Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Đề 1:
Câu 1: Cho phương trình 2x 2  2(m  1) x  m2  4m  3  0
1. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2
2.Tìm giá trị lớn nhất của A | x1 x2  2( x1  x2 ) |
Câu 2: Tính tổng: S  a1  a2  ...  a99 , trong đó:
an 

1
, n  1,...,99.
(n  1) n  n n  1

Câu 3: Cho ba số thực a, b, c, d không nhỏ hơn 1 thỏa mãn a2  b2  c2  d 2  16 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P  a 1  b 1  c  1  d  1
Câu 4: Cho số tự nhiên a. Chứng minh rằng nếu (a, 240)  1 thì a4  1 240
Câu 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm nằm trên
đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại điểm M
khác B. PC cắt (O) tại điểm N khác C. BM cắt AC tại điểm E, CN cắt AB tại điểm F.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại
điểm Q khác A.
1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng.
2. Giả sử AP là phân giác của góc MAN. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC.
Câu 6: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 8  8 đã bỏ đi hai ô ở góc đối diện
nhau (góc trên bên trái và góc dưới bên phải) bằng 31 quân đô-mi-nô kích thước 1  2 (các
quân đô-mi-nô có thể xoay ngang, dọc tuỳ ý).

 x(3)
 6 4 2
 z  z  z 1

Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 

x3  y 3  16 z 3
( x  y  z )3

Câu 4: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho 2013k 1 chia hết cho 105 .
Câu 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC (A, B là các
tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không đi qua O). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O.
DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng:
1. CEF CMN
2. OM  ON
Câu 6: Một miếng giấy hình vuông kích thước 29 x 29 được chia thành các ô vuông kích
thước 1 x 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của miếng giấy. Người ta cắt ra
theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước 2 x 2. Chứng minh rằng, từ phần giấy
còn lại ta có thể cắt ra theo đường lưới một miếng hình vuông 2 x 2 nữa?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 2


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


rằng x3  y3  z 3 chia hết cho x  y  z  6 .
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O)
đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt (O) tại F.
1. Chứng minh ABCF nội tiếp
2. Chứng minh AFB  ACB và tam giác DEC cân.
3. Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. Tứ giác CEDH là hình gì ?
Câu 6: Mỗi giải bóng đá đá theo luật sau:
-Mỗi đội đều thi đấu với tất cả các đội khác.
-Hai đội bất kì thì chỉ đấu với nhau đúng một lần.
-Trong mỗi trận đấu, đội thắng được hai điểm, thua không được điểm, hòa thì mỗi đội một
điểm.
Giải đấu kết thúc như sau: Mỗi đội đạt được một số điểm khác nhau và đội đứng cuối
thắng cả ba đội đứng đầu (thứ tự sắp xếp theo điểm). Vậy số đội bóng của giải có thể là 12
đội được hay không?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 3


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 4:
Câu 1: Cho phương trình: mx 2  2(m  1) x  4m  0(1)
1. Giải và biện luận (1)
2. Xác định m để (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :



Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Đề 5:
Câu 1: Cho phương trình : (m  1) x2  2(m  1) x  m  0(1)
1. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có nghiệm kép, tính nghiệm kép ấy.
2. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt đều là số âm.
Câu 2: Giải phương trình:
3x
4x
 2
4
x  x  1 x  2x  1
2

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức : A 

x2  1 y 2  1 z 2  1
1



x
y
z

2. Có đúng ba nghiệm
Câu 2:
1. Giải phương trình: x3  3x 2  3x  1  0
x  y  3

2. Giải hệ phương trình : 

3
3
x  y  9

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M

1
2

x  y  z xy  yz  zx

Câu 4: Cho số nguyên a không nhỏ hơn 2. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên A sao cho
a2001  A  a 2002 và A có ít nhất 600 chữ số tận cùng là 0?
Câu 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C, D. Từ điểm M tùy ý
trên D kẻ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
1. Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
2. Giả sử MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác
COD.
3. Chứng minh AB đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.
MD HA2

4. Chứng minh

1
1


1
4  ab 4  bc 4  ca

Câu 4: Cho số nguyên a không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh rằng:
(a 4  1)(a 4  15a 2  1) 35

Câu 5: Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB cố định, đường kính CD di động khác AB.
Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A lần lượt tại E, F.
1. Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp.
2. Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF.
3. Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau tại G
(khác O). Chứng minh B, A, G thẳng hàng.
Câu 6: Tại 6 đỉnh của một lục giác đều, theo chiều kim đồng hồ, người ta viết 6 số chẵn
liên tiếp. Mỗi lần cho phép lấy ra một cạnh và tăng mỗi số ở hai đỉnh thuộc cạnh đó lên
một đơn vị. Hỏi bằng cách đó có thể làm cho 6 số ở 6 đỉnh lục giác bằng nhau được
không ?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 6: Chứng minh rằng, bảng hình vuông 10 x 10 không thể lát bằng các miếng như hình
sau:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 8


