VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1

TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)

Câu 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A=

6 x  ( x  6) x  3
3
1


2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2

Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4; x ≠ 9; x ≠ 1
2) Rút gọn biểu thức: B =

2 3


3

 8x2  2 

2015

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1)  y đồng thời (3y +
1)  x.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BR, CR c t nhau tại H. Chứng
minh rằng:
a) SABC =

1
AB.BC.sinB và AR.BR.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
2

b) tanB.tanC =

AD
HD

c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DRR.


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

d)


IK


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài

Câu

Tóm tắt cách giải

6x  (x  6) x  3

A
1

3



Điểm

1



0,75

2(x  4 x  3)(2  x) 2x 10 x 12 3 x  x  2

(2 x  6 x )  2( x  3)  x( x  3)  x ( x  3)
2( x  1)( x  3)(2  x)
( x  1)( x  3)(2  x)

A=

2( x  1)( x  3)(2  x)

B
2

2
B
2
B
2




2 3
2 42 3



=

0,75

0,5

2

a

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d)
đi qua điểm cố định N(xo, yo) là:

0,5

(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m
<=> mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m
<=> (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m

0,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
 xo  y o  0
 x o  1


2 x  yo  1  0
 yo  1
<=>  o

0,5

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
b


1
1
3
1 1


 (m  1) 2  (m  2) 2  2m2  6m  5  2(m  ) 2  
2
2
2
2
2 2
h
OA OB

Suy ra h2 ≤ 2, max h = 2 khi và chỉ khi m =
Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h =
3
Ta có x 

3



5 2


3

52


b. Dễ thấy x  y . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y.
Từ (3y + 1)  x  3 y  1  p.x

 p  N .

Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x.
 p < 3. Vậy p  1; 2

*

0,25
0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Với p = 1  x = 3y + 1  3x + 1 = 9y + 4  y  4  y
Mà y > 1 nên y  2; 4
0,25

+ Với y = 2 thì x = 7.

0,25

+ Với y = 4 thì x = 13.
Với p = 2  2x = 3y + 1  6x = 9y + 3  2(3x + 1) = 9y + 5

0,25


1,0

ABD vuông tại D có AD = AB.sinB,
Do đó SABC =

1
BC.AB.sinA.
2

ABR vuông ở R có AR = AB.cosA
BRC vuông ở R có BR = BC.cosB
ACD vuông ở D có CD = AC.cosC

1,0


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Do đó AR.BR.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b (1,5 đ) Xét ABD có tanB =

AD
AD
; ACD có tanC =
CD
BD

AD 2
suy ra tanB.tanC =
(1)


0,5

  CBA
 nên ARR
  CRD
 mà BR  AC
Tương tự được CRD
  DRB
  RH là phân
  CRB
 = 900. Từ đó suy ra RRB
 ARB

0,5

trong của DRR.
Tương tự DH, RH cũng là phân giác trong của  DRR nên H là

0,5

giao ba đường phân giác trong của DRR.
d (1,0 đ) Ta có: SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
Dễ thấy CHR  CAR(g.g)



CH CR
HB.HC HB.CR 2.S BHC S BHC


0,25
0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 a; b;c  0 và a  b  c  2015
Ta có: a 2  b 2  c 2  2(x 2  y 2  z 2 )
 x2 

a 2  b 2  c 2 2 a 2  b 2  c 2 2 a 2  b 2  c 2
;y 
;z 
2
2
2

0,25

Do đó:
(y  z) 2  2(y 2  z 2 )  2b 2  y  z  2b 

Tương tự:
 T


y2
a 2  b2  c2 z 2
a 2  b 2  c 2
.

a 2  b2  c2
2a 2

 1 1 1  a b c
(a 2  b 2  c 2 )     

2 2
2
a b c

2



1

 1 1 1  2015
(a  b  c)(a  b  c)     

6 2
2
a b c
1
6 2

2015.9 

2015
2


1



0,25

x2
a 2  b2  c2

yz
2b 2

Đặt

2015
2 2

khi x  y  z 

2015
3

2015
3 2

S BIC  x 2 , S CIA  y 2 , S AIB  z 2  S ABC  x 2  y 2  z 2

A
K


IA

IM



2

y z
x

IB
Chứng minh tương tự ta có:

IN

z2  x2
,
y

IC

IK

y2  z2

x

z 2 x 2


0,5

2

x y
2.z



x2  y2
z

1 y z z x x y  6
3 2
      
2x x y y z z
2

IA
IB
IC


3 2
IM
IN
IK

0,25
1,0