Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

----------------------ĐOÀN VĂN SOẠN

ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 16.




Header Page 2 of 16.

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠

➜♦➭♥ ✈➝♥ s♦➵♥

➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❧✉♠✲♦❡tt❧✐
✈➭ ♠ét sè ♠ë ré♥❣


✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❈❤➢➡♥❣ ✷

✺
✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐
✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛
✷✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✸✳ ▼ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐

❈❤➢➡♥❣ ✸





Header Page 4 of 16.

ở

t tứ ế ệ t tứ ó ề
ể t tứ ế ệ ớ ề ứ ụ
ợ ứ từ ữ s ủ tế ỉ trớ t tứ
s ợ ố t út sự ú ý ủ ề
ứ tr ĩ ự tí tế ở sự ũ ớ t tứ ế
ệ ứ ụ s rộ ủ ó ì ờ t tì
ết ố ết q ớ tr ột ết q ết q
t ủ sự ết ố ủ rsrrt
tt ố ột ết q tế t ề sự ết ố
ết q ợ t ớ ứ ủ t ó
t ó tết ệ t ó
tết ệ
t ợ ét ở tt ó s
ì
tr ó


C

xC

s




Footer Page 4 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 5 of 16.
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❝➡ ❜➯♥ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ➜ã ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤ë✐ ♥❣✉å♥
❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✈➭ ♠ét sè
❦Õt q✉➯ ♠ë ré♥❣✳
◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸
❝❤➢➡♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐
t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯
t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥ ✈➭ ♥➡✐ ❣✐➯♠✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭②
❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ✈í✐ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ➤Ó t❤✃② râ ❤➡♥ sù ❦Õt ♥è✐ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ♥➭② tr♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪✱ ❦Õt ♥è✐ ë ❦Õt q✉➯ ✈➭ ❦Õt ♥è✐ ë ý
t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ➤➞②
❝❤ñ ②Õ✉ ➤➢î❝ t❐♣ ❤î♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ▼♦s❝♦❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ tr✉♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜ã ❧➭ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù
tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❜ë✐ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ❑Õt
q✉➯ ♥➭② ❝ï♥❣ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ sù ❤î♣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ï♥❣ ý
t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣ ✶✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➭ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr➢í❝ ❦Õt
q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛




Header Page 7 of 16.

❈❤➢➡♥❣ ✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉

❍❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭
❦❤➠♥❣ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈➭ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ❤❛✐
❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý
➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❱× ✈❐② tr♦♥❣
❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ♥➟✉ tr➟♥✳ ◆❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➢î❝ t❐♣ ❤î♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛

▼♦s❝♦

❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❞➵♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ q✉❡♥ ❜✐Õt ❝ã tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥
➤✐Ö✉✳
✶✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪ ❤✐Ó✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ s❛✉✿
❚×♠
tr♦♥❣ ➤ã


Header Page 8 of 16.
❍➭♠

f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ f (x, y) + f (y, x) ≥ 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ C ✳

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❚♦➳♥ tö

A : C −→ X ∗
X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛

❍➭♠
sè

Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ë ➤➞②

❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉

X✳

f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ♥Õ✉ ✈í✐ x, y ∈ C ❝❤♦ tr➢í❝ tï② ý ❤➭♠

f (x + t(y − x), y) ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ t tr➟♥ [0; 1]✳
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t♦➳♥ tö ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝✳ ❚♦➳♥ tö

A : C −→ X ∗

❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ♥Õ✉ ❤➭♠


f (x, y) ≤ 0

❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ë ➤➞②

f

✈í✐ ♠ä✐

y ∈ C✳

❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥

❧➭ ❤➭♠ sè ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳

✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛
❈❤♦

ϕ : C1 × C2 → R✳ ❑❤✐ ✃② (x1 , x2 ) ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝ñ❛ ϕ ♥Õ✉

(x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 , ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ C1 × C2 . (1.1)
➜➷t