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 9:
Câu 1: Cho phương trình bậc hai :
x2  2 x m2  2m  m2  3m  2  0(1)

1. Định m để pt (1) có nghiệm.
2. Định m để tổng bình phương các nghiệm bằng tích các nghiệm.
3. Định m để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN.
Câu 2: Giải phương trình:

x  2  4  x  x2  6 x  11

Câu 3: Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: abc  bcd  cda  bad  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  4(a3  b3  c3 )  9d3
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7( x  y)  3( x2  xy  y 2 )
Câu 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc nửa đường tròn sao
cho AB  AC . Dựng về phía đối của tia AB hình vuông ACDE. AD cắt nửa đường tròn tại
H, BH cắt DE tại K.

1


1
x3  x2
x  2  x 1
x 1  x

2. Giải phương trình: x4  7x3  12x 2  7x  1  0
Câu 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2  b 2  c 2  1. Chứng minh rằng :
ab  2c 2
bc  2a 2
ca  2b2


 2  ab  ac  bc
1  ab  c 2
1  bc  a 2
1  ca  b2

Câu 4: Cho số tự nhiên n. Đặt A  2  2 28n2  1 . Chứng minh rằng nếu A
chính phương.

thì A là số

Câu 5: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Một đường tròn
(O) thay đổi qua A và B. Gọi DE là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với AB.
CD và CE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Khi (O) thay đổi thì hai điểm M, N di
động trên đường cố định nào?
Câu 6: Cho 5 đường tròn trong đó mỗi bộ 4 đường tròn đều có 1 điểm chung. Chứng minh

x1  x2  (m  1)
m 2  4m  3
x1 x2 
2
m 2  4m  3
1
 A
 2(m  1)  | (m  4)2  9 |
2
2

Do 5  m  1 nên 1  m  4  3
Suy ra 0  (m  4)2  9 và 0  A 
Vậy, MaxA 

9
2

9
2

Câu 2: Ta có:
an 

1
n 1  n
1
1



2
2 2 4
8

Tương tự đối với các số b, c, d không âm:
b 1 

b2  4
c2  4
d2  4
; c 1 
; d 1 
8
8
8

a 2  b2  c 2  d 2  16
4
8
Vậy MaxP  4 khi và chỉ khi a  b  c  d  2

Do đó: P  a  1  b  1  c  1  d  1 

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 12


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán


Mặc khác:
MQE  MAE  MAC  MBC  PBC

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

NQF  NAF  NAB  NCB  PCB
 EQM  EQF  FQN  PBC  BPC  PCB  180o

Vậy, M, Q, N thẳng hàng.
2. Vẽ đường cao CI, BJ của tam giác ABC. EF cắt PQ tại G.
Do các tứ giác AMEQ, ANFQ nội tiếp và QEPH là hình bình hành nên:
QAM  QEP  QFP  QAN . Do đó, AP là đường phân giác góc MAN.
Vậy Q, A, P thẳng hàng.
Gọi giao điểm của AP với BC là K.
Ta có:
IHJ  BHC  BPC  FPE  IHJ  FPE

mà IHJ  IAJ  180o
vậy tứ giác FPEA nội tiếp.
EFP  EAP  EAQ  EMQ  EMN  BMN  BCN  EF//BC
FG AG GE

x 2  ax  (b  2)   2  0
x x
1
1

 x 2  2  a  x    b  2  0(3)
x
x


1
x

1
1
 2  x2  2  u 2  2
2
x
x
2
Phương trình (3) trở thành: u  2  au  b  2  0

Đặt u  x   u 2  x 2 
 u 2  au  b  0(4)

Vì pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 nên pt (4) cũng có 2 nghiệm phân biệt u1 , u2 .
1
x

Xét phương trình u  x   x 2  ux  1  0(5)

Vì vậy : M 

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

x3  y 3  16 z 3
 a3  b3  16c3
3
( x  y  z)

1
3
 (a  b)3  (a  b)(a  b)3  16c3
4
4
1
1
 (a  b)3  16c3  (1  c)3  16c3
4
4
1
17
17 
16 16
 (63c3  3c 2  3c  1)   c   (9c  1)2  
4
49
81 
81 81
4


Trang | 16


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1.Ta có:
DEC  DBC  OAC  Tứ giác ACNE nội tiếp  CMD  CAE
CFD  CBD  CAN  Tứ giác ACNF nội tiếp  CND  CAE
 CND  CMD . Do đó hình thang CMND (NM//CD) nội tiếp nên đó là hình thang cân.
 CNM  EDC  CFE(1)

lại có: CMN  180o  CMA  180o  CEA  CEF (2)
Từ (1) và (2)  CEF CMN  dpcm
2. Tứ giác CMND là hình thang cân nên CNM  NMD
Mà CNM  BNM nên BNM  NMD
 BN//DM
mà DM  CN  BN
Nên tứ giác BMDN là hình bình hành.
Vậy OM  ON  dpcm
Câu 6:

Tô màu như hình bên (đây là một phần của bảng đã cho). Mỗi lần cắt chỉ phạm đúng một ô
hình vuông màu (tức 4 ô vuông màu). Có tất cả:

29  1 29  1
.

