Hệ thức lượng trong tam giác
Câu 1. Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15. Tính diện tích tam giác
S
ABC
, h
a
, m
a
Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi r

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của
tam giác. Chứng minh rằng:
a)
2
C
tan)(
2
B
tan)(
2
A
tan)( cpbpapr
−=−=−=
b)






=
=
−+
−+
Cba
b
bca
bca
cos.2
2
333
CMR tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. CMR trong tam giác ta có:
S
cba
CBA
4
222
cotcotcot
++
=++
Câu 6. Cho tam giác ABC thoã mãn:
444
cba
+=

+=
thì
)
22
(
2
1
2
cab
+=
Câu 10. Giả sử các góc của tam giác ABC thoã mãn hệ thức:
sinB = 2sinC.cosA
a) CMR ta có: b =2c.cosA
b) Suy ra tam giác ABC cân tại B
Câu 11. Tam giác ABC có AB =8, AC= 9 và BC =10. Một điểm M nằm trên
cạnh BC sao cho BM =7. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Câu 12.
a) Tam giác ABC có b = 7, c = 5 và cosA =2/5. Tính h
a
và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác R
b) Tám giác ABC có A =7, b =8, c =6. Tính h
a
và m
a
.
Câu 13. Các cạnh của tam giác ABC lần lượt là 2,
13,6
+
. Tính các góc

−=
Câu 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a.
2
cos
2
cos
2
cos4
CBA
Rp
=
b.
2
sin
2
sin
2
sin.4
CBA
Rr
=
Câu 18. Cho tam giác ABC có b + c =2a. CMR:
a. sinB + sinC = 2sinA b.
hchb
a
h
112
+=
Câu 19. Cho tam giác ABC. Giả sử 4A=2B=c

Câu 22. Cho tam giác ABC có B =60
0
, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác bằng 2. Tính bán kính đương tròn qua A, C và tâm I của đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.
Câu 23. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC,
ICA, IAB. CMR: R
1
R
2
R
3
=2R
2
.r
Ngày 3
Câu 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:
1
( )( )
4
S a b c a c b= + − + −
Câu 2. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu:
1 osB 2
sinB
2 2
4
c a c
a c
+ +
=



+ − =





Câu 6. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:
2 3 3 3
3 2 (sin sin sin )S R A B C= + +
Câu 7. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:
3
2
a
b c h
a
+ = +
Câu 8. Cho tam giác ABC thoã mãn:
osB osC sin sin
b c a
c c B C
+ =
Câu 9. CMR trong mọi tam giác ta có:
2 2 2
a
. osA+ac.cosB+ba.cosC=
2
b c
bc c

. CMR:
cot cot 2cotgC gB g
α
− =
Câu 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trong tam giác sao cho
·
·
·
MAB MBC MCA
α
= = =
. Chứng minh rằng:
cot cot cot cotg gA gB gC
α
= + +
Câu 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 3 điểm M, N, P sao cho:
BM = MN =NP. Đặt
·
·
·
; ;BAM MAN NAC
α β γ
= = =
. CMR:
2
(cot cot )(cot cot ) 4(1 cot )g g g g g
α β β γ β
+ + = +
Câu 15. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
1

Câu 22. CMR:
1 1 1 1
r h h h
a b c
= + +
Câu 23. CMR:
2
osA+bcosB+ccosC
pr
ac
R
=
Câu 24.
1 osA+cosB+cosC
r
c
R
+ =
Câu 25. CMR:
. . .S r r r r
a b c
=
Câu 26.CMR:
2
ab bc ca
h h h
a b c
R
+ +
+ + =

g g g
r r r
a b c
 
+ + = + +
 ÷
 
Câu 31. CMR:
2 2 2 2
4 16 2( )a b c r Rr ab bc ca+ + + + = + +
Ngày 4
Chứng minh tam giác cân hoặc vuông:
Câu 1.Cho tam giác ABC có:
3 2 2 3 2 2 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − =
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 2. Cho tam ABC có:
h h h h h h
a b c b c a
h h h h h h
b c a a b c
+ + = + +
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 3. Cho tam giác ABC có
2
4 .r r c
c
=
. Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 4. Cho am giác ABC có:

a
= −
Câu 8. Cho tam giác ABC có:
1
2 2
( )
4
S a b= +
Chứng minh rằng tam giác
ABC vuông cân
Câu 9. Cho tam giác ABC có:
(1 2)p R= +
. Chứng minh rằng tam giác ABC
vuông cân
Câu 10. Cho tam gi ác ABC có
h r r
a b c
=
chứng minh rằng tam giác ABC
cân
Câu 11. Cho tam giác ABC có
2 2 2
4 ( )a b p p c R= −
Chứng minh rằng tam giác
ABC cân.
Câu 12. Cho tam giác ABC có:
2 2
sin sin
2 2
sin sin

2 2 2
1 os os os 0c A c B c C+ − − =
. CMR tam giác
ABC vuông