SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

MỤC LỤC
Trang
A – MỞ ĐẦU............................................................................................. 2 – 3
B – NỘI DUNG ........................................................................................4 – 20
I.Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề...................................................4 – 8
1.Một số kiến thức cơ bản về Hình Học phẳng .................................4
2.Một số kiến thức cơ bản về Hình Học không gian .........................7
II.Một số kinh nghiệm thực tế trong quá trình giảng dạy .............9 – 18
1.Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy................................................................................10
2.Vấn đề 2: Trong khối đa diện có hai mặt bên cùng vuông góc với
mặt phẳng đáy................................................................................12
3.Vấn đề 3: Trong khối đa diện có một mặt bên vuông góc với mặt
phẳng đáy.......................................................................................13
4.Vấn đề 4: Trong khối đa diện có tất cả các cạnh bên cùng tạo với
mặt phẳng đáy một góc bằng nhau hoặc có tất cả các cạnh bên bằng
nhau ...............................................................................................14
5.Vấn đề 5: Trong khối đa diện có tất cả các mặt bên cùng tạo với
mặt phẳng đáy một góc bằng nhau .................................................16
III.Kết quả thực dạy...............................................................................19
C – LỜI KẾT..................................................................................................21

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 1


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT


Trang 2


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. Với những kinh nghiệm thu thập được tôi xin giới
thiệu để quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo và thảo luận.
II – Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:
1. Thu thập thông tin từ thực tế giảng dạy.
2. Thống kê các bài kiểm tra, bài thi để đánh giá mức độ hiệu quả của đề tài.
3. Trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp để rút kinh nghiệm.
4. Dự giờ đồng nghiệp, mời đồng nghiệp dự giờ để cùng trao đổi và thảo
luận.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 3


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết cơ bản của vấn đề:
Nhìn chung các bài toán liên quan mảng kiến thức Hình Học không gian là
khá rộng lớn, trong giới hạn của bài viết này tôi chỉ xin trình bày các vấn đề liên
quan đến kỹ năng xác định đường cao và một số tính chất cơ bản nhằm tính
được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy trong khối đa diện để giải quyết bài
toán “Tính thể tích khối đa diện” trong chương trình môn Hình Học 12, giúp
học sinh làm tốt bài toán “Hình học không gian” trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Nếu tứ giác có hai đường chéo d1, d2 vuông góc nhau thì có diện
tích là:
 Hình thang:
Nếu hình thang có chiều dài hai đáy lần lượt là a, b và có đường
cao h thì có diện tích là:
 Hình chữ nhật:
Nếu hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b thì có diện tích
là: S = a.b
 Hình vuông:
Nếu hình vuông có chiều dài cạnh là a thì có diện tích là: S = a2
(SGK Toán 8 – Tập 1)

c.

Tính chất 3: (Công thức chung để tính diện tích đa giác lồi)
Việc tính diện tích đa giác bất kỳ ta thường chia chúng thành các

tam giác có cạnh là cạnh của đa giác đó để tính.
(SGK Toán 8 – Tập 1)
d.

Tính chất 4: (Định lý Talet - Tính chất đồng dạng của tam giác)
 Định lý Talet (thuận):
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 5

3. h2 = b’.c’

7.

4. b.c = a.h

(SGK Toán 9 – Tập 1)
 Định lý hàm sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

 Định lý hàm cosin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 6


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

(SGK Hình Học 10 – CB)

2. Một số kiến thức cơ bản về Hình Học không gian:
a. Tính chất 1: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học
phẳng đều đúng.
(SGK Hình Học 11 - CB)
b. Tính chất 2: Công thức tính thể tích khối đa diện (Khối lăng trụ và

nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc
với mặt phẳng kia.
(SGK Hình Học 11 – CB)
 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
(SGK Hình Học 11 – CB)
 Nếu các cạnh bên trong một khối chóp cùng hợp với mặt đáy của
khối chóp đó một góc bằng nhau hoặc tất cả các cạnh bên bằng nhau
thì chân đường cao hạ từ đỉnh đến mặt phẳng đáy trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa giác nằm trong mặt phẳng đáy đó.
(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)
 Nếu các mặt bên trong một hình chóp cùng hợp với mặt đáy của
hình chóp đó một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ đỉnh đến
mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp của đa giác nằm
trong mặt phẳng đáy đó.
(Tính chất này chứng minh dựa vào tính chất tam giác bằng nhau)
e. Tính chất 5: Tỉ số thể tích của hai khối đa diện
 Để giải các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích của hai khối đa
diện, ta phải phân chia chúng thành các khối chóp tam giác để áp
dụng tính chất cơ bản sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên 3
cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ tùy ý không trùng
với S.
Lúc đó:
(Bài tập số 4 – trang 25 – SGK Hình Học 12 – CB)
 Một khối lăng trụ tam giác luôn được phân chia thành 3 khối tứ
diện có thể tích bằng nhau.
(SGK Hình học 12 – CB)
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 8

kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại Học, Cao Đẳng.
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 9


