TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI, 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THU HẰNG

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ
TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016


Mục lục


6

1.2.2. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4.

9

Bài toán tối ưu véctơ (VOP) . . . . . . . . . . . . . .

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

11

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng véctơ . . . . .

12

2.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

Problem) theo cách gọi của các tác giả L. D. Muu, W. Oettli(2) . Bài toán
cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớp
bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu,
bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cân bằng
Nash, ...; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiên cứu
chung rất tiện lợi.
Nếu hàm số f được thay bằng hàm véctơ F : A × A → Y , ở đó Y là
một không gian véctơ tôpô, thì chúng ta có bài toán
(VEP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈
/ −K với mọi y ∈ A,

với K ∪ {0} là một nón lồi trong Y . Bài toán (VEP) được gọi là Bài toán cân
bằng véctơ (Vector Equilibrium Problem). Bài toán cân bằng véctơ là một sự
mở rộng tự nhiên của các bài toán tối ưu véctơ và bài toán bất đẳng thức
biến phân véctơ.
Một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng của lý thuyết các bài
toán cân bằng đó là đưa ra các điều kiện đảm bảo sự tồn tại nghiệm của các
(1)

Nikaido, H., Isoda, K.: A note on non cooperative convex games, Pacific Journal of Mathematics 5 (1995),

807-815.
(2)
Muu, L. D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria,
Nolinear Anal. 18 (1992), 1159–1166.

1


Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập
lồi là tập mà khi lấy 2 điểm bất kì của tập thì đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng
nằm trong tập đó.
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và
với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số bất kì. Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là các
tập lồi thì tập X =

Xi là tập lồi.
i∈I

Bổ đề 1.2. Cho X, Y là tập lồi trong Rn và các số thực t, µ. Khi đó, tX + µY
là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1 , x2 , ..., xm ,
nếu tồn tại các số thực không âm λ1 , λ2 , ..., λm sao cho
x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm

3


và
λ1 + λ2 + ... + λm = 1.
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của X (kí hiệu: convX) là giao của tất cả các tập
lồi chứa X.

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → R. Hàm f là lồi khi và
chỉ khi với mọi λ1 , λ2 , ..., λm ≥ 0;

m
i=1 λi

m

f

m

λi xi

≤

i=1

1.1.3.

= 1; ∀x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn . Ta có:
λi f (xi ).

(1.1)

i=1

Nón

Định nghĩa 1.7. Một tập C ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ C, và

NX (x) = [cone (X − x)]o
được gọi là nón pháp tuyến đối với X tại x.
Nhận xét 1.1. v ∈ NX (x) ⇔ v, y − x ≤ 0, ∀y ∈ X.

1.2.

Bài toán tối ưu véctơ

1.2.1.

Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự

Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định
nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là một
phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.14. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan hệ
này là:
(i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(ii) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(iii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(iv) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈
E, x = y;
(v) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
6


(vi) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
Định nghĩa 1.15. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản

y nghĩa là x >K y với

K = {0} ∪ int C.

1.2.2.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương
ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).
7


(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứng
với C nếu x

y, y ∈ A thì y

x;

Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là M in(A | C).
(iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với int K ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ M in(A | K);


Định nghĩa 1.17. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát cắt A
tại x và kí hiệu Ax .
Mệnh đề 1.3. Cho x ∈ E với Ax = ∅. Ta có :
(i) IM in(Ax ) ⊆ IM in(A) nếu IM in(A) = ∅;
(ii) M in(Ax ) ⊆ M in(A);
(iii) W M in(Ax ) ⊆ W M in(A).
Nhận xét 1.2. Quan hệ P rM in(Ax ) ⊆ P rM inA nói chung không đúng trừ
một số trường hợp đặc biệt.

1.2.3.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm
(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α.
Định nghĩa 1.19. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy
đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.3. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong
E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác
rỗng.

1.2.4.

Bài toán tối ưu véctơ (VOP)

Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là một
ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian véctơ tôpô thực được xắp
thứ tự bởi nón lồi C.

Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng véctơ
2.1.

Đặt bài toán
Cho X là không gian véctơ tôpô thực; K ⊂ X là một tập lồi, đóng,

khác rỗng; (Y, P ) là không gian véctơ tôpô với thứ tự bộ phận (hoặc thứ tự
véctơ ) ≤P được sinh bởi một hình nón lồi, đóng, nhọn P , vì vậy x ≤P y ⇔
y − x ∈ P, ∀x, y ∈ Y ; f : X × X → Y với f (x, x) = 0 với mọi x ∈ X. Bài toán
cân bằng véctơ được phát biểu như sau:
(VEP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ∈
/ −int P với mọi y ∈ A, (2.1)

ở đó int P là phần trong của P . Bài toán này bao phủ các lớp bài toán quan
trọng như: bài toán tối ưu hóa véctơ , bài toán bù véctơ , bài toán điểm bất
động, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ . Nếu y = R, P = R+ thì bài
toán (VEP) quay về bài toán cân bằng:
(EP)

Tìm x ∈ A thỏa mãn f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ A.

(2.2)

Bài toán (EP) được đề xuất và nghiên cứu bởi Blum và Oettli trong [2]. Trong
khóa luận này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
11


Khi đó, x ∈ K được gọi là một nghiệm yếu của (VOP).
Nhận xét 2.1. (a) Đặt
f (x, y) := φ(y) − φ(x).
Khi đó, bài toán (2.4) trùng với (VEP) nếu f là P -đơn điệu.
(b) Nếu φ : X → Y là P -lồi và khả vi Gateaux, thì bài toán (2.4) và bài toán
(1)

Fan, K.: A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem, Math. Ann. 142 (1961) 305-310.

