CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một
điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2 2 2
Chú ý:
i j k 1 và i. j i.k k . j 0 .
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk
b) Tính chất: Cho a (a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ), k
a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 )
ka (ka1 ; ka2 ; ka3 )
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
a 2 a12 a22 a32
a a12 a22 a22
a.b
a1b1 a2b2 a3b3
cos(a , b )
(với a , b 0 )
a .b
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) OM x.i y. j z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: M Oxy z 0; M Oyz x 0; M Oxz y 0
M Ox y z 0; M Oy x z 0; M Oz x y 0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; z B )
AB ( xB x A ; y B y A ; z B z A )
AB ( xB xA ) 2 ( yB y A ) 2 ( z B z A )2
1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
4. Tích có hướng của hai vectơ
Oxyz cho hai vectơ a (a1 ; a2 ; a3 ) , b (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
a, b , được xác định bởi
a a3 a3 a1 a1 a2
a , b 2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1
b2 b3 b3 b1 b1 b2
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
Diện tích tam giác ABC :
S ABC AB , AC
2
Thể tích khối hộp ABCDAB C D : VABCD. A ' B ' C ' D ' [ AB, AD ]. AA
Thể tích tứ diện ABCD :
VABCD
1
[ AB , AC ]. AD
6
Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.
a b a.b 0
a vaø
b
cuø
n
2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Câu 2.
Gọi là góc giữa hai vectơ
a.b
A. .
B.
a.b
a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos bằng
a.b
Câu 3.
Cho vectơ a 1;3; 4 , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b 2; 6; 8 .
B. b 2; 6;8 .
C. b 2;6;8 .
Câu 4.
Tích vô hướng của hai vectơ a 2; 2;5 , b 0;1; 2 trong không gian bằng
A. 10.
Câu 5.
Câu 7.
D. 14.
8.
C. 10.
D. 12.
C. 12.
Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.
Câu 6.
B. 13.
D. b 2; 6; 8 .
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
a2b2 a3b3 ; a3b3 a1b1 ; a1b1 a2b2 .
Cho các vectơ u u1; u2 ; u3 và v v1; v2 ; v3 , u.v 0 khi và chỉ khi
A. u1v1 u2 v2 u3v3 1 . B. u1 v1 u2 v2 u3 v3 0 .
Câu 9.
C. u1v1 u2 v2 u3v3 0 .
Cho vectơ a 1; 1;2 , độ dài vectơ a là
A.
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a 0;3; 4 và b 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.
0;3; 4 .
B.
4; 0;3 .
C.
2; 0;1 .
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
D.
8;0; 6 .
3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a 1; 1;2 , b 3;0; 1 , c 2;5;1 , vectơ
m a b c có tọa độ là
A. 6; 0; 6 .
B. 6;6; 0 .
C. 6; 6; 0 .
D. 0; 6; 6 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2; 0 . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.
21, 13, 37 .
B.
11, 14, 37 .
21, 14, 37 .
C.
D.
21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2; 0 . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A. ; ; .
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a (1; 2; 3), b (2; 0;1), c ( 1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n a b 2c 3i
A. n 6;2;6 .
B. n 6;2; 6 .
C. n 0;2;6 .
D. n 6;2;6 .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2
1
B. tam giác cân đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2;2 , B 0;1;3 , C 3;4;0 . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D 4;5; 1 .
B. D 4;5; 1 .
C. D 4; 5; 1 .
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
D. D 4; 5;1 .
4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a 2; b 4 . Khi đó a b bằng
B. M 1;0; 3 .
C. M 0; 2; 3 .
D. M 1;2;3 .
Câu 28. Cho điểm M 2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
29 .
A.
5.
B.
C. 2.
26 .
D.
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳngthứcđúng
A. IA IB IC.
B. IA IB CI 0. C. IA BI IC 0. D. IA IB IC 0.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Câu 33. Cho u 1;1;1 và v 0;1; m . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. 3 .
B. 2 3 .
C. 1 3 .
3.
D.
Câu 34. Cho A 1; 2;0 , B 3;3;2 , C 1; 2;2 , D 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
AB. AC
AB. AC
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3;2 , C 1; 2;2 , D 3;3;1 . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là
A.
9
7 2
.
B.
9
.
7
C.
9
.
2
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
D.
1 1 3
A. M ; ; .
2 2 2
1
B. M ; 0; 0 .
2
3
C. M ; 0; 0 .
2
1 3
D. M 0; ; .
2 2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1;2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
A. M 0; 0; 4 .
B. M 0; 0; 4 .
3
C. M 0; 0; .
9
.
2 35
B.
9
.
35
C.
2
Câu 42. Cho a 2; b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u k a b; v a 2b. Để u vuông
3
góc với v thì k bằng
6
45
6
45
3
.
