Chuyên đề III: Hàm số và đồ thị

1. Hàm số bậc nhất và qui về bậc nhất
1.1. Kiến thức cần nhớ:
a. Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b
trong đó a, b là các số cho trớc và a 0
b. Tính chất: Hàm số y = ax + b (a 0)
+ TXĐ:
x R

+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R.
+ Đồ thị của hàm số là một đờng thẳng đi qua M(0, b) và N(
b
a

, 0)
1.2. Những điều cần l u ý:
* Nếu b = 0 ta có hàm số y = ax có đồ thị là một đờng thẳng đi qua O(0, 0) và M(1, a).
* Nếu a = 0 ta có hàm số y = b là hàm hằng.
* Đồ thị hàm số y = ax + b là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax và cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b (b là tung độ gốc)
*Đờng thẳng y = ax + b (a 0) có hệ số góc là a
+ a > 0

0<

< 90
+ a < 0



-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

y = ax +b ( a < 0 )
O
(0;0)
f(x)=2x+1
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y = ax+b
( a > 0 )
O
(0;0)
1.3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong các hàm số biến x dới đây, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Tại sao?
a) y = 3x - 1 d) y = mx m

2
+
2
)x -
2 2
+ 1 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = m
2
+
2

0
d) y = mx m
2
+
2
- x
y = (m - 1)x m
2
+
2

Hàm số này cha hẳn đã là hàm số bậc nhất vì nếu m = 1 thì hàm số có dạng y =
2
- 1 là
hàm hằng.
e) y =
2
3 1x
x


a = 1 -
2
Vậy a = 1 -
2
Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ oxy cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4).
Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đờng thẳng đi qua A và B. Chỉ ra hệ số góc của đờng
thẳng.
Giải:
* Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua A và B có dạng: y = ax + b (a

0) (*)
Vì đờng thẳng đi qua A(1; 2) ta có: 2 = a.1 + b

a + b = 2 (1)
Vì đờng thẳng đi qua B(3; 4) ta có: 4 = a.3 + b

3a + b = 4 (2)
Ta có hệ
2 1
3 4 1
a b a
a b b
+ = =



+ = =

Vậy đờng thẳng cần tìm là : y = x +1 có hệ số góc là a = 1
Ví dụ 4: Cho hàm số y = (k + 1)x + k. Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là


7558
1.4. Các bài tập tự luyện:
1. Xác định hàm số y = - 2x + b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm M(3, -5)
2. Cho hàm số: y = (a - 1).x + a
a) Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Xác định hàm số biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-2.
c) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm đợc.
3. Cho hàm số: y = ax + 6 (d)
a) Xác định a biết rằng đờng thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm đợc.
c) Tính giá trị của hàm số tìm đợc ở câu a biết x =
1
3
d) Tính x biết y =
2
theo hàm số đã xác định ở câu a.
4. Cho hàm số: y = (m - 1).x + m
f(x)=4x +3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x

- Trục đối xứng: Oy
- Nếu a > 0: parabol quay bề lõm lên phía trên nhận O(0; 0) làm điểm thấp nhất (điểm cực tiểu)
- Nếu a < 0: parabol quay bề lõm xuống phía dới nhận O(0; 0) làm điểm cao nhất (điểm cực
đại)
* Cách vẽ đồ thị hàm số: y = ax
2
(a

0)
- Đặt đỉnh tại O(0; 0)
- Xác định các điểm (1; a); (-1; a); (2; 4a); (-2; 4a); (3; 9a) ; (-3; 9a)
- Vẽ parabol đi qua các điểm trên.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số: y = -3x
2
A. Hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x < 0.
B. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x > 0.
Chọn kết qủa đúng trong hai kết qủa trên.
Đáp số: A
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =
2
1
3
x
a) Tính f(5); f(-5); f(3); f(-3) và rút ra nhận xét.
b) Tính x khi f(x) = 1; f(x) = 3; f(x) = 9
Giải:
a) f(5) =
2
1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
O
(0;0)
y = ax
2
( a < 0 )
f(3) =
2
1
.3 3
3
=
f(-3) =
2
1
.( 3) 3
3
=
=> f(3) = f(-3)
b) f(x) = 1

2
= 9

3
3
x
x
=

=


f(x) = 9


2
1
9
3
x =


x
2
= 27


3 3
3 3
x

2
= 4


2
2
m
m
=

=


Vậy m = 2 thì hàm số (2) đi qua A(1; 2)
b) Nếu m = 2 ta có hàm số: y = 2x
2
Nếu m = - 2 ta có hàm số: y = 2x
2

Vậy ta có hàm số y = 2x
2

* Vẽ đồ thị hàm số y = 2x
2

Với x = 1 thì y = 2
Với x =
1
2
thì y =

1
2
x
x = 1 thì y =
1
2


x = 2 thì y = -2
f(x)=2x^2
f(x)=-2x^2
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
O
(0;0)
y = 2x
2
y = -2x
2
f(x)=-1/2 * x^2
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2