BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HÀ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HÀ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Xuân Tấn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

3.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II . . . . . 33
3.1.2. Các bài toán liên quan . . . . . . . . . 34
3.2. Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . 35
v
3.3. Sự tồn tại của các bài toán liên quan . . . . . . . . . 42
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Các bài
toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài
toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán điểm yên ngựa.
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình
của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để
xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972)
và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994,
Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và
tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau
thành một dạng chung.
Các bài toán tựa cân bằng là những bài toán của giải tích phi tuyến.
Do đó, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải
tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài:
“Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan tới
ánh xạ đa trị”.
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nêu một
số không gian và kến thức cơ bản thường dùng như: không gian tôpô,
không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorf; nón và ánh xạ đa trị;
1

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Việc mở rộng từ ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị là nhu cầu thực
tiễn nảy sinh khi có những bài toán liên quan đến phép chuyển một điểm
của tập này thành tập con của tập kia. Môn giải tích đa trị đã được hình
thành và trở thành công cụ đắc lực trong việc nghiên cứu các bài toán
liên quan đến ánh xạ đa trị. Để nghiên cứu các bài toán liên quan đến
ánh xạ đa trị, trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong giải
tích hàm.
1.1. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hauss-
dorff
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X, gọi τ là các tập con của X, T là
tập bất kỳ. Khi đó X được gọi là không gian tôpô nếu các điều kiện sau
thỏa mãn:
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
(ii) Với U
t
∈ τ, ∀t ∈ T thì

t∈T
U
t
∈ τ;
(iii) Với ∀U
1
, U
2
∈ τ thì U
1
∩ U

, y

∈ U
y
thì x

+ y

∈ V .
(ii) αx là ánh xạ liên tục của hai biến α, x, nói rõ hơn, với mọi lân
cận V của αx đều có một số  > 0 và một lân cận U của x sao cho nếu
|α

− α| < , x

∈ U, thì α

x

∈ V .
Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu
trúc đại số được gọi là không gian tôpô tuyến tính.
5
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không
gian lồi địa phương nếu mọi phần tử của X có cơ sở lân cận thành lập
từ các tập lồi hay tương đương, phần tử 0 ∈ X có cơ sở lân cận thành
lập từ các tập lồi.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian
Haussdorff nếu với mỗi x, y ∈ X, x = y bao giờ cũng tồn tại lân cận U
x

tầm thường.
2. Cho Ω là không gian dãy các số thực: C = {x = {x
n
} ∈ Ω : x
n
≥ 0, ∀n};
C là nón lồi, nhọn. Ta chưa thể nói nó sắc hay đúng vì chưa có tôpô đưa
vào không gian.
3. Cho L
p
[0, 1] , 0 < p < 1 là không gian các hàm trên [0, 1].
L
p
[0, 1]

x (t) , t ∈ [0, 1] ,

1
0
|x|
p
dµ < ∞

, µ là độ đo Lơbe.
Tôpô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các
tập có dạng:

x ∈ L
p
[0, 1] ,

hữu hiệu Pareto đối với nón C
0
= {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu
yếu của A đối với nón C được kí hiệu là W Min (A \ C) hoặc W MinA.
(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối
với nón C nếu tồn tại nón lồi
˜
C khác toàn không gian và chứa C \ l (C)
trong phần trong của nó để x ∈ P Min

A \
˜
C

.
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu
là P rMin (A \ C) hay P rMinA.
Từ định nghĩa trên ta luôn có IMinA ⊂ P rMinA ⊆ MinA ⊆
W MinA.
1.2.2. Ánh xạ đa trị
Cho X là tập hợp bất kì. Kí hiệu 2
X
là tập gồm các tập con của
X. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.2.1. Mỗi ánh xạ F từ tập X vào Y được gọi là ánh xạ
đa trị từ X vào Y , kí hiệu F : X → 2
Y
.
Như vậy mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y , không loại trừ
khả năng với một số phần tử x nào đó của F (x) là tập rỗng. Nếu x ∈ X,

(Y ) = {x ∈ X : y ∈ F (x)}
mở thì F được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh
xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.2.2. Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kì. F
1
, F
2
; X →
2
Y
, F : X → 2
Y
, G : Y → 2
Z
là các ánh xạ đa trị.
a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F
1
, F
2
và ánh xạ bù của F là các
ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi
(F
1
∪ F
2
) (x) = F
1
(x) ∪ F
2

, F
2
và phép nhân một số với ánh xạ F
1
là các ánh xạ đa trị từ X vào
Y được xác định bởi
(F
1
+ F
2
) (x) = F
1
(x) + F
2
(x) ;
(λF
1
) (x) = λF
1
(x) .
Định nghĩa 1.2.2.3. Cho F : X → 2
Y
, kí hiệu F, F
◦
là các ánh xạ bao
đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi F (x) = F (x), (F
◦
) (x) =
(F (x))
◦

→ y, y
a
∈ F (x
a
) thì y ∈ F (x
a
). Nếu
F (x) là tập đóng ∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị
là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.2.2.1. Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Nếu F là nửa
liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu F là
ánh xạ đóng và Y compact thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.2.2.2. a) Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. F là nửa liên
tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ
dãy {x
β
}
β∈Λ
, x
β
∈ D, x
β
→ x, tồn tại dãy {y
β
}

