nghiệm trong quá trình kinh tế thì kết quả thu
được cũng kém tin cậy vì các hiện tượng kinh tế - xã hội đều gắn với hoạt động của con người.
1.1.1.3 Phương pháp suy luận logic
Để nghiên cứu các vấn đề kinh tế người ta phải sử dụng phương pháp suy luận gián
tiếp, trong đó các đối tượng trong hiện thực có liên quan tới hiện tượng, vấn đề ta quan tâm
nghiên cứu sẽ được thay thế bởi “hình ảnh” của chúng: các mô hình của đối tượng và ta sử

Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hoá A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau, xuất
hiện mức giá ban đầu. Với mức giá đó, lượng hàng hoá người bán muốn bán gọi là mức cung,
lượng hàng hoá người mua muốn mua gọi là mức cầu.
+ Nếu cung > cầu, người bán muốn bán được nhiều hàng hoá hơn nên phải giảm giá, vì vậy
hình thành mức giá mới thấp hơn. Do v ậy, xuất hiện mức cung, cầu mới.
+ Nếu cung < cầu, người mua muốn mua được hàng hoá, họ sẵn sàng trả giá cao hơn để mua
được, nên một mức giá cao hơn được hình thành. Do vậy, xuất hiện mức cầu, cung mới. Quá
trình này cứ tiếp diễn ch đến khi cung bằng cầu ở một mức giá (mức giá cân bằng). Mô hình
bằng hình vẽ:
Q
(S1)
Q(
S1
) D S1 S
D
2

Q
S
2
D
1

Q
(D1)
P
2
P P
3
P

3
.
Quá trình này cứ tiếp tục diễn ra cho đến khi đạt mức giá cân bằng P. Khi đó có cầu = cung.
Mô hình toán kinh tế: Gọi S, D là đường cung, cầu tương ứng. Như vậy ứng với mỗi mức giá
p ta có S = S(p).
+ Do người bán sẵn sàng bán với mức giá cao hơn, nên S là hàm tăng theo p
(
)()(
;0'
PP
DD
dp
dS
S  .
+ Do người bán sẽ mua ít hơn nếu giá cao hơn, nên D là hàm giảm theo p (
0'
)(

dp
dD
D
P
)
+ Trường hợp cân bằng thị trường (MHIA) khi S=D, khi đó ta có mô hình cân bằng như sau:
S = S(p);
)()(
;0'
PP
DD
dp

Cấu trúc mô hình toán kinh tế gồm 2 bộ phận chính:
Các biến
Các ràng buộc (tham số).
1.2.4.1 Các biến số của mô hình:
Khái niệm: Là các đại lượng biến thiên đặc trưng cho các yếu tố cơ bản của các hiện tượng
kinh tế và hệ thống kinh tế cần nghiên cứu.
Các biến kinh tế thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định.
Phân loại:
a. Các biến:
Biến ngoại sinh (biến giải thích, biến độc lập): Đó là các biến có mức độ độc lập nhất định đối
với mô hình, nó đặc trưng cho các yếu tố kinh tế tồn tại bên ngoài hệ thống hoặc hiện tượng
kinh tế đang nghiên cứu (các biến tồn tại ngoài mô hình, bao gồm cả biến biểu thị các yếu tố
ngẫu nhiên).
Ví dụ: Trong mô hình MHIB, biến ngoại sinh M, T có giá trị không phụ thuộc vào D,S,p nên
nó được xem là biến ngoại sinh.
hoặc các chính sách của Chính phủ, ngân sách được cấp, các tiền tệ quốc tế là các biến ngoại
sinh của một doanh nghiệp, của một ngành kinh tế của một nước.
Biến nội sinh (biến được giải thích, biến phụ thuộc): Đó là các biến tồn tại ngay trong bản thân
mô hinh, chúng phu thuộc khăng khít lẫn nhau và chịu tác động của biến ngoại sinh. Đó là các
biến đặc trưng cho các yếu tố kinh tế nằm ngay trong các hiện tượng, các hệ thống kinh tế
đang nghiên cứu. Việc thêm bớt các biến nội sinh quyết định mức độ phù hợp của mô hình so
với thực tiễn.
Ví dụ: trong mô hình MHIA, chúng ta thấy các biến S,D,p,S’,D’ đều có thể phản ánh trực tiếp
hoặc gián tiếp trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau, do đó chúng đều có thể
coi là các biến nội sinh. Tuy nhiên, người ta chỉ coi S,D, p là biến nội sinh còn S’,D’ có thể
thính được từ S,D,p khi trạng thái cân bằng xảy ra.
Hay tổng sản phẩm của một doanh nghiệp tại thời điểm t; tích luỹ tại thời điểm t của một
doanh nghiệp là các biến nội sinh của một mô hình doanh nghiệp.
Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học, một mô hình có tất cả các biến đều là nội sinh gọi là mô
hình đóng (mô hình MHIA); mô hình có biến nội sinh và ngoại sinh gọi là mô hình mở