4
4
3


2

 x


4
x 1 x  3  0
 x  3  1   0




4 2
4



2. Với điều kiện trên, ta có phương trình:
2

3
x 1 x   x  a 
4

 x

1

a

4
 a  1  1  0 a  1  1


2 4
2 2

Từ (*) ta có:
x

3 1
1
  a
4 2
2

3
1 1
3 
1 1
 x   a    x    a   
4
2 2
4 
2 2



Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 18


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

u  3 x  24
Đặt 

ta có hệ phương trình sau:


v  12  x ;(v  0)

u 3  v3  36(2)

u  v  6(3)

Từ (3), dùng phép thế v  6  u vào (2)
u  0  x  24
u  u  12u  0  u  4  x  88
u  3  x  3
3

2

2
2
2
 x  y  z   x  y    y  z    z  x  
2
1
  x  y  z  xyz
2
1
1
Nên: x3  y 3  z 3  xyz  x  y  z  6  . Do xyz là số nguyên, do đó x3  y3  z 3 chia
2
2
hết cho x  y  z  6  dpcm


Câu 5:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 19


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1. Tứ giác ABCF có BAC  BFC  90o ( và cùng nhìn cung BC với hai góc bằng nhau)
 ABCF là tứ giác nội tiếp.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 4:
Câu 1: mx 2  2(m  1) x  4m  0(1)
1. Giải và biện luận (1):
*m  0.(1)  2x=0  x=0
*m  0 :

'  (m  1)2  4m2  (m  1)(3m  1)
m  1
'0 
 m  1
3

2  m  1
m 1 

(1) có nghiệm kép x 
 2  m  1
m
3

1
'0
 m 1
3
2
(1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  ; x2  2
m



2
2
 m  và m  0 thỏa bài toán
7
3

Câu 2:
 x 2  2x  3  0

Điều kiện: 

x 1  0

Ta có:


 x 1

( x  1)2  22
x 2  2x  3
 3 x 
 3 x
x 1
x 1

( x  3)( x  1)
x 1

 x3 x3  x3

 (a  b  c  5)2  13  13

1
2
Vậy min A  1002

1
2

Do đó, A  (13  a 2  b2  c 2 )  (13  2017)  1002

Câu 4:
Ta có: A 

x2  x
x2  x  1 1
1

 1 2
.
2
2
x  x 1
x  x 1
x  x 1

Khi đó, để A nhận giá trị nguyên thì 1 x2  x  1 .
Do đó: x2  x  1  1 và x2  x  1  1
Vậy x {0;-1}
Câu 5:




 MA.BC  MB. AE
MB BC MC

Cộng hai ý trên lại, ta có AC  AB 2  MA  MC  AB.

AC
AB

Do AC là đường chéo của hình vuông nên AC  AB 2  dpcm
Câu 6:

Do đa giác đều có 7 điểm là số lẻ nên khi tô màu các đỉnh bằng hai màu xanh và đỏ thì
không thể xảy ra trường hợp các màu xen kẽ. Luôn tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng màu
(giả sử xanh).
Xét 4 điểm G, A, B, C (như hình). Giả sử A và B được tô màu xanh.
-Điểm G hoặc C đều màu xanh xem như bài toán đã được chứng minh.
-Điểm G và C cùng màu đỏ, ta xét thêm điểm E.
+Nếu E được tô màu xanh, ta có tam giác ABE thỏa yêu cầu bài toán.
+Nếu E được tô màu đỏ, ta có tam giác ECG thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy, luôn tồn tại tam giác cân cùng màu theo ycbt.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 23


Bồi dưỡng HSG lớp 9

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

(m  1) 2  m(m  1)  0
(m  1)(2m  1)  0
 '0



 m
 m
 P  0  
0

0
m

1
m

1
S  0



 2(m  1)
2  0
 m  1  0
1
 0  m  thỏa ycbt.
2

( x 2  1)( y  z ) ( y 2  1)(z x) ( z 2  1)( x  y)


x
y
z

( x 2  1)( y  z ) ( y 2  1)(z  x) ( z 2  1)( x  y)
 5


x
y
z

 5  2( y  z)  2( z  x)  2( x  y)  5  4( x  y  z)
 A

5
4
x yz

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 24