8
A. m 1; m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 2; m 2 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B (3;7;4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x 5; y 11 .
B. x 5; y 11 .
C. x 11; y 5 .
D. x 11; y 5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là 1;1;1 , 2;3; 4 , 7; 7;5 . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2
Câu 49. Cho 3 vecto a 1;2;1 ; b 1;1; 2 và c x;3x; x 2 . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a 3; 2;4 , b 5;1;6 , c 3; 0; 2 . Tìm vectơ x
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. 1; 0; 0 .
3 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1;3) , C (2;3;3) .
Điể m M a; b; c là đı̉nh thứ tư củ a hı̀nh bı̀nh hà nh ABCM , khi đó P a 2 b 2 c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1;3) , C (2;3;3) . Tìm
tọa độ điể m D là chân đườ ng phân giá c trong gó cA củ a tam giá c ABC
A. D (0;1;3) .
B. D (0;3;1) .
C. D (0; 3;1) .
D. D (0;3; 1) .
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0; 2;1) . Tìm tọa
độ điể m I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ; ; .
B. I ; ; .
C. I ; ; .
D. I ; ; .
3 3 3
B. (3).
C. (1); (3).
D. (2), (1)
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a 1,1, 0 ; b (1,1, 0); c 1,1,1 . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
6
A. cos b, c
.
B. a b c 0.
3
C. a, b, c đồng phẳng. D. a.b 1.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
7|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
1
1
A. SI SA SB SC .
B. SI SA SB SC .
2
3
C. SI SA SB SC.
D. SI SA SB SC 0.
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(2;1; 1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A.
.
B. 3 .
C. 1 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm
M m; m; m , để MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A 2; 2; 6 , B 3;1;8 , C 1; 0; 7 , D 1; 2;3 . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ABCD . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
27
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I 0; 1; 3 .
B. I 1; 0;3
C. I 0;1;3 .
D. I 1; 0; 3 .
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
3
B.
203
3
C.
201
.
3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
D.
205
.
3
8|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.
870
.
12
B.
870
.
14
C.
870
.
16
D.
870
.
15
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng
(Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC .
Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 177 17 177
3 177
A. B
4
3 177 17 177
3 177
D. B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D (5; 4;0) . Biế t
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có to ̣a đô ̣ là nhữ ng số nguyên, khi đó CA CB bằng:
A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giá c ABC , biết A(5;3; 1) , B(2;3; 4) ,
C (3;1; 2) . Bá n kı́nh đườ ng trò n nô ̣i tiế p tam giá c ABC bằng:
Câu 74.
9|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
C - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1
A
2
B
3
A
4
C
5
A
6
D
7
Câu 4.
Chọn C.
Câu 5.
Chọn A.
Câu 6.
Chọn D.
Câu 7.
Chọn A.
Câu 8.
Chọn C.
Câu 9.
Chọn A.
Câu 10. Chọn A.
Câu 11. Chọn B.
Câu 12. Chọn D.
Câu 13. Chọn A.
Câu 14. Chọn C.
Câu 15. Chọn C.
MN 1;2;3 , QP 7 x;7 y;5 z
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN QP Q 6;5; 2
Câu 22. Chọn A.
AB (0; 2; 1); AC ( 1; 3; 2) . Ta thấy AB. AC 0 ABC không vuông.
AB AC ABC không cân.
Câu 23. Chọn A.
Điểm D x; y; z
AB 1; 1;1 , DC 3 x;4 y; z
Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC D 4;5; 1
Câu 24. Chọn B.
2 2 2
Ta có a b a b 2 a b .cos a, b 4 16 8 28 a b 2 7.
Câu 25. Chọn D.
Với M a; b; c d M , Oxy c
2
3 m 1 2 m 1
m 2 3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 34. Chọn C.
Tính AB 2;5; 2 , AC 2; 4; 2 , AD 2;5;1
1
V AB , AC .AD 3
6
Sử dụng Casio
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
V AB , AC .AD 3
6
1
1
V B.h , với B S ABC AB, AC 7 2 , h d D, ABC
3
2
h
3V
3.3
9
B 7 2 7 2
Câu 37. Chọn D.
Câu 38. Chọn C.
M Ox M a; 0;0
2
2
M cách đều hai điểm A, B nên MA2 MB 2 1 a 22 12 2 a 22 12
2a 3 a
3
2
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
12 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 45. Chọn A.
AB 1; 2;1 , AC x 2; y 5;3
x2 y5 3
A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phương
x 5; y 11
1
2
1
Câu 46. Chọn A.
BA 1;0; 1 , CA 1; 1; 1 , CB 2; 1;0
BA.CA 0 tam giác vuông tại A , AB AC .