- Các phương trình cân bằng, diễn tả nguyên lý bảo toàn
1.2.4.2 Mối liên hệ giữa các biến số và hình thức biểu diễn
Quan hệ giữa các biến số có thể là các mối quan hệ trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua các biến
số khác, theo một hoặc nhiều khâu trung gian. Các quan hệ đó có thể biểu diễn dưới dạng sơ
đồ sau:
Thu
ế → Tiêu dùng
Vốn
↓ ↑
Thu nhập Đầu tư Sản lượng
Lao động
Giá yếu tố sản xuất
Chi phí sản xuất Mức cung Lợi nhuận
Trình độ công nghệ
Các quan hệ giữa các biến thường diễn biến theo thời gian, vì vậy không nhất thiết chỉ
có các quan hệ một chiều (nhân - quả) mà có thể có cả các quan hệ tương tác 2 chiều (liên hệ
ngược) như:
Đầu tư Thu nhập tiết kiệm
Để xác định được quan hệ giữa các biến số chúng ta cần:
- Dựa vào Lý thuyết kinh tế, các quy luật kinh tế đã được thừa nhận một cách rộng rãi.
- Sử dụng Các kết quả phân tích kinh tế lượng xác lập các mối quan hệ với mức độ tin cậy phù
hợp với mục đích nghiên cứu.
Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ giữa các biến có trong phương trình, chúng ta
có thể phân loại các phương trình trong mô hình như sau:
- Phương tình định nghĩa (đồng nhất thức): phương trình thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các
biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình.
Ví dụ 1: Lợi nhuận (∏)được định nghĩa là phần hiệu số giữa tổng doanh thu (TR) và tổng chi
phí (TC): ∏ = TR - TC.
Ví dụ 2: Xuất khẩu ròng của một quốc gia (NX) là khoản chênh lệch giữa xuất khẩu (EX) và
nhập khẩu (IM) của quốc gia đó. Vì xuất, nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập (Y), mức giá (P),

yj = Fj(x1,x2, ,xn,α1,α2, ,αk) = Fj(X,α) với j=1÷m
a. Trường hợp hàm tuyến tính:
F(X) = α
o
+ α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ + α
n
x
n
= α
0
+


n
i 1
α
i
x
i
= (α,X)
dạng hàm này phản ánh quan hệ tỷ lệ không đổi giữa các biến. Đây là dạng hàm đơn giản nhất
về cấu trúc toán học.

Là hàm thuần bậc



n
i
i
1
.
Hàm CES là hàm thuần bậc r.
Chứng minh hàm thuần bậc r (r>0):
Hàm y=F(X) ↔ F(tX) = t
r
F(X)

t >0.
Một số tính chất của hàm thuần nhất:
- Các đạo hàm riêng
∂F/∂x
i
, thuần bậc r-1.
- ry =




n
i
i
i







1
0



n
i
in
in
xxxxXFy
1
0210
)(
21





r
n
i
ii
xy

x
x
Fy
x


do đó nếu hàm một biến và thuần nhất bậc 1
thì y = xF(1).
1.3.2.2 Hàm kinh tế dạng ẩn (hàm ẩn):
Là dạng hàm mà biến nội sinh không được thể hiện trực tiếp qua các biến ngoại sinh mà được
thể hiện dưới dạng:
Fj(y
1
,y
2
, ,y
m
;x
1
,x
2
, ,x
n
;α
1
,α
2
, ,α
k
) = 0 (j = 1÷m)

