Bài giảng hình học giải tích
Đ0 : Mở đầu
Nguyên tắc
Trực quan

Các quan hệ véctơ

Các liên hệ trong hệ toạ độ
Đ1 : Véctơ
I. Tổng quan
1. Là gì ?
+ là khái niệm toán học thể hiện sự tác động có thứ tự ( mối quan hệ )
giữa các điểm.
2 điểm
Đợc tạo thành nhờ 1 hớng xác định giữa 2 điểm
Cụ thể :
+) Với 2 điểm A; B ta có véctơ
AB
Với A : điểm đầu
B : điểm cuối
+) Nếu điểm đầu trùng điểm cuối ta có véctơ
o
1.2) Đặc trng của 1 véctơ
Phơng : là phơng của 1 đt với điểm đầu, điểm cuối
Gồm : Hớng : từ điểm đầu đến điểm cuối
Độ lớn : độ dài đoạn với 2 điểm
Cụ thể :
Phơng : là phơng của đt MN ( đờng thẳng giá )
+)
MN
Hớng : từ M đến N

NM

; nếu không thực sự quan tâm tới 2 nút.
2. Quan hệ đồng phẳng
+ Khái niệm này ám chỉ sự kiện 3 véctơ có thể dời về cùng một mặt
phẳng và vì vậychúng sẽ phải đợc đặt trên 3 đt giá cùng song song với 1 mặt
phẳng.
Định lý :
Các khẳng định sau là các mệnh đề tong đơng :
1/
U

đồng phẳng với
V

&
S

, (
V

&
S

giả thiết là không cùng mặt phẳng ).
2/

! Cặp ( k;l )
u


s

luôn đồng phẳng bất chấp
u

ra sao.
3. Quan hệ

+ Từ định nghĩa vô hớng ta thấy quá rõ ràng rằng
u

và
v

có phơng
vuông góc với nhau

u

.
v

= 0
Điều tầm thờng này dùng để xem xét các quan hệ

= véctơ
Chú ý :
+) Xét 3 Vector đơn vị
i



=
k

= 1
Hơn nữa :
[
ji,
] =
k


[
kj,
]=
i

[
ik,
]=
j

Đồng thời :
Với
a

,
b

,

k

thì

định lợng trở lên rất đơn giản !
2
Định lý I ( Định lý về sự dời gốc )
* Cho trớc 1
a

và 1 điểm gốc Tcố định, khi đó

! A thỏa
a

=
AT

II. Các phép toán véctơ
II.1 : Phép cộng
+) Là phép toán thể hiện mối quan hệ không thứ tự và có tính tác động
truyền dẫn giữa 2 véctơ.
Luật

( Tam giác )
Cho
a

=
AT

b

=
BT

khi đó
a

+
b

=
AT

+
BT

=
CT

Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành
II.2: Phép trừ
+) Véctơ đối của 1 véctơ
u

=
BA

là véctơ
AB

thứ tự
a

-
b

=
a

+ ( -
b

)
BA

-
NM

=
BA

+ ( -
NM

) =
BA

+
MN


= k
1
.
1
a

+ k
2
.
2
a

+ + k
n
.
n
a

thì ta nói
U

đợc biểu diễn tuyến tính theo
1
a

;
n
a

với các hệ số biểu diễn tơng

k đợc xác định qua
u

&
v

nhờ
k
=
v
u



dấu k phụ thuộc vào sự cùng hoặc
ngợc hớng giữa
u

&
v

Ngoài ra phép toán tuyến tính còn có một số t/c đáng lu ý sau :
u

+
v

=
v


u

+ k
v

( k + l ).
u

= k.
u

+ l.
u

( phân phối )
II.4/ Tính vô hớng của 2 véctơ
II.4.1/ Là gì ?
+ )Là phép toán ( quan hệ 2 ngôi trên các véctơ có tính lợng hóa
II.4.2/ Định nghĩa :
a

.
b

=
a

.
b



là véctơ chiếu

của
a

lên trục giá của
b

,
b

là véctơ chiếu

của
b

lên trục của
a

+)Tính vô hớng có tính tác động phân phối lên 3 phép toán tuyến tính và
giao hoán.
Cụ thể
u

. ( k
a

+ l
b

s

đợc hiểu là lấy
vu

.
trớc rồi lấy hằng số
vu

.
= k nhân
vào
s

để đợc k
s

( tích vô hớng không có tính kết hợp )
II.5/ Tích hữu hớng của 2 véctơ trong không gian
II.5.1/ Về bản chất
+) là phép toán véctơ thể hiện tính đóng
II.5.2/ Định nghĩa :
[ ]
ba


,
là véctơ đợc khai báo :
+ Phơng


u

cùng phơng với
v

đợc hiểu là khi 2 đờng thẳng giá của chúng
song song hoặc trùng nhau ( theo định lý dời gốc khi này cần dời chúng về
chung một gốc vì vậy chúng đợc đặt trên cùng 1 giá ).
Định lí
3 điều sau là

1.
u

cùng phơng với
ov


5