Câu 47. Chọn C.
Câu 50. Chọn D.
Dễ thấ y chı̉ có x (0; 0; 0) thỏ a mã n x.a x.b x.c 0.
Câu 51. Chọn A.
x 3
8
E ( x; y; z ) , từ CE 2 EB y .
3
8
z 3
Câu 52. Chọn b.
M ( x; y; z) , ABCM là hı̀nh bı̀nh hà nh thı̀
x 1 2 2
AM BC y 2 3 1 M (3;6; 1) P 44. .
z 1 3 3
Câu 53. Chọn A.
Ta có AB 26, AC 26 tam giá c ABC cân ở A nên D là trung điể m BC D (0;1;3).
Câu 54. Chọn c.
Ta có: AB BC CA 3 2 ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC là
5 8 8
b.c
cos(b, c)
b.c
Câu 58. Chọn B.
AB, AC . AD
1
Sử du ̣ng công thứ c h
.
13
AB.AC
Câu 59. Chọn B.
SI SA AI
SI SB BI 3SI SA SB SB AI BI CI
SI SC CI
1
Vì I là trọng tâm tam giác ABC AI BI CI 0 SI SA SB SC .
3
SG
Khi đó SG
1 2
a b 2 c 2 2ab cos 2ac cos 2bc
3
Áp dụng công thức trên ta tính được SG
a 15
3
Câu 62. Chọn A.
AC 1; 3; 2 , MB 2 m; 6 m;2 m
2
2
MB 2 AC m2 m 2 m 6 3m 2 12m 36 3 m 2 24
Để MB 2 AC nhỏ nhất thì m 2
DC 2; 2; 4 , AB 1; 1;2 DC 2. AB ABCD là hình thang và
9 3
1
. Vì VS . ABCD SH .S ABCD SH 3 3
2
3
Lại có H là trung điểm của CD H 0;1;5
Gọi S a; b; c SH a;1 b;5 c SH k AB, AC k 3;3;3 3k ;3k ;3k
S ABCD 3S ABC
Suy ra 3 3 9k 2 9k 2 9k 2 k 1
+) Với k 1 SH 3;3;3 S 3; 2;2
+) Với k 1 SH 3; 3; 3 S 3;4;8
Suy ra I 0;1;3
Câu 65. Chọn A.
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M M (0; y; z )
MA (2; 1 y; 7 z ), MB (4;5 y; 2 z )
2 k .4
3 x 2 1 x
x 3
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB 2 DC y 2 3 y y 2
z 4
2 z 2 7 z
205
5
Suy ra D ; 2; 4 OD
3
3
Câu 68. Chọn A.
D ( x; y; z ) là chân đườ ng phân giá c trong gó cA củ a tam giá c ABC .
Ta có
DB AB 1
17 11
2 74
2
29
1
870
2 29 1
CH . AB 0
x ; y ; z H ; ; OH
.
15
15
3
15
15
3
15
AB, AC . AH 0
Câu 71. Chọn A.
Giả sử B( x; y;0) (Oxy ), C (0;0; z ) Oz .
4
2
4
3x 3 y yz z 0
3 177 17 177
3 177
B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
Câu 72. Chọn B.
Ta có trung điểm BD là I (1; 2; 4) , BD 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A(a; b;0) .
AB 2 AD 2
2
2
2
2
2
(a 3) b 8 (a 5) (b 4)
2
ABCD là hình vuông
b 14
5
17 14
; 0 (loa ̣i).
A(1; 2; 0) hoặc A ;
5 5
Với A(1; 2;0) C (3; 6;8) .
Câu 73. Chọn B.
Ta có AC 2 BC 2 9 9 AB 2
tam giá c ABC vuông ta ̣i C .
1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
Suy ra: r
93 6
1
p
3
2
3
3
m 3
2
n 2 13 suy ra m 2; n 2 3
1
OM , ON .OP 6 3 p V 6 3 p 3 p 3
6
Vậy A 2 2.12 3 29.
Câu 75. Chọn B.
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giá c ABC AI BI CI , I ( ABC )
AI 2 BI 2
14
61
1
14 61 1
x ; y ; z I ; ; P 50.
CI 2 BI 2
15
30
3
A
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi
là mặt cầu tâm I, bán kính R.
B
Kí hiệu: S I ; R S I ; R M | IM R
2. Các dạng phương trình mặt cầu
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
Dạng 1 : Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , bán kính R 0 .
2
2
S : x a y b z c
2
(S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
(2)
Điều kiện để phương trình (2) là phương trình
R2
điểm.
kính r R 2 IH 2
M1
R
I
I
R
M2
P
H
P
H
I
d
R
r
I'
α
R
Δ
R
R
I
H
I
B
A
* Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d I ; IH .