1.3.3 Phân tích so sánh tĩnh.
1.3.3.1 Phân tích tác động tuyệt đối.
Sử dụng đạo hàm và vi phân của hàm số:
Đối với hàm hiện:
Y = F(X) = F(x1,x1, ,xn) khả vi.
Khi đó, tác động riêng (tính đạo hàm riêng):
i
ii
i
dx
x
F
dy
x
F
MF






Tác động tổng hợp (toàn phần):
i
n
i
i
n
n
dx

1

Hàm hợp: u = u(X); v = v(X)
i
i
i
i
ii
ii
i
i
i
x
F
x
u
u
F
x
y
xuFy
x
u
u
F
x
y
uFy
v
uxvvxu













.),(
.)(
)./()./(
.
2
Hàm ẩn:
Hàm có dạng: F(y,x
1
,x
2
, ,x
n
) = 0
y
F
0



F(X)
i
x
i

Ý nghĩa của việc phân tích hệ số co giãn riêng: hệ số co giãn riêng cho biết tại X, khi
xi thay đổi (tức thời) 1%, khi các yếu tố khác không đổi thì y biến đổi bao nhiêu %
Hệ số co giãn toàn phần:
)()(
1
XX
n
i
y
x
y
i




Ý nghĩa của việc phân tích hệ số co giãn toàn phần: hệ số co giãn toàn phần cho biết
tại X, khi tất cả các xi thay đổi 1%, thì y thay đổi bao nhiêu %. Xu hướng thay đổi của y phụ
thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn riêng.
Thay đổi tương đối tổng hợp:








Đặt
Fix
F(X)
Fi
i
A
MFi
A
y
x
i


Nếu y,xi>0 khi đó hệ số co giãn có thể tính theo công thức:
)(
)(
)(
i
X
i
y
Lnx
Lny
X





y
vuy



.)(
.



Nếu quan hệ giữa y và các biến ngoại sinh có dạng hàm Cobb - Douglas:





n
i
i
y
i
y
x
n
i
n
xxxy
1
210


y
t
y
r
Y



thông thường, r
y
được tính theo tỷ lệ %.
Với y = F(x1(t),x2(t), ,xn(t)) →
ii
x
n
i
y
xy
rr



1

Từ công thức định nghĩa hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có các công thức
sau:
vuy
vuy
vuy
r

y=y
0
, thì sự thay đổi của 2 biến này phải theo tỷ lệ nào? Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của 2
biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ thay thế (thay thế giữa vốn và lao động), tỷ lệ bổ sung (bổ
sung giữa 2 mặt hàng), tỷ lệ chuyển đổi (chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tương lai). Ta
có thể tính tỷ lệ này như sau:
để giữ mức y không đổi tức là phải có:



n
t
ii
dxxXdy
1
0)/(

Nếu dXi/dXj = 0 thì ta nói rằng Xi, Xj không thể thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau tại
(X=X
0
).
1.4 Quy trình xây dựng và sử dụng mô hình toán kinh tế.
Xây dựng mô hình toán kinh tế.
Việc xây dựng mô hình toán kinh tế thường được tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho đối tượng kinh tế cần nghiên cứu nghĩa là xác định
các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các quy luật mà các yếu tố kinh tế phải tuân
theo. Nói cách khác là phát biểu mô hình bằng lời, bằng biểu đồ cùng các điều kiện kinh tế, kỹ
thuật, xã hội, tự nhiên và các mục tiêu cần đạt được. Để làm được điều đó cần:
- Xác định mục tiêu nghiên cứu đối tượng kinh tế cần mô hình (mục tiêu nhận thức, phân tích,
dự đoán về đối tượng kinh tế đó).

