www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết
trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay
và khó nhất trong đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để
làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường
dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều
phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán
cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.
Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư
tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số
cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua
ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài
toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình.
Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn
rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và
tìm GTLN, GTNN.
1. Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.
Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm cực trị để tìm mối quan hệ giữ chúng rồi
tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát.

nhất của biểu thức:
=2

+

−

− +

−

3
=2

+

2−

−3

- Từ giả thiết: + −2 =2⇒ =
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn


−2
−3

3
2

=−

−

+6 +3

2

⇒ + ≤ 4 ⇒ −2 ≤ ≤ 2

Xét hàm số: =− − + 6 + 3 với −2 ≤ ≤ 2
Ta có:

= −3 −3 +6

Ta có bảng biến thiên
t

-2

1

1
Vậy:

;

=

√
√

−7; 1 = −7 khi

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

=

= −1

2


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

thức:
=4

+3


= 16

−2

−

+ 34

+ =1

+ 12

Đặt xy = t. Ta có: do ≥ 0, ≥0 ê 0≤ ≤

+

+

=1

= ⇒ 0≤ ≤

Xét hàm số: = 16 − 2 + 12 với 0 ≤ ≤ . Ta có:

= 32 − 2

Bảng biến thiên
t

0

=

;

=

√

=

=

0;

;

12;

Gv Thái Văn Duẩn

√
√

khi

=

=3 + + −2 + +1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện: +



+ −2 + +1

−2 + +1
+ ≥

hay

≥

+ −2 + +1

- Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được
+
-

+

≥

Theo bất đẳng thức hiển nhiên: + ≥4 , nên từ
+

+4

≥2⇒

+

+

+

+2 ≥0

⇒ x+y - 1≥ 0
do

+

+

+

+2=

+

+

+ > 0, ∀ ,

Bài toán được đưa về tìm min, max của:
=3
+
+

−2

+


−2

+

+1

do x+y ≥ 1 nên + ≥
+

Ta có: = − 2 + 1 với ≥
=

⇒

−2

Ta có bảng biến thiên:
t

f’ t
+∞
Vậy min

=

=

xẩy ra khi t =

Suy ra ≥ . Mặt khác ta dễ thấy = = thì =

=

-

ty ⟹ =

-

+ + −+ + 1
=

=

= +

;= =

Từ giả thiết, ta có:
1
1
= + =
=

+

+
= +

=


;= =

Từ đó
1
= + =
Xét hàm số:
=

+2 +1
− +1

1

+2 +1
− +1

ó
− +1

=

−3

+3

Ta có bảng biến thiên:
t

−∞


=

=.

2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.
cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán
biến mà ta cần tìm GTLN, GTNN dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được
Sơ đồ tổng quát
• Bước 1: Xem P x, y, z là hàm theo biến x, còn y, z la hằng số. Khảo sát
,, ≥ , ặ ,, ≤ ,
• Bước 2: Xem g y, z là hàm biến y, còn z là hằng số. Khảo sát hàm nàyy với
điều kiện T. Ta được , ≥
ặ , ≤
• Bước 3: Cuối cùng Khảo sát hàm một biến h z với điều kiện T tìm min,

ặ

,, ≥ , ≥ ≥
≤
, ≤

,,

≤

nhất của biểu thức:
=

2 +3


= 2 +3 +

+

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số.
−
= + + +

=

−
+

≥

Theo giả thiết: ≥ ⇒ − ≥ 0 nếu ≥0⇔

−
+
do x, y, z ∈ 1; 4

t

P’ z

-

0

min


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

=
Đẳng thức xẩy ra:

Vậy: = ℎ

⇒ = 4,

=

=2

= 4,

= 1, = 2

= 1, = 2

thức:
=+++++
Hoạt động khám phá:
, ≤ℎ


Mặt khác
−
= + + +3 = +

3
+3 ≤0

−3 3 −

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

9


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Do đó: g c giảm trên ;3
⇒

≤

1
3
=
3

Ta có bảng biến thiên:
b

1

h’ b

+

-

Suy ra ℎ ≤ℎ 1 =
Vậy: , , ≤ 3, , ≤ 3, , ≤ 3, 1, = khi = 3; = 1; = .
• Trường hợp 2: ≥ ≥ và , , ∈ ;3
Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: , , ≤
Mặt khác:
,, − ,, =
−
−
= + + + ≤0
⇒
Vậy

,,

−

≤ 8
5


3

1−

=


0⇒ < à = 1−
Thay vào biểu thức P ta được:
2

+2 −1
= 1+ 1+ =0
⇔ =− +√ + 1 ∈ 0,
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

11


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

Bảng biến thiên:
x 0

fx

Khi đó: Từ bảng biến thiên
≤

=

√1 +

3
2
≤


+
Từ bảng biến thiên suy ra:

≤
⇒

≤

≤

=

10
3

Vậy với
√

=, √2ℎì

√

=
SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

12


www.VNMATH.com


-

à

-

+2 + =

-

>

≥ ≥ =2 + +
=

Ta đi đến kết luận: ≥

≥

≥

Đặt:
1
1
1
= , = , = ⇒ , , > 0; 2 + 8 + 21 ≤ 12 à = +2 +3
Từ:
2 +8


=

+

Gv Thái Văn Duẩn

∈

, +∞

9 32 + 14
+
4
2

=

Bảng biến thiên:
x

f
Khi đó: Từ bảng biến thiên
≥

≥

=2 +

=


SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

14


www.VNMATH.com

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

≥

⇒

Gv Thái Văn Duẩn

5 15
=
4
2

≥

Vậy với:
= , = 3, = ⇔ = , = , = ℎì

=

Tìm giá trị nhỏ nhất của: =3 + + +4
Hoạt động khám phá:


+2

2 −3

Măt khác:
≤

=

⇒ 2 −3 ≥

2 −3 ì < ⇒2 −3

1 = 13 khi

= 1,

= 1,

=1

Vậy min P =13 khi c = 1, a = 1, b = 1.

Thí dụ 10: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau: + + =4
Chứng minh rằng:

-

183 − 165√5 ≤

+

=2

+
≤ 18
Đề thi Olympic Toán THPT Việt Nam –

=++
,

,


KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

+ ≥4 ⇔ 4− ≥ ⇔ −8 + 16 − 8 ≥ 0 ⇔ −2 −6 +

-

⇔ 3 − √5 ≤ ≤2
=
4−
+ trên đoạn 3 − √5; 2 , ta có

=
√
√

183 − 165√5 ≤ + + ≤ 18

Cho , , ≥0
+ + =1
Tìm GTLN của = + +
ẩ

ℎ

=,


Đáp số: min = ẩ

ℎ ===

Cho , , ∈ 1; 2 . Chứng minh rằng:
+

1

+

+

1

+

1

≤ 10

Tìm GTNN của:
=

+

−

+


Gv Thái Văn Duẩn

+≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
=+++++
Đáp số: min
C. Kết luận

=

ẩ

ℎ

=

=

=


1

1

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 12

1