+ Lúc đó:
AB
R IH AH IH
2
2
2
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S)
d I ; R.
+ Mặt phẳng là tiếp diện của (S) d I ; R.
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 .
IM 0 ad
IM 0 d
Sử dụng tính chất :
IM 0
IM 0 // n
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
19 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
2
a) Mặt cầu tâm I 2; 2; 3 và bán kính R 3 , có phương trình: (S): x 2 y 2 z 3 9
b) Ta có: IP 1; 4;1 IP 3 2 .
2
2
Mặt cầu tâm I 1; 2; 0 và bán kính R IP 3 2 , có phương trình (S): x 1 y 2 z 2 18
c) Ta có: AB 3; 3;0 AB 3 2 .
1 3
Gọi I là trung điểm AB I ; ;1 .
2 2
AB 3 2
1 3
Mặt cầu tâm I ; ;1 và bán kính R
, có phương trình:
2
2
2 2
2
2
1
3
1
5 a
2
25 4a 40 a 10
I 10; 0;0 và IA 5 2 .
2
Mặt cầu tâm I 10; 0;0 và bán kính R 5 2 , có phương trình (S) : x 10 y 2 z 2 50
b) Do (S) tiếp xúc với d O, R R
75
3.
25
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
20 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
b) (S) qua A 0;8; 0 , B 4; 6; 2 , C 0;12; 4 và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi I x; y; z là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
IA2 IB 2
IA IB
y z 1 x 2
2
2
Theo giả thiết: IA IC IA IC x 7 z 2 y 1 .
IA ID
2
y 4z 1
z 0
2
IA ID
2
2
Do đó: I 2;1; 0 và R IA 26 . Vậy (S) : x 2 y 1 z 2 26 .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 , a 2 b 2 c 2 d 0 .
Do A 1; 2; 4 S 2a 4b 8c d 21 (1)
Tương tự: B 1; 3;1 S 2a 6b 2c d 11
Vậy I 0; 7;5 và R 26 . Vậy (S): x 2 y 7 z 5 26.
x t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : y 1 và (S) tiếp xúc với hai
z t
mặt phẳng : x 2 y 2 z 3 0 và : x 2 y 2 z 7 0 .
Bài giải:
Gọi I t ; 1; t là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: d I , d I ,
1 t
3
5t
3
1 t 5 t
t 3.
1 t t 5
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
21 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
Ta có: IA 1 t;6 2t ;5 t , IB 3 t ; 2t ;13 t .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI
2
2
1 t 6 2t 5 t
2
3 t
2
4t 2 13 t
62 32t 178 20t 12t 116 t
2
29
3
1
hai điểm A, B với AB 16 .
Bài giải:
Chọn M 1;1;0 IM 3; 2;1 . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 4;1 .
IM , u
Ta có: IM , u 2; 4;14 d I ,
2 3.
u
2
AB 2
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : R d I ,
2 19.
4
2
2
2
Vậy (S): x 2 y 3 z 1 76 .
z 1 2t
Ta có : d I , Q
5 6
.
3
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20 r 2 r 2 5.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ: [email protected]
22 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
2
Theo giả thiết: R d I , Q r 2
330
110
2
2
2
1
2 13
1
1 2 13
* Với t : Tâm I1 ; ; , suy ra S1 : x y z 13 .
6
6
3
6
6 3 6
2
* Với t
2
2
11
2
1
11
11 2 1
: Tâm I 2 ; ; , suy ra S 2 : x y z 13 .
u
3
Bài tập 9: Cho điểm I 1; 0;3 và đường thẳng d :
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I
1
1
1
2
40
2 2 2 R 2 IH 2d I , d
2
IH
IA IB
R
3
40
2
2
Vậy (S) : x 1 y 2 z 3
.
9
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0 và điểm A 4; 4;0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải :
2c
2c
2
Lúc đó: d I ; P
2
2
2
2
2
2
2
3
a b c
2a c
2a c
c a
. Theo (*), suy ra P : x y z 0 hoặc x y z 0.
2a 2 c 2 3c 2
c 1
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):
r R 2 d I ; P
2
+ Ta có: d I , P 1 . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r R 2 d I , P 3.
Dạng 2 :
SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S) d I ; R.
+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) d I ; R.
* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
x y 1 z 2
Bài tập 1: Cho đường thẳng :
và và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 . Số
2
1
1
điểm chung của và S là :
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Bài giải:
Đường thẳng đi qua M 0;1; 2 và có một vectơ chỉ phương là u 2;1; 1
Mặt cầu S có tâm I 1; 0; 2 và bán kính R 2.
u, MI
Copyright: Tài liệu đại học ©