i/dXj
│, tỷ lệ này cho ta biết khi t
ăng (giảm) Xj một đơn vị thì phải giảm (tăng) mức
Xi bao nhiêu đơn vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số thay thế (cận biên) của Xi
cho Xj.
Nếu dXi/dXj>0 thì ta nói Xi có thể bổ sung cho Xj (tại X=X
0
) và với tỷ lệ dXi/dXj, tỷ
lệ này cho biết khi tăng (giảm) mức Xj một đơn vị thì phải tăng (giảm) mức Xi bao nhiêu đơn
vị để giữ nguyên mức của Y và được gọi là hệ số bổ sung (cận biên) của Xi cho Xj.
- Dựa vào lý luận để quyết định lựa chọn các biến kinh tế và các hệ thức ràng buộc của mô
hình.
- Sử dụng các công cụ toán học để phânt ích mối quan hệ giữa các biến kinh tế, kể cả các quan
hệ tiềm ẩn.
- Xác lập mối liện hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.
- Chọn các biến số đặc trưng cho trạng thái của hệ thống kinh tế cần nghiên cứu.
- Xây dựng các hệ thức toán học thiết lập quan hệ và ràng buộc giữa các biến số và các tham
số điều khiển đối tượng kinh tế cần nghiên cứu.
- Xác định hàm mục tiêu, nghĩa là dặc trưng bằng số biểu thị hiệu quả củahoạt động của các hệ
thống kinh tế đang nghiên cứu.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học đã xác lập ở
bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng,lựa chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù
hợp. Tiếp đó cụ thể hoá phương pháp bằng các thuật toán tối ưu và thử nghiệm giải bài toán
trên máy tính điện tử.
Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, ta có
thể mô phỏng trên máy tính điện tử giả định các tính huống của các biến kinh tế khác liên
quan.
Bước 4: Dựa vào các số liệu thu thập được, mô phỏng trên máy tính các tình huống trong quá
khứ và hiện tại, dự đoán và kểim định sự phù hợp của mô hình đối với lý luận thực tiễn. Để
nâng cao tính hiện thực của mô hình kinh tế đã có, ta có thể thêm bớt, thay đổi vai trò một số

đáp 3 vấn đề cơ bản (sản xuất cái gì, sản xuất cho ai, sản xuất như thế nào).
Thông qua mô hình tối ưu ta có thể phân tích cách ứng xử, hàng vi của các tác nhân
kinh tế khi theo đuổi mục đích của mình.
2.1.2 Một số giả thiết và vấn đề liên quan đến mô hình tối ưu
Sự lựa chọn của tác nhân kinh tế.
Khái niệm về tác nhân:
a. Về mặt nhân sự, năng lực và đặc điểm của hành vi:
Xét về mặt nhân sự: tác nhân kinh tế (chủ thể kinh tế) có thể là một cá nhân, một tập thể người
có đủ năng lực hành vi phù hợp với quy định của luật pháp và tập quán.
Tác nhân có thể là hộ gia đình, doanh nghiệp, công ty, tổ chức chính phủ, phi chính
phủ, một quốc gia
Đối tượng được xem là tác nhân là CON NGƯỜI. Trong quá trình hoạt động - quá
trình ra quyết định - hành vi ra quyết định của đối tượng thường được giả định là hành vi hợp
lý. Hành vi hợp lý được quan niệm như sau:
+ Trong khuôn khổ các điều kiện của bản thân, của môi trường tự nhiên, môi trường xã hội,
đối tượng phải có năng lực nhận thức được những khả năng hoạt động có thể có cũng như khả
năng không thể có.
+ Đối tượng phải xét tới tất cả thông tin có thể tiếp cận được để biết được kết quả của việc lựa
chọn khả năng hoạt động có thể có.
+ Trên cơ sở các kết quả tương ứng với từng khả năng, đối tượng có thể phân loại, sắp xếp các
khả năng theo tiêu chuẩn nhất định của ban thân.
b. Về hoạt động.
Đối tượng nhân sự được coi là tác nhân nếu đối tượng có toàn quyền quyết định lựa chọn khả
năng hoạt động (có thể có) của mình, đồng thời hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả của việc
ra quyết định. Nói cách khác đối tượng có quyền tự chủ, tự chịu trách nhiệm trong hoạt động
của mình.
Sự lựa chọn của tác nhân.
Hoạt động của con người là hoạt động có ý thức và hướng đích
Con người luôn điều chỉnh hoạt động của mình sao cho thích nghi, phù hợp với điều
kiện chủ quan, khách quan liên quan tới hoạt động của mình để đạt được mục đích.