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

1. Vấn đề 1: Trong khối đa diện có một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy.
 Phương pháp: Nếu trong khối đa diện đã có một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng mà ta chọn làm mặt đáy thì đường cao
của khối đa diện hoặc song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC bằng 2a. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Giải
S

A
D

B
C

Diện tích mặt đáy là hình vuông ABCD và đường cao là SA
Ta có:
VS.ABCD = 1/3.SABCD. SA
Mà SABCD = a2 và
Vậy: V S.ABCD =

đường cao MH của khối chóp M.BCD phải song song với SO (H thuộc cạnh
AC)
1
3

Ta có: VM .BCD  .SBCD .MH
1
2

Mà SBCD  CB.CD.sin 600 

a2 3
4

Ta lại có MH song song với SO, nên:
MH CM 1


SO
CS
4
1
1
 MH  SO 
SC 2  OC 2
4
4
1

SC 2  ( DC .cos30 0 ) 2

Giải
S

A

a

300

B

C
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vậy khối chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC và đường cao là SA.
Ta có: V  1 S ABC .SA  1 ( 1 AB. AC.sin 600 )( AB.tan 300 )  a
3

3 2

3

12

Bài toán này thì bước 3 trong quy trình 3 bước thực hiện khá đơn giản,
tuy nhiên khó khăn ở đây chính là bước 1, học sinh phải có kiến thức hình học
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 12



Vì (SAD) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến là AD nên từ S dựng SH
vuông góc với AD tại H. Suy ra SH vuông góc với (ABCD), hơn nữa tam giác
SAD cân tại S nên H là trung điểm của AD. Vậy khối chóp S.ABCD có mặt đáy
là hình chữ nhật ABCD và đường cao là SH.

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 13


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Ta có:
1
VS . ABCD  S ABCD .SH
3

Mà: SABCD = AB.AD = 2a.a = 2a2
SH  HC  DC 2  DH 2 

1
3

a 17
2

Vậy: VS . ABCD  S ABCD .SH 

a3 17

B
120 0

a

A
Gọi H là chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng (ABC). Lúc đó, ta có:
  SBH
  SCH
  300 SHA  SHB  SHC  HA  HB  HC
SAH

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Vậy khối chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao là SH.
Ta có:
1
VS . ABC  SABC .SH
3

Mà:
2
1
a 3
SABC  . AB. AC.sin BAC
2
4

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC, ta có:
AC
AC


Trang 15


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

A

B
H
C

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A’ đến mặt phẳng (ABC)
Ta có:

A ' A  A ' B  A ' C   A ' HA   A ' H B   A ' H C  H A  H B  H C

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC và đường cao
chính là A’H.
Ta có: VABC.A' B'C '  SABC .A' H
Mà:
SABC

1
a2 3
0
 AB. AC.sin 60 
2
4

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, BC = 7a. Các mặt
bên (SAB), (SBC) và (SCA) của hình chóp cùng tạo với đáy một góc 600. Tính
thể tích khối chóp S.ABC.

Giải
S

A

I
K

H

B
J

C
Gọi H là chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng (ABC).
Trong mp(ABC) hạ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với AB, BC và AC
  SJH
  SKH
  600
Lúc đó: SIH

Do đó, ta có:

