NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG
PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

• Giới thiệu
Trong chương trình THPT, chúng ta đã quen với 3 phân môn của Toán là: Đại Số,
Hình Học, Số học. Nhưng bên cạnh đó ta còn bắt gặp một phân môn mới có nhiều
ứng dụng trong lý thuyết cũng như đời sống. Đó là Giải Tích. Đây là một nội dung
phức tạp và đòi hỏi vận dụng nhiều, linh hoạt các kiến thức đã học được. Mở đầu
cho Giải Tích, ta đã được biết Dãy số và những vấn đề cơ sở liên quan. Nội dung của
nhóm sẽ không lặp lại những kiến thức đã biết này mà đi sâu vào phân tích một số
vấn đề đáng chú ý; sau đó gợi mở một vài nội dung giúp các bạn nghiên cứu thêm.
Cụ thể là:
∗ Các vấn đề cần lưu ý:
 Cơ sở của phương pháp quy nạp.
 Phương pháp quy nạp hình học.
 Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức
thông thường.
 Tìm công thức của dãy số cơ bản.
 Biểu diễn hình học của cấp số nhân, cấp số cộng.
 Chuỗi số.
∗ Những vấn đề gợi mở:
 Điều đặc biệt trong cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân.
 Tồn tại hay không một cấp số vừa nhân vừa cộng?
 Điều gì sẽ xảy ra nếu u
1
= 0, S
n
= 0?
 Xoay quanh việc tính tích các số hạng của cấp số nhân, cấp số cộng.
• Nội dung:
A. Những vấn đề cần lưu ý:

nên bỏ qua vài bước trong đó. Chúng ta nên cẩn thận mà hiểu rằng đó là làm trái với tiên đề và như
vậy tất nhiên sẽ không có cơ sở gì nói lên rằng chứng minh của ta là đúng. Do đó, ta cần trình bày
đầy đủ các bước cho một chứng minh quy nạp, điều này rất cần thiết.
 Các hình thức quy nạp: Có bốn hình thức:
∗ Loại 1:
- Chứng minh P(1) đúng.
- Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k ≥ 1.
∗ Loại 2:
- Chứng minh P(n
o
) đúng.
- Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k ≥ n
o
.
∗ Loại 3:
- Chứng minh P(1) đúng.
- Chứng minh nếu P(1), P(2), ... P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng.
∗ Loại 4:
- Chứng minh P(n
o
), P(n
o
+1) đúng.
- Chứng minh nếu P(k), P(k+1) đúng thì P(k+2) cũng đúng; k ≥ n
o
.
- Với P(n) là mệnh đề cần chứng minh trong bài toán.
- Ta thấy loại 1 là hình thức SGK đã sử dụng.
 Quy nạp trong H ình H ọc:
 Cơ sở lý thuyết:

⇒ Bài toán đúng với n = k+1.
Vậy ta có đpcm.
∗ Nếu n hình vuông trên có cạnh là a
1
, a
2
, ... a
n
thì hình vuông cắt được có kích thước là
  
  
   + + +
 Các bài toán tham khảo:
Bài 1: Nếu cho n điểm không cùng thuộc một đường thẳng thì trong số các đường thẳng nối chúng
với nhau có không ít hơn n đường thẳng phân biệt.
Bài 2: Giả sử r
n
và R
n
là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của đa giác đều 2
n
cạnh có chu
vi là 1. Cm:
r
n+1
=


(R
n

D
A
P
N
Q
M
b
a
Ta xét một trường hợp đơn giản hơn:
Chứng minh

       = − + > ∀ ∈ ¡
Ta thấy nếu x < 0 thì – x > 0, khi đó kết luận bài toán là đúng khi x > 0.
Ta thử dùng quy nạp:
• Với x = 0, VT = 1 > 0, đúng.
• Giả sử x = k ≥ 0, bài toán cũng đúng.
Ta chứng minhvới x = k+1, bài toán cũng đúng.
Thật vậy:

       + = + − + +

   = − + +
   = + ≥
vì k ≥ 0
⇒ f(k+1) ≥ 0, đúng.
Ta có đpcm.
Rõ ràng cách chứng minh rất nhẹ nhàng tự nhiên nhưng nó vấp phải một thiếu sót rất cơ bản : ta
chỉ mới giải quyết được bài toán với x nguyên mà thôi, điều này cũng coi như vô ích.
Do đó, muốn dùng ý tưởng quy nạp ta nên nhận thấy nguyên nhân cơ bản sau : ở bước quy nạp ta
chứng minh k thì k+1 đúng nên chỉ cho n nhận được giá trò nguyên thôi. Muốn n nhận hết giá trò thực

−
=

=

= +

   ∈ ≠¡
thì sao?
Thực ra cách này cũng đã được SGK đề cập đến. Ta trình bày như sau:
- Nếu a = 1 hoặc b = 0 thì ta có cấp số cộng hoặc cấp số nhân
- Ta chỉ xét a ≠ 1, b ≠ 0.
Trước tiên ta đưa dãy (un) về một cấp số nhân hoặc cấp số cộng để vận dụng công thức tổng quát
đã biết.
Xét (vn) có v
n
= u
n
+ α,
α∈ ¡
n =1, 2, ...
Từ un = au
n
-1 + b
⇒ v
n
– α =a(v
n
-1 – α) + b
⇒ v

Đây là một cấp số nhân. Công thức tổng quát là:
 


  
 
−
 
= +
 ÷
−
 
Vậy
 

 
  
   
−
 
= + −
 ÷
− −
 
∗ Ta còn có thể tìm thêm được công thức tổng quát của một số dãy số khác.VD:

  
  
−
= +

&
$'(
)
*'+,
-

-
+%.
)
'+,
/
0+,&'1
-
''
2

/
3
2
$cấp số nhân, cấp số
cộng.
 #
-
+$
)
4
5
2
$6'5
/

-
%.<
-
$'5
/
;
>?
)
$0
&
*

<
)
+

9
-
$%3
2

/
%+,
/
=

Chứng+'

9
-


-
+$
)
4


;
⇒

9
-
3
2
$ cấp số cộng
)
3:+9
-

 #
-
+$
)
4
5
2
$6'5
/
$
2

$'5
/
:
:<
)
+$
2
'
-
'5
)
$
( )
∆
9
-
6'(+
)

/

)
6'(
-
$.$'.
)
'(
)
$$
2

2
$<
)
+=

$$'.
2
'+,
2

$.<$.
2
%.<
2
=

8.
)
$+,
)
6$
2
9
-
'.(
2
*$%.<
2
0
&

)
9(
2
60
&
*:3
)


%
&
'
∗ 
)
4
( )


  
 
 4
  
+
=


= +

C
D