) thì các
biến x
1
,x
2
, ,x
n
được gọi là biến chọn.
Các biến chọn sẽ trực tiếp thể hiện khả năng lựa chọn của tác nhân và chúng là các
biến nội sinh của mô hình.
Ví dụ: Các doanh nghiệp muốn chọn mức sản lượng để tối đa hoá lợi nhuận thì mức sản lượng
là biến chọn của doanh nghiệp để tối đa hoá lợi nhuận; Công ty Kinh Đô muốn chiếm thị
trường tiêu thụ sản phẩm bánh kẹo của mình ở khu vực miền Bắc thì % thị trường chiếm lĩnh
so với đối thủ cạnh tranh là biến chọn của Kinh Đô
* Quan hệ thứ tự ưa thích, biến mục tiêu và hàm mục tiêu.
a. Quan hệ thứ tự ưa thích trên tập chấp nhận.
Nếu tác nhân chọn X

D sẽ đem lại kết quả nhất định. Kết quả có thể là tích cực, tiêu cực. Vì
điều kiện của 1 tác nhân về hành vi hợp lý, tác nhân có thể phân loại, sắp xếp các khả năng
theo thứ tự phù hợp với mục tiêu lựa chọn gọi là thứ tự ưa thích của tác nhân.
b. Biến mục tiêu và hàm mục tiêu.
- Biến mục tiêu z (Objective varialble) của tác nhân thể hiện lợi ích được biến số hoá của tác
nhân khi lựa chọn phương án.
Trong thực tế, nhiều yếu tố lợi ích mang tính định lượng nên dễ biến số hoá, ví dụ: Lợi
ích của hộ gia đình khi chọn mua và tiêu thụ hàng hoá, lợi ích của quốc gia khi hội nhập kinh
tế, lợi ích của dân chúng khi nhà nước thực hiện cải cách hành chính theo các phương án
- Đa mục tiêu khi có nhiều biến mục tiêu (Multi Objective)
- Hàm mục tiêu: là hàm các phương án lựa chọn X trong tập chấp nhận.
z=F(x

(X)≤(≥)b
i
, i=1÷m
x
j
≥0, j=1÷n.
 Mô hình tối ưu đa mục tiêu: Nếu lựa chọn của tác nhân trên tập chấp nhân căn cứ vào
k mục tiêu z
1
,z
2
, ,z
k
và k hàm mục tiêu z
i
=U
i
(X) i=1÷k
Thì mô hình tối ưu có dạng sau:
z
k
=F
k
(X)
→ Max (Min)
(k=1÷K)
g
i
(X)≥(≤)b
i

Giá Mục tiêu
Cung Yếu tố sx
giá
Mục tiêu
2.2.2 Mô hình hàm sản xuất.
* Mô hình mô tả công nghệ (mô hình hàm sản xuất):
a. Khái niệm hàm sản xuất:
Hàm sản xuất biểu thị quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố sản xuất và kết quả (mức
sản lượng).
Hoặc có thể định nghĩa hàm sản xuất như sau: Hàm sản xuất cho một đầu ra Q, dạng
Q=f(X
1
, X
2
, ,X
n
) là một mô hình chỉ ra số lượng cực đại của đầu ra có thể sản xuất được bằng
việc sử dụng kết hợp các yếu tố đầu vào một cách có lựa chọn.
Ví dụ1: Hàm sản xuất Cobb-Douglas mô phỏng sản xuất nông nghiệp nước Áo từ năm 1951-
1955 như sau: Q=2,439X
0,0635
K
0,6172
L
0,3193
trong đó: Q là sản lượng sản phẩm; K là vốn; L là
lao động; X là tài nguyên được khai thác.
Ví dụ 2: Hàm sản xuất mô hình tổng sản phẩm Việt Nam từ 1986-`995 (theo niên giám thống
kê) như sau: Y=75114K
0,175