 SH I   SH J   SHK  H I  H J  H K

Suy ra chân đường cao H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

làm tiền đề quan trọng trong việc giải quyết bài toán “Tính thể tích khối đa
diện”. Ngoài việc định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp xác
định đường cao của khối đa diện như trên (Phương pháp tính trực tiếp bằng
công thức) thì trong quá trình dạy học về bài toán “ Tính thể tích khối đa diện”
chúng ta cũng chỉ cho học sinh các phương pháp bổ trợ cho việc tính thể tích
của khối đa diện thông qua việc phân chia, lắp ghép và dùng tỉ số thể tích để
giải toán (Phương pháp gián tiếp). Ngoài ra chúng ta cũng phân tích để học sinh
nhận biết được các khối chóp đều là trường hợp đặc biệt của vấn đề 4, nên cách
xác định đường cao của khối chóp đều hoàn toàn giống với vấn đề 4 nêu ở trên,
hơn nữa các khối chóp đều thì việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt
đáy là khá đơn giản. Đối với khối lăng trụ thì lăng trụ đứng và lăng trụ đều có
đường cao là cạnh bên của lăng trụ đó, cho nên học sinh chỉ gặp khó khăn khi
xác định đường cao của khối lăng trụ thường (lăng trụ có cạnh bên không vuông
góc với mặt phẳng đáy), trong trường hợp này chúng ta có thể định hướng cho
học sinh cách xác định đường cao của khối lăng trụ thông qua đường cao của
khối chóp có mặt đáy nằm trong mặt đáy của khối lăng trụ và đỉnh của khối
chóp chính là đỉnh của khối lăng trụ đó. Nếu giáo viên có thể trang bị cho học
sinh hệ thống các kiến thức cơ bản về bộ môn này tôi tin rằng không chỉ học
sinh có học lực khá giỏi, mà học sinh có học lực yếu hơn cũng có thể giải được
bài toán này trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, ngoài ra đây là các kiến thức và
kỹ năng rất cần thiết giúp các em chủ động, linh hoạt trong việc phân tích, lập
luận để có thể giải được các bài toán Hình Học không gian trong các kỳ thi
Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 18


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng. Tuy nhiên để giải tốt các bài toán Hình Học

4
5
3
2

Tổng số HS
121
153
148
183
122
70

Số HS đạt 8 trở lên
17
21
23
43
39
27

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

%
14,0
13,7
15,5
23,5
31,9
38,6

2006-2007

121

22

18,2

497

96

19,3

2007-2008

153

27

17,6

456

74

16,2

2008-2009


73

59,8

489

247

50,5

Kết quả cá nhân

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 20


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

Kết quả toàn trường
C. LỜI KẾT
Dạy và học là một quá trình tương tác giữa thầy và trò,mà ở đó giáo viên
đóng vai trò là người hướng dẫn để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách
tích cực chủ động, sáng tạo. Không phải học sinh nào cũng có trình độ tiếp thu
kiến thức như nhau vì vậy giáo viên phải luôn là người tìm tòi, sáng tạo các
phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình.
Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT bài toán “Hình học không gian” không phải quyết
định chất lượng kết quả cho toàn bài thi, hơn nữa đây là dạng câu hỏi đòi hỏi
mức độ vận dụng khá cao, vì vậy nếu học sinh làm tốt bài toán này sẽ có cơ hội
để đạt được điểm số cao trong môn Toán, giúp các em tự tin hơn trong kỳ thi

5. Sách giáo khoa Hình Học 11 (CB) – Trần Văn Hạo (TCB)
6. Sách giáo khoa Hình Học 11 (NC) – Đoàn Quỳnh (TCB)
7. Sách giáo khoa Hình Học 12 (CB) – Trần Văn Hạo (TCB)
8. Sách giáo khoa Hình Học 12 (NC) – Đoàn Quỳnh (TCB)
9. Phương pháp dạy học Toán – Trần Khánh Hưng ( ĐH Huế)
10.

Toán nâng cao Hình Học THPT (tập II) – Phan Huy Khải

11.

Toán nâng cao Hình Học Không Gian – Ngô Viết Diễn

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 22


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

PHỤ LỤC
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG CÁC ĐỀ THI
TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
(Từ năm học 2008 – 2009 đến 2010 – 2011)
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
với AD = CD = a, AB = 3a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên
SC tạo với đáy một góc 45 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
(Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt
SBC

phẳng (SAC) theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối D năm 2011)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM
theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh CĐ – năm 2011)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
. Tính thể tích
khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối A năm 2010)
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai
mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính
thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
theo a.
(Trích đề thi tuyển sinh ĐH - khối B năm 2010)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 24


SKKN năm học 2011- 2012 - Đề tài: Giúp học sinh làm tốt bài toán “Tính thể tích khối đa diện” trong kỳ thi TN THPT

thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện
AMNP.
(Trích đề thi tuyển sinh CĐ – năm 2009)

___________________ Hết ___________________

Người thực hiện: Nguyễn Tiến Định – Tổ trưởng tổ Toán – Trường THPT Thanh Hòa

Trang 25