C = C1 × C2

✈➭ ❝❤♦ ❤➭♠

f : C × C −→ R ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

f ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = ϕ(x1 , y2 ) − ϕ(y1 , x2 ).
✻


tr➢í❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤é♥❣ ë ➤➞② ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥
❚×♠
➜➷t

x∈C

s❛♦ ❝❤♦

T (x) = x✳

f (x, y) = x − T x, x − y

(1.2)

✳ ❚❛ ❝ã

✭❊P✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛

x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣

(1.2)✳

❚❤❐t ✈❐②
✭✶✳✷✮

⇒ ✭❊P✮✿ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳

✭❊P✮

T x − T y, x − y ≤ x − y

2

.

✹✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
❈❤♦

T : C −→ X

✳ ❚×♠

x∈C

s❛♦ ❝❤♦

T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C ✳

(1.3)

✼

Footer Page 9 of 16.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 10 of 16.

trớ t ù t tì

xX

s



x C, T x C , T x, x = 0.
ễ t

(1.4)

(1.4) t ớ (1.3)

t

(1.4) (1.3) ể
ế

(1.3) ú y = 2x y = 0 từ (1.3) t t ợ T x, x = 0.

ó

(1.4)

s tr trò

trớ t


x = (xi )iI K

x = (xi )iI K

t ị ĩ

ợ ọ ể s

t ó

fi (x) fi (xi , yi ), yi Ki

(1.5)

ĩ ờ tể tổ tt ủ ì t



Footer Page 10 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 11 of 16.
ổ ế ợ ủ ì

f : K ì K R ị ở

(fi (xi , yi ) + fi (x)).

tì

f (x, y) = fi (xi , yi ) + fi (x)
ó P s r ớ ọ

i I.



f

tr trờ ợ

ệ
t tứ
ớ

C

ột t ồ

F : C ì C R

t tứ tết ề ệ ố ớ




F



tỏ


g tụ ệ

ớ ỗ

x C, g(x, .) õ ử tụ tr


Footer Page 11 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 12 of 16.
ề ệ ứ ồ t t

B C y0 B s

g(x, y0 ) > 0, x C \ B.
ó t ệ ủ t

x C : g(x, y) 0, y C

(1.6)

t rỗ ồ tr B


í ệ ó ủ t

ổ ề

A





T ột t tù ý tr ột t t E ớ ỗ w
ột t ó

T

F (w) ủ E s ề ệ s ợ tỏ

ớ ỗ t ữ

{w1 , w2 , ..., wn } tì
n

co{w1 , w2 , ..., wn }

F (wi )
i=1

coA í ệ ồ ủ t
ồ t

{x1 , x2 , ..., xn } C t ó
n

co{x1 , x2 , ..., xn }

F (xi ).
i=1

ề ệ ủ ổ ề ó ĩ



F : T 2X





ổ ề




C ột t ồ ó tr t t sr X

g : C ì C R ớ g(x, x) 0, x C tỏ ề ệ s
g tụ ệ
ớ ỗ

x C, g(x, .) õ ử tụ tr


H(y)
yC

G(y).
yC



Footer Page 13 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 14 of 16.

❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ♠ét

x ∈ G(y)

g(x, y) ≤ 0

❜✃t ❦× t❛ ❝ã

✳ ❉♦

g

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥


✳

❧➭ ❧â♠ ✈➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝

G(y) ⊂ H(y)

✈➭ ❞♦

♥➟♥

F (y) ⊂ H(y)

✳

❱❐② s✉② r❛

F (y) ⊂
y∈C

H(y).
y∈C

❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

H(y) ⊂
y∈C

G(y),
y∈C


t➵✐

x ∈ C

t❤á❛

♠➲♥

(1.7)

✈➭

♠ét

➤Ó ❝❤♦

g(x, y) > 0.
❳Ðt ✈❡❝t➡

❝ñ❛ ❜✐Õ♥ t❤ù❝

♥❤á✮✱ tõ

(1.9)

xt = ty + (1 − t)x, t ∈ [0; 1]