,,
là các hằng số.
Hàm sản xuất có véctơ sử dụng các yếu tố sản xuất: X=(x1,x2, ,xn) là các biến ngoại
sinh.
Hàm sản xuất Q=F(x
1
,x
2
, ,x
n
) ; mức sản lượng Q là biến nội sinh.
Đường đồng lượng mức Q:
Doanh nghiệp
{X=(x
1
,x
2
, ,x
n
):F(x
1
,x
2
, ,x
n
)=Q}
2.2.3 Mô hình phân tích tác động của các yếu tố tới sản lượng
 Phân tích so sánh tĩnh mô hình.
Hàm sản xuất Q=F(x
1

x
x
F
i
i
Q
x
i




)(
.

- Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j: (i # j)
);,1,(; jinji
MPj
MPi
dx
dx
i
j


b. Khi thay đổi đồng thời mức sử dụng các yếu tố:
Trong dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được quan
tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tuyệt đối hoặc tương đối) thì tác
động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này, ta có thể đề cập đến khả năng tăng
quy mô và hiệu quả với hệ số

* Một số dạng hàm sản xuất:
a. Dạng hàm Leontiev:
- Các yếu tố sản xuất không thể thay thế được cho nhau, tỷ lệ sử dụng các yếu tố sản xuất
x1,x2, ,xn là k1/k2/ /kn không đổi.
Q=min{xi/ki}
- Đường đồng lượng dạng (với 2 yếu tố sản xuất).
b. Dạng hàm tuyến tính:



n
i
ii
xQ
1

Các yếu tố thay thế được hoàn toàn cho nhau, với tỷ lệ thay thế không đổi, đường đồng lượng
(với 2 yếu tố sản xuất) là đường thẳng có độ dốc là tỷ lệ thay thế cận biên của 2 yếu tố.
c. Dạng hàm Cobb - Douglas:
),1(10;0,
0210
21
nixxxQ
in
n




α

= ),1( niQMPxx
x
Q
MPx
iiii
i
ii






Như vậy có thể coi tham số α
i
như là phần “tỷ lệ đóng góp” của yếu tố i trong việc tạo ra mức
sản lượng Q. Vì vậy nếu thực hiện việc phân chia sản lượng Q cho các yếu tố thì chia theo tỷ lệ
α
i
là hợp lý. Vì thế tham số α
i
được gọi là tham số phân phối.
d. Hàm dạng tân cổ điển:
Hàm sản xuất: ),( LKFQ

được gọi là tân cổ điển nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. MP
K
>0; MP
L

- Nếu Q=A(t).F(K(t),L(t)) thì tham số A(t) gọi là năng suất tổng hợp của các nhân tố TFP.
Chứng minh :
LLKKAQ
rrrr





Từ hàm Q=A(t).F(K(t),L(t)) ta lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian có:
dt
tLtKdF
dt
tdA
dt
dQ ))(),(()(

))(),(),(( tLtKtAF
A
dt
dQ

Trong đó,
LK

,
là độ co giãn của sản lượng Q theo K, L. Nếu qua phân tích số liệu ta
xác định được
LQKLK
rrr ,,,,

mô hình sau:
i
w
i
xXMinz



n
1
i
W),(
(1)
F(X)=F(x1,x2, ,xn) ≥ Q ; X ≥ 0
Trong đó: Biến nội sinh z, (x
1
,x
2
, ,x
n
); Biến ngoại sinh: Q, W = (w
1
, w
2
, , w
n
)
Giải bài toán: Sử dụng hàm Lagrange để tìm điều kiện cần của bài toán tối ưu trên: (xem trang
81, tài liệu 1)
 