12


bất đẳng thức biến phân véctơ (vector variational inequality problem):
(VVI)

Tìm x ∈ K thỏa mãn

có cùng tập nghiệm (xem

(2)

∇φ(x), y − x ∈
/ −int P, ∀y ∈ K (2.5)

). Bằng cách đặt, f (x, y) = ∇φ(x), y − x , thì

bài toán (2.5) chính là một trường hợp đặc biệt của bài toán (VEP). Trong
trường hợp này, hàm f là P -đơn điệu vì ∇φ(·) là P -đơn điệu.
(ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ

KPs = {l ∈ L(X, Y ) : l, x ∈ P, ∀x ∈ K} .
Cho T : X → L(X, Y ) là một ánh xạ. Khi đó, các bài toán bù véctơ được
phát biểu như sau:
Tìm x ∈ X
(2)

+

sao cho x ∈ K, T x ∈ KPw , T x, x ∈
/ intP,

(2.7)

Chen, G. Y., Craven, B. D.: Existence and continuity for vector optimization, J. Optim. Theor. Appl. 81

(1994), 459–468
(3)
Cottle, R. W., Giannessi, F., Lions, J. L.: Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in: Variational Inequalities and Complementarity Problems, pp. 151-186, New York(1980)

13


và
Tìm x ∈ X

+

sao cho x ∈ K, T x ∈ KPs , T x, x ∈
/ intP.


trong mục này.
Định nghĩa 2.2. Cho K và C là các tập lồi với C ⊂ K. Khi đó, nhân của C
tương ứng với K, kí hiệu bởi coreK C, được định nghĩa như sau:
a ∈ coreK C ⇐⇒ a ∈ C và C ∩ (a, y) = 0, ∀y ∈ K\C .
Chú ý rằng coreK K = K.
(4)

Yang, X. Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J. Optim. Theory Appl. 77 (1993)

483-495
(5)
Yang, X. Q.: Vector complementarity and minimal element problems, J. Optim. Theory Appl. 77 (1993)
483-495

14


Định nghĩa 2.3. Cho (Y, P ) là một không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự.
Một ánh xạ T : X → Y được gọi là P -lồi khi và chỉ khi đối với mỗi cặp
x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có
T (λy + (1 − λ)x) ≤ p λT (y) + (1 − λ)T (x).
Bổ đề 2.1. (Xem

(6)

). Cho (Y, P ) là không gian véctơ tôpô được sắp thứ tự

bởi một hình nón lồi đóng nhọn. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có
(i) y − x ∈ intP và y ∈
/ intP kéo theo x ∈

Stampacchia Theorem, J. Optim. Theor. Appl. 74 (1992) 445-456

15


Để chứng minh Định lý 2.1, trước tiên chúng ta sẽ chứng minh ba bổ
đề sau.
Bổ đề 2.2. (Nguyên lý ánh xạ KKM-Fan, xem(7) ) Cho C là một tập con
khác rỗng của X và S : C ⇒ X là một ánh xạ thỏa mãn tính chất: với mỗi
tập con hữu hạn {x1 , ..., xn } của C, ta có:
n

conv {x1 , ..., xn } ⊂

S (xi ) .
i=1

Nếu tất cả các tập S (x) đóng và một trong các tập này là compact thì
S (x) = φ.
x∈C

Bổ đề 2.3. Tồn tại x ∈ C sao cho
h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.4. Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(A) x ∈ C, h(x, y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C;
(B) x ∈ C, h(x, y) + g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ C.
Bổ đề 2.5. Giả sử φ : K → Y là P -lồi, x0 ∈ coreK C, φ(x0 ) ∈

Định nghĩa 2.5. Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K được
gọi là P -đơn điệu cực đại theo nghĩa rộng khi và chỉ khi, với mỗi cặp
(u, x) ∈ L(X, Y ) × K : −u, y − x − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K
⇒ g(x, y) − u, y − x ∈
/ −intP, ∀y ∈ K.

(21)

Định nghĩa 2.6. Một ánh xạ g : K × K → Y với g(x, x) = 0, ∀x ∈ K được
gọi là P -đơn điệu cực đại khi và chỉ khi với mỗi x ∈ K và mỗi ánh xạ P -lồi
φ : K → Y với φ(x) = 0 :
φ(y) − g(y, x) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K ⇒ g(x, y) + φ(y) ∈
/ −intP, ∀y ∈ K. (2.12)
Mối quan hệ giữa Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.5 như sau:
Bổ đề 2.6. (Xem [6]) Cho g : K × K → Y là P -đơn điệu, P -lồi và nửa liên
tục dưới theo biến thứ hai và khả vi Gateaux. Khi đó, Định nghĩa2.4 và Định
nghĩa 2.5 là tương đương.
Bây giờ, chúng ta có định lý sau.
Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện (i) và (iii) của Định lý 2.1, và giả sử các
điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(ii)∗ g : K × K → Y có các tính chất sau g(x, x) = 0, ∀x ∈ K; g là P -đơn
điệu và P -đơn điệu cực đại (được định nghĩa trong (2.12)); g là lồi và nửa
17


liên tục dưới theo biến thứ hai.
(iv)∗ Tồn tại một tập lồi compact khác rỗng B của K, sao cho mỗi x ∈ K,
tồn tại a ∈ B sao cho

problems, in: Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria.
Mathematical Theories (ed.) F Giannessi (Dordrecht, Boston, London:
Kluwer Academic Publishers) (2000), 267–275.
[6] Kazmi, K. R.: On vector equilibrium problem. Proc. Indian Acad. Sci.
(Math. Sci). 110(2) (2000), 213–233.