Mục lục

1

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Tính bão hòa nguyên tố

4

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tính b o hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . .

5

1.3

Chiều Noether và tính b o hòa nguyên tố . . . . . . . . .

9

1.4


Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . .

30

3.3

Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . .

35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1


2

Mở đầu
Các bài toán về điều kiện d y nguyên tố đ đợc quan tâm từ những
năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố

đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất b o hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính b o hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng
điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn của vành.


Chơng 1
Tính bão hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.

1.1

Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho
các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết
này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho
môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu

công thức sau đây.
1.1.2. Bổ đề. (xem [Sh]). AttR A = {p R : p AttR A}.

1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Trớc hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh M
nh sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa AnnR M . Khi đó
p Supp M và do đó Mp = 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra
(M/pM )p = Mp/pMp = 0.
Vì thế p Supp(M/pM ), tức là p AnnR (M/pM ). Vì vậy ta luôn có
AnnR (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A.

()


6

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất b o hòa nguyên
tố nếu nó thỏa m n tính chất (*).
1.2.2. Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng AnnR A =
AnnR D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A). Do vậy mọi môđun
Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều b o hoà nguyên tố.
Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá

0 Hm0 (R/xR) Hm1 (R) Hm1 (R).
Suy ra Hm0 (R/xR)
= 0 :Hm1 (R) x = 0 :A x. Vì Hm0 (R/xR) là Rmôđun
có độ dài hữu hạn nên 0 :A x có độ dài hữu hạn. Do x p nên
0 :A p 0 :A x và do đó 0 :A p có độ dài hữu hạn. Vì thế AnnR 0 :A p
là iđêan mnguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :A p) = p. Vậy A
không b o hoà nguyên tố.
Ta luôn có Supp M = {p R : p Supp M }. Vì M là hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M ). Tơng tự, vì M là R-môđun hữu hạn sinh
nên Supp M = V (AnnR M). Do đó ta có V (AnnR M ) = {p R : p
V (AnnR (M )}. Hơn nữa, nh đ nhắc ở tiết trên, mỗi Rmôđun Artin A
đều có cấu trúc tự nhiên là Rmôđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng
ta hỏi rằng liệu đẳng thức
V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A}
là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này
xảy ra khi và chỉ khi A b o hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A b o hoà nguyên tố.
(ii) V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A)}.


8

Chứng minh. (i)(ii). Cho p V (AnnR A). Khi đó tồn tại một iđêan
nguyên tố tối thiểu q chứa AnnR A sao cho p q. Chú ý rằng q
AttR A. Ta có
AttR A = {p R : p AttR A}.
Vì thế q R AttR A. Suy ra q R V (AnnR A) và vì thế ta suy ra
p R V (AnnR A). Do đó
V (AnnR A) {p R : p V (AnnR A)}.

định nghĩa bằng quy nạp nh sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimR A = 1.
Cho d 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-dimR A = d nếu
N-dimR A < d là sai và với mỗi d y tăng các môđun con A0 A1 . . .
của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An /An+1 ) < d với
mọi n > n0 .
Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay rằng N-dimR A = 0
nếu và chỉ nếu A = 0 và (A) < . Hơn nữa, nếu
0 A A A 0
là một d y khớp các Rmôđun Artin thì
N-dimR A = max{N-dimR A, N-dimR A }.
R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của
môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun
hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta
03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin


10

1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 :A q) < thì có một đa
thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho R (0 :A qn+1 ) = Q(n) khi n 0 và
N-dimR A = deg(R (0 :A qn+1 ))
= inf{t 0 : x1, . . . , xt m : R (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < }.
Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho
môđun Artin.
1.3.3. Định nghĩa. Một hệ (x1, . . . , xd ) gồm d = N-dim A phần tử của
m đợc gọi là hệ tham số của A nếu (0 :A (x1 , . . . , xd )R) < . Một
hệ (x1 , . . . , xi ) với i

d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....