= 1, y
i
∈ F (y). Khi đó x ∈
F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n. Từ F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n là tập mở, ta suy
11
ra tồn tại lân cận U (x) của x sao cho U (x) ⊆ F
−1
(y
i
) , ∀i = 1, 2, , n.
Điều này dẫn đến y
i
∈ F (z) với z ∈ U (x) , ∀i = 1, 2, , n. Do đó
y =

n
i=1
α
i
y
i
∈ (coF ) (z) với z ∈ U (x) nên U (x) ⊆ (coF )

−1
(y). Từ kết luận này ta có (−∞, −b) ⊆
U
y∈V
F
−1
(y) hay U
y∈V
F
−1
(y) là tập mở. Do đó F là ánh xạ nửa liên tục
dưới.
Ta nhắc lại, hàm vô hướng f : X → R gọi là nửa liên tục trên
(hoặc dưới) tại x nếu với bất kỳ c > 0 đều tồn tại lân cận U  x sao
cho f (x) ≤ f (x) + c (hoặc f (x) ≤ f (x) − c). Khái niệm này có thể mở
rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véctơ tôpô lồi địa
phương với nón C.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. D, K
là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị
12
từ D vào Y . Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.2.2.6. a) F là C- liên tục trên (hoặc C- liên tục dưới)
tại x
0
∈ D nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận
U của x
0
trong X sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0

bởi f (α) = F (αx + (1 − α) y) và c (α) = C (αx + (1 − α) y) , α ∈
[0, 1]. Do F và C là hemi liên tục trên nên f, c là ánh xạ nửa liên tục
13
trên tại 0. Với V là lân cận bất kỳ của gốc trong Y tồn tại lân cận U
của 0 trong [0, 1] sao cho
F (αx + (1 − α) y) ⊆ F (y) + V ;
C (αx + (1 − α) y) ⊆ C (y) + V, ∀α ∈ U.
Do đó, nếu F (αx + (1 − α) y) ∩ C (αx + (1 − α) y) = ∅, ∀α ∈ (0, 1) thì
(F (y) + V ) ∩(C (y) + V ) = ∅. Điều này dẫn đến F (y) ∩ (C (y) + 2V ) =
∅. Giả sử F (y) là tập compact ta sẽ chứng minh F (y) ∩ C (y) = ∅.
Thật vậy, giả sử V
β
là lân cận bất kỳ của gốc trong Y , lấy α
β
∈ F (y) ∩
(C (y) + 2V
β
) , α
β
= b
β
+ v
β
, trong đó b
β
∈ C (y) , v
β
∈ V
β
. Ta có thể

Chú ý:
a) Nếu C = {0} thì {0}- lồi trên và {0}- lõm trên của F đồng nhất
với nhau và được gọi là dưới tuyến tính.
b) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị thì C- lồi trên và C- lồi dưới
(C- lõm trên và C- lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là C- lồi (hoặc C-
lõm).
Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là
lồi hoặc lõm. Ta có thêm khái niệm sau:
Định nghĩa 1.2.2.9. Cho F là ánh xạ đa trị từ D ⊂ X vào 2
Y
là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C.
a) F được gọi là C- tựa giống như lồi trên trên D nếu với bất kỳ
∀x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1] ta luôn có:
F (x
1
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α) x
2
) + C;
hoặc F (x
2
) ⊆ F (αx
1
+ (1 − α) x

với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ D, ta luôn có
co {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊆
n

j=1
H(t
j
)
Dưới đây là một số khái niệm mở rộng của khái niệm KKM trong một
số trường hợp.
Định nghĩa 1.2.2.11. Cho F : K × D × D → 2
X
, Q : D × D → 2
K
là
các ánh xạ đa trị. F được gọi là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn
{t
1

hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ E có một tập hữu hạn {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ D để bất kỳ
x ∈ co {x
1
, x
2
, , x
n
} có t
i
j
∈ {t
i
1
, t
i
2
, , t
i

, , t
n
} ⊂ D
và x ∈ co {t
1
, t
2
, , t
n
} có t
j
∈ {t
1
, t
2
, , t
n
} sao cho R (y, x, t
j
) xảy ra
∀y ∈ Q (x, t
j
).
Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động KyFan.
Định lí 1.2.2.1. (Định lý điểm bất động S.Park([3])) Cho X là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, K ⊂ X là một tập con lồi, compact.
F : K → 2
K
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác
rỗng. Khi đó tồn tại x ∈ K sao cho x ∈ F (x).

} ⊂ D luôn có co {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊆

n
j=1
H (t
j
). Ngoài
khái niệm trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này
vào một tập khác. Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau:
Định nghĩa 1.2.2.17. Cho X, Z là các không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆
Z, F : K × D × D → 2
X
, Q : D × D → 2
K
là các ánh xạ đa trị.
F được gọi là Q- KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂
D và x ∈ co {t
1

với bất kỳ x ∈ co {x
i
1
, x
i
2
, , x
i
k
} tồn tại t
i
j
∈ {t
i
1
, t
i
2
, , t
i
k
} thoả mãn
0 ∈ F

y, x, t
i
j

, ∀y ∈ Q


hay nói cách khác luôn đạt mục tiêu sản xuất ổn định.
Về toán học, vấn đề trên có thể mô hình hoá như sau:
Cho X, Y , Z là các không gian tuyến tính, các tập con D ⊆ X, K ⊆
Z. Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2
D
, T : D × K → 2
K
, F :
K × D × D × D → 2
Y
với giá trị khác rỗng.
19

Trích đoạn Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và các bài toán liên quan

---