NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
1
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho chương trình lớp 9 và ôn thi vào lớp 10)
I.MỤC TIÊU
II.NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A.Đại số:
I.Đa thức: Nhân, chia, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử.
II.Phân thức đại số: ĐKXĐ, rút gọn, quy đồng, các phép tính.
III.Căn bậc hai: Khái niệm, hằng đẳng thức, ĐKXĐ, các phép biến đổi.
IV.Phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn: Dạng, phương pháp giải.
V.Hàm số bậc nhất, bậc hai: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, vị trí trên mặt phẳng tọa độ
giữa các đồ thị.
VI.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Nghiệm, các phương pháp giải.
VII.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình.
VIII.Phương trình bậc hai: Dạng, công thức nghiệm, Định lý Viet, ứng dụng.
B.Hình học:
I.Định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn.
II.Định lý Talet, tính chất đường phân giác.
III.Tam giác bằng nhau, đồng dạng: Khái niệm, các trường hợp.
IV.Đường tròn: Khái niệm, sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng, vị trí tương
đối của đường thẳng với đường tròn (chú ý tiếp tuyến của đường tròn), đường tròn với
đường tròn.
V.Góc và đường tròn: Đặc điểm, quan hệ với cung bị chắn, tính chất.
VI.Tứ giác nội tiếp: Khái niệm, tính chất, dấu hiệu.
VII.Độ dài và diện tích hình tròn.
VIII.Hình học không gian: Khái niệm, công thức tính diện tích xung quanh, diện tích
toàn phần, thể tích.
§1.ĐA THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Nhân đơn, đa thức

( )
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 2AB B
A B A B A B
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± +
+ − = −
± = ± + ±
± + = −m
Mở rộng:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4.Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai
hay nhiều đa thức khác đơn giản hơn.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm:

A 2x y. x y xy . 4x
2
3x y 4x y
x y
 
= − − + −
 ÷
 
= −
= −
( ) ( )
3 2
3 2 3 2
2
B x 1 x. x 2 1
x 3x 3x 1 x 2x 4x 1
5x x
= + − − −
= + + + − + − −
= −
Ví dụ 2.Tính giá trị của biểu thức
( )
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
 
= − − + −
 ÷
 

3 3 9 3 9 9 9
     
= − − − = + = + =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Ví dụ 3.Chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
c) B x 2x 2 0 x.
+ − = −
= + − − + ∀ ∈
= + + > ∀
M
Giải
a) Có VT = a
2
+ 2ab + b
2
– 4ab = a
2
– 2ab + b
2
= (a – b)
2
= VP.(đpcm)

+ 4.
Giải
a) x
3
– 4x = x.(x
2
– 4) = x.(x – 2).(x + 2).
b) x
2
– 5x + 4 = (x
2
– 4x) – (x – 4) = x.(x – 4) – (x – 4) = (x – 4).(x – 1).
c) x
4
+ 4 = (x
2
)
2
+2x
2
.2 +2
2
– 4x
2
= (x
2
+2)
2
– (2x)
2

+ 2a + 1) = 1 – 10a
3
.
b) (5x
3
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
)(2x – 10y) = 10(x
4
– y
4
).
c) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = 0
⇔
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
4
d)
x,y 0∀ >

1.Khái niệm
Dạng
A
B
trong đó A, B là các đa thức, B
≠
0.
2.Điều kiện xác định
Cách tìm:
-Giải B = 0.
-Kết luận: loại đi các giá trị tìm được của ẩn ở trên.
3.Rút gọn
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
A C.M C
B D.M D
= =
4.Quy đồng mẫu các phân thức
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Lập tích = (BCNN của các hệ số).(các nhân tử với số mũ lớn nhất).
-Tìm thừa số phụ = MTC : MR.
-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng của nó.
5.Các phép tính
( )
A B A B
a)
M M M
A C A.D C.B
b)
B D B.D

− −
Giải
a) Phân thức
3
x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

⇔
x = 0 hoặc 4x – y = 0

⇔
x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ:

( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
a) x 1; x 1
x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1

.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
( )
2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
− + + +
− − − +
+
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
6
2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1
A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x
− − + −
= − ∀ ≠ ≠ −
− +
= + + ∀ ≠ ±

1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thức
A
xác định
⇔

A 0≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
A khi A 0
A A
A khi A 0
≥

= =

− <

4.Các phép biến đổi căn thức
+)

= ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
7
+)
( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±
với
m n A
m.n B
+ =


=


)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 

 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= − + + = − + +
= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3

N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
2.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1

+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S ...
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.

3) AH
2
= BH.HC
4)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Kết quả:
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đặt
ACB ; ABC∠ = α ∠ = β
khi đó:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cotg
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
Kết quả suy ra:
1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
sin cos

2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
11
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =
8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ADC=70
0
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên
BD, H là hình chiếu của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;
∠
BAC = 2
α
;
0

x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
12
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó.
Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị
cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương

VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17

(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
14
b) ĐKXĐ: x 1≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2

x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y

+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=

 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =