Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 7
Bài toán số 1:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các điểm E, D thuộc các cạnh AB, AC sao
cho AE =
1
3
AB và AD =
1
3
AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy.
1. Phân tích bài toán:
MB = MC
GT AE =
1
3
AB
AD =
1
3
AC

KL AM, BD, CE đồng quy
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để chứng minh được AM, BD và CE đồng quy, chẳng
hạn như gọi O là giao điểm của OM và BD, khi đó ta dễ dàng nhận ra O là trung điểm của
AM. Ta chỉ cần chứng minh CE phải đi qua O bằng cách nhận xét MK là đường trung
bình của tam giác EBC và EO là đường trung bình của tam giác AKM .
2. Lời giải (tóm tắt):
Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB.
Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC.
Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có : MQ // BD
Xét tam giác AMQ có:

B
A
Q
D
E
M
O
}
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 7
V
ABC, A’ là trung điểm BC
AD // BC, DC // AB
GT B’C’ // AD
KL AA’, BB’, CC’; cùng đi qua một điểm
Xét
V
B’AD và
V
B’CB có
·
·
ADB' B'BC=
(AD// BC)
AD = BC ( tính chất đoạn chắn )
·
·
DAB' B'CB=
( AD// BC)
Vậy
∆

⊥
= = = =
V
KL AH, BE, CD đồng quy.
GV:Đỗ Văn Phú
y
x
C
B
A
C'
D
A'
B'
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 7
Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC.
Gọi M là giao điểm của IB và DC
Xét
V
ABI và
V
BDC có
BA = BD (gt);
·
·
BAI DBC=
( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
AI = BC (gt)

Vậy

Chứng minh tương tự ta cũng có BE
⊥
IC
V
BIC có IH, CD, BE là ba đường cao nên IH,CD, BE đồng quy.
Bài toán số 4:
Cho hai đường thẳng cắt nhau tại O. trên đường thẳng thứ nhất lấy ba điểm A,B,C
saôch : OA = AB = BC.
Trên đường thẳng thứ hai lấy ba điểm D,E,F sao cho : OD OE = EF
Chứng minh rằng AD, BF,CE cắt nhau tại một điểm.
Hướng dẫn giải:
GV:Đỗ Văn Phú
Trường THCS Tân Thành Chuyên đề nâng cao Toán 7
GT a cắt b, OA = AB = BC
OD= OE = EF
KL AD, BF, CE đồng quy.
Gọi I là giao điểm của BF và CE ; AE là đường trung bình của
V
OBF nên AE // BF
V
ACE ; AE//BI; AB= BC
Suy ra CI= IE
V
DCE có CO là trung tuyến, CA =
2
CO
3
(OA=AB=BC)
nên A là trọng tam của
V

Xét
V
BFC và
V
CEB có:
BF = CE (gt)
· ·
ABC ACB=
(gt)
⇒

V
BFC =
V
CEB (c. g .c)
MB = MC (gt)
Suy ra
$
µ
O
F E 90= =
do đó CF
⊥
AB.
AM là trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên AM
⊥
BC.
Suy ra AM, BE, CF là ba đường cao của
V
ABC nên chúng đồng quy.