B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị N gọc

D Ạ N G C H U Ẳ N TAC JO R D A N
VÀ Ứ NG D Ụ N G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị N gọc

D Ạ N G C H U Ẩ N TẮC JO R D A N
VÀ Ứ NG D Ụ N G

C huyên ngành: H ình học

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC

NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
P h ạ m T h a n h T âm


1.1.2

H ạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tín h .................................................... 10

C ấu trú c của tự đồng cấu tuyến tín h ...............................................................

11

1.2.1

G iá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trư n g ..............................

11

1.2.2

Không gian con b ấ t biến........................................................................

15

D ạ n g ch u ẩn tắ c J o r d a n và ứ n g d ụ n g .
2.1

2.2

20

Dạng chuẩn tắc J o rd a n ............................................................................................. 20
2.1.1

luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìn h học tậ p vừa qua.
Em xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

2


Lời cam đoan

Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trìn h làm việc nghiêm túc, sự cố
gắng, nỗ lực từ bản th â n dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tậ n tìn h của th ầy giáo T h . s
P h ạ m T h a n h T âm .
Trong quá trìn h thực hiện khóa luận em có tham khảo tà i liệu của m ột số tác giả
đã nêu trong mục tà i liệu th am khảo.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

3


Lời m ở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Đại số tuyến tín h là m ột môn học cơ bản của Toán cao cấp, được áp dụng vào hàng
loạt các lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân, từ cơ học, vật lý tới
kĩ th u ậ t. Những kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tín h như ánh xạ tuyến tính, cấu

Nghiên cứu tà i liệu th am khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên
quan, phân tích, tổng hợp.

6.K ết cấu của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tà i liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chương:
C hươngl: Kiến thức cơ sở
Chương2: Dạng chuẩn tắc Jo rd an và ứng dụng
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không trá n h khỏi những thiếu sót.
Vì vậy em rấ t mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các th ầy cô và
các bạn sinh viên để đề tà i được hoàn thiện hơn.
T rân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

Nguyễn Thị Ngọc

5

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Chương 1
K iến thứ c cơ sở
1.1
1.1.1

Ánh xạ tuyến tính.
Các định nghĩa.


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

c) Á nh xạ đạo hàm J - : -Rfz] — »

cho bởi:

d
J—(anx n + ... + axx + a0) = na„xn
dx

+ ... + a1

là m ột ánh xạ tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .3 .
Giả sử V , w là các K không gian vector và ậ,

w là hai ánh xạ tuyến
tín h . Ta gọi tổng của ậ và ip là m ột ánh xạ, kí hiệu là ộ + ip xác định bởi:

ệ + tp : V — > w
ă I— » (ậ + w là ánh xạ tuyến tín h , ta gọi là tích của ánh xạ ậ với
vô hướng A là m ột ánh xạ, kí hiệu là Xậ xác định bởi:

Xệ : V

—



Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Khi đó:
ệ :V — >w
là m ột ánh xạ tuyến tín h và ậ(Ei) — Pi, i — 1, 2,..., n.
• Sự duy nhất:
Nếu tồn tại ánh xạ / : V — > w th õ a m ãn định lí và ệ(ẽ\) = f( ẽ \) =
1, 2

Pi,

ì =

, n th ì với mỗi ã = 2 ?=1 XịEị ta đều có:
n

n

n

n

ậ( đ) = ậ ( J 2 x iZi) =
x i<ì>(?ì) = X ] x i ĩ ( t i ) = f ( ĩ 2
i=1
i=1
i=1
i=1



C h ứ n g m in h .
G iả sử V đẳng cấu với

w,

khi đó có m ột đẳng cấu ệ : V — > w . Tức là, nếu

{¿{,¿*2 ,..., ể*n} là m ột cơ sở của V th ì hệ

ậ(E2) , ...,

là m ột cơ sở của

w.

T h ậ t vậy:

Nguyễn Thị Ngọc

8

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Giả sử /3 là m ột vector b ấ t kỳ trong V, khi đó tồn tại ã £

/ ? ! , f ( a n) = /3n là m ột đẳng cấu tuyến tính.
T h ậ t vậy, nghịch đảo của f là ánh xạ tuyến tín h h : w — > V được xác đinh bởi
điều kiện h(/3i) = đ q , h(Ị3„) = õ^.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .7 .
G iả sử V, w là những K - không gian vector hữu hạn chiều, (e)
là m ột cơ sở của V, (e) = { ẽ ĩ , . l à

= {ẽi,

m ột cơ sở của w . Ánh xạ tuyến tính

ậ : V — > w được xác định duy n h ấ t bởi m ột hệ vector ệ(e) =

0(ẽ^)}.

Các vector ậ(ếj) lại biểu th ị tuyến tín h m ột cách duy n h ấ t qua cơ sở (e) = { ¿ I , ẽ^n)
của

w.

m

^
i= 1
trong đó các

ữịj

3


9

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

cơ sở (e) và (e). Mọi ấ có tọ a độ ( x i , x „ ) trong cơ sở (e), viết dưới dạng cột:
X1 ,
ã =

K hi đó tọ a độ của vector ậ( a) £ w trong cơ sở (e) là (y1 ;..., y m), viết

:

dưới dạng cột:
2/1

ậ(ấ) =

\

cho bởi công thức: y = Ax .

Vm

2/1 — ư ii^ i + «12^2 + ■■• + a inx n
2/2 = 0,2 1 X 1 + Ũ22%2 + ■■• + a,2 nx n

10

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

cấu của V. M ột tự đồng cấu của V đồng thời là m ột đẳng cấu được gọi là m ột tự
đẳng cấu của V.
Không gian vector t ấ t cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là E nd(K ).
Tập hợp tấ t cả các tự đẳng cấu của V được kí hiệu là G L (K ).
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 0 .
Cho ộ e E n d ( v ) . Gọi A = (UýOmxn là m a trậ n của ệ tro n g m ột cơ sở nào đó
của V . Ta gọi:
a) D et A là định thức của tự đồng cấu ộ và kí hiệu là det ậ.
b) Tổng các ph ần tử nằm trên đường chéo chính của m a trậ n A là vết của ậ, kí hiệu
là

n
tr(ậ) = ^ 2 aiii=1

Ta cũng gọi số này là vết của m a trậ n A, kí hiệu là trA .

1.2

c ấ u trúc của tự đồng cấu tuyến tính.

1.2.1


Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .3 .

Nguyễn Thị Ngọc

11

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Đ a thức đặc trư ng của ậ, kí hiệu là Pộ(t), được định nghĩa là định thức của ánh
xạ ậ — t ■id, trong đó id là ánh xạ tuyến tín h đồng n h ất.
Đ ịn h lý 1 .2 .4 .
Số thực A là giá trị riêng của ậ khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trư ng

C h ứ n g m in h .
G iả th iế t Pậ(t) = 0. Cố định m ột cơ sở (e) = { ẽ i , ẽ ^ } của V và kí hiệu A là
m a trậ n của ậ, [x] là tọ a độ của

X

theo cơ sở này. K hi đó det(A

—

XIn) = 0. T ừ đó

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

tín h th u ần n h ấ t suy biến:

(« 1 1