✳ ❚❤❡♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✶✮ ❤➭♠



Footer Page 14 of 16.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 15 of 16.

g(xt , x) 0,
tí õ ủ

g(x, .)

t [0, 1].

từ

(1.10)



g(xt , xt ) > 0, t (0, t),

(1.11)

(1.11)

t s r


B

t ề ệ ứ

ứ t ệ rỗ ù ổ ề

ớ ọ t ó

{F (y) : y C}



t ớ ỗ

t

G(y0 )

yC

tộ t

t

{y1 , y2 , ..., yn }

t ó

F (y)



ó ủ

G(y)

ỉ ỉ r

n

co{y1 , y2 , ..., yn }

G(yi ).
i=1

sử ợ tứ ó ột

n

y co{y1 , y2 , ..., yn } \

G(yi ).
i=1



Footer Page 15 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




λi g(y, yi ) ≤ g(y,

0

❧ý

➤➲

➤➢î❝

❝❤ø♥❣

♠✐♥❤✳

❍Ö q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞② tõ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❦✐♥❤ ➤✐Ó♥

❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳

❍Ö q✉➯ ✶✳✶

❈❤♦
①➵

✭❍❛rt♠❛♥✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛❬✶✵❪✮

C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ X ✱ ➳♥❤

A : C −→ X ∗ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ s❛✉
∃y0 ∈ C :

Ax,x−y0
x

−→ +∞ ❦❤✐ x −→ +∞, x ∈ C.


ề ệ ứ tr ị ý ợ tỏ



y0

tr

(1.12)



B = {x C : x R}

ớ

R>0

(1.12)





ủ ớ

ề ệ ứ tr ị í tỏ r t ì ở ột số trờ ợ ó

tỏ t ợ ét ó ệ ì



ứ

ớ

yC

t

K(y) = {x B : f (x, y) 0},
G(y) = {x C : f (x, y) 0},
ọ

Q(y)



F (y)

ợt ó ủ

K(y)



G(y)




F (y) =
yC

G(y)
yC



K(y)
yC

Q(y),
yC

ó

K(y) =
yC


x0 C0

y1 , ..., yn C
s

Q(y).
yC

t


t

Q(y), y C,

ó tr t

B

ó tí

ữ tồ t

x

K(y) =
yC

ĩ

f (x, y) 0

ớ ọ

Q(y),
yC

yC

í ồ ủ t


C = Rn , n

f : C ì C R





t

ồ

ó

t

tử

A : C Rn





ợ ị ở

f (x, y) = Ax(x y)T
Ax = (x2 , x1 , x4 , x3 , ..., xn , xn1 )
t



C ột t ồ ó tr t t sr X

g : C ì C R ớ g(x, x) 0, ớ ọ x C
sử ề ệ s tỏ
ớ ỗ

x C, g(x, .) õ

ớ ỗ

y C, g(., y) ử tụ ớ tr X

ề ệ ứ ồ t t

B C y0 B s

g(x, y0 ) > 0 ớ ọ x C \ B



Footer Page 19 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 20 of 16.
❑❤✐ ➤ã t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✿



❞♦ tÝ♥❤ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛

g(., y)

✳

❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝

B

❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝✳

❍➡♥ ♥÷❛

G

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö tr➳✐ ❧➵✐✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ã

{y1 , ..., yn } ⊂ C

♠➭

n

co{y1 , ..., yn } ⊂
t❤× ❦❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ ♠ét



g(y, .)

❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ ♥➟♥ s✉② r❛

n

n

λi g(y, yi ) ≤ g(y,

0

ị í ó ệ q q trọ ệ q ột r ủ

t tứ ệ q ột t tứ ế ổ

ể

ệ q


số



C t ồ tr t t sr

f : C ì C R tỏ ề ệ s
ớ ỗ

y C ố ị f (., y) ử tụ ớ

ớ ỗ

x C ố ị f (x, .) õ



f (x, x) 0

ó tồ t


ứ

ụ ị í ớ

X

ợ tr ị t ế

g(u, v) = a(u, u v).
ớ ỗ

vX

tụ tr

X



u a(u, u v)

ữ ồ

ử tụ ớ tr

a(u, v)

X

ì ó




B = {u X : u R}

R>0

ủ ớ

ứ ó

a(u, u w0 ) +



u +

ó ề ệ ứ tr ị í tỏ ớ

B

ớ

w0

t ế

tr

r ị í ề ệ ứ ợ sử ụ ề ệ ứ ổ ể

y C f (., y) ử tụ ớ tr C

ồ t t ồ

B C s ớ ỗ x C \ B ó ột

y B ớ f (x, y) > 0 ề ệ ứ
tồ t

x C s f (x, y) 0 ớ ọ y C



Footer Page 22 of 16.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 23 of 16.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤

➜➷t

tr♦♥❣

B

✳


K(y)

✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭

tr♦♥❣

K(y)

✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭

t❐♣

♥➟♥

n
i=1 K(yi )✳

x0 ∈
B

❝♦♠♣➽❝

❝ã

tÝ♥❤

f (x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C

❱❐② ❤ä


✳

❚❤Ý ❞ô ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❤✃② ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹ ✭✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ♥➡✐ ❣✐➯♠ ✮ ❝❤♦ t❛

sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✱ ♥❤➢♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ❝ñ❛ ▼♦s❝♦❬✶✶❪✭✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥✮

❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ➳♣ ❞ô♥❣ ➤➢î❝✳

f : C × C −→ R

❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤è✐ ✈í✐

X =C =R

✈➭ ❤➭♠

❝❤♦ ❜ë✐


 1,
f (x, y) =
 0,

xy < 0
xy ≥ 0

❉Ô t❤✃② ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✶✮✱✷✮✱✸✮ t❤á❛ ♠➲♥ ✈➭ ✹✮ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ t❐♣ ❧å✐ ❝♦♠♣➽❝

B = [−1, 1]


ë ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❧➭ ♠ét sè ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣

♥➭② tr♦♥❣ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤✉♥❣✳ ❑Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➡ ❜➯♥ ♠ë ➤➬✉ ë ❤➢í♥❣ ♥➭②

✭t❤❡♦ ❤✐Ó✉ ❜✐Õt ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐✮ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ✲ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛

❬✹❪ ✭✶✾✼✷✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ét ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥

♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ♥➭② ➤➲ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ✈í✐ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥✱

♠ét ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ♥❤➢♥❣ ❦❤✐ ✃② ❦❤➠♥❣ ❝ã ø♥❣ ❞ô♥❣

tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳

t❤ø❝

❜✐Õ♥

♣❤➞♥

➤➡♥

➤✐Ö✉✱

❇✃t

❙❛✉ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ▼♦s❝♦❬✶✶❪ ♠ë ré♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣

➤➻♥❣


❖❡tt❧✐

❬✸❪

✭

▼ô❝

2.2

✮

✈➭

♠ét

♠ë

ré♥❣

✈➠

❤➢í♥❣

❧➭

❦Õt

q✉➯


➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❇r❡③✐s ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ✲ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ➤➲ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❑② ❋❛♥ tr♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ❞➢í✐

➤➞② ✭❬✾❪✱✶✾✼✷✮✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶

❈❤♦

✭❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ❬✹❪✮

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱ C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ❝ñ❛

X ✈➭ ❤➭♠ f (x, y) ❧➭ ❤➭♠ t❤ù❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ C × C s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
t❤á❛ ♠➲♥✿
✶✮

f (x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C ❀

✷✮ ❱í✐ ♠ç✐

x ∈ C, t❐♣ {y ∈ C : f (x, y) > 0} ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀

✸✮ ❱í✐ ♠ç✐

y ∈ C ✱ ❤➭♠ f (., y) ❧➭ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥ ❣✐❛♦ ❝ñ❛

C ✈í✐ ♠ç✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ X ❀
✹✮